ج.12 · معدلات مترابطة وحدود الكسور القابلة للإزالة

تحضير GRE للطلاب الجامعيين. أهداف محلية ضمن نطاق ETS المراجَع؛ هذا تعليم أصلي، وليس اختباراً رسمياً أو تنبئاً بالدرجات.

المؤهلات: قاعدة السلسلة، المقاطع الدائرية، والحدود.

• تحويل معدل هندسي إلى مشتقة للكمية ذات الصلة
• اشتقاق وصياغة حجم القبعة الكروية ثم اشتقاقها
• فصل امتداد الكسر المستمر عن الامتداد القابل للاشتقاق

معدل مرتبط: معدل يُستنتج باشتقاق العلاقة بين كميات متغيرة.

حد قابل للإزالة: حد محدود قريب يُستخدم لملء قيمة دالة مفقودة بشكل مستمر.

بالنسبة لكمية V تعتمد على عمق متغير h(t)، تعطي قاعدة السلسلة dV/dt=V′(h) dh/dt. خزان فارغ له dh/dt<0، لذا فإن معدل V الموقّع سالب؛ ومقدار التدفق الخارج هو سالبه. ارسم الهندسة وسمِّ العمق اللحظي قبل التعويض بالأرقام. لا تعامل المعدل كحجم ساكن مقسوماً على الزمن المنقضي إلا إذا حددت الحالة فعلياً معدل متوسط ثابتاً.

خزان كروي نصف قطره R له مساحة مقطع مربع نصف القطر R²−(R−h)²=2Rh−h² عند عمق h من القاع. تكامل هذه المساحات الدائرية يعطي حجم الغطاء V(h)=π(Rh²−h³/3)، من أجل 0≤h≤2R. مشتقتها π(2Rh−h²) هي مساحة المقطع الحالي. عند R=3،h=1،dh/dt=−1/4، معدل الحجم الموجه هو −5π/4 ومقدار التدفق الخارج 5π/4. الصيغة تعمل لكل من الأغطية الضحلة والعميقة ضمن النطاق المحدد.

إذا كانت f وg قابلتين للاشتقاق بشكل مستمر قرب الصفر، f(0)=g(0)=0 و g′(0)≠0، فإن f(x)/g(x) يؤول إلى f′(0)/g′(0). ينتج هذا من f(x)=f′(0)x+o(x) و g(x)=g′(0)x+o(x); استمرارية g′ تحافظ على تعريف الكسر قريباً باستثناء الصفر. ملء هذا الحد يعطي امتداداً مستمراً. لا يتطلب الحجة أن يكون f′(0) غير صفري، ولا يثبت أن الكسر الممدد قابل للاشتقاق.

بالنسبة لـ f(x)=x|x| و g(x)=x، كلاهما قابلان للاشتقاق بشكل مستمر، f(0)=g(0)=0 و g′(0)=1. كسرهاما من أجل x≠0 هو |x|، والذي يمتد بشكل مستمر عند الصفر لكنه يمتلك مشتقات جانبية غير متساوية هناك. بالنسبة لـ (f²−f)/(2g−g³)، قم بالتحليل إلى (f/g)(f−1)/(2−g²)؛ حدّه القابل للإزالة هو −f′(0)/(2g′(0)). العوامل الإضافية تؤول إلى −1 و2. فرّق بين حد الكسر ومشتقة امتداده.

بالنسبة لكرة نصف قطرها R=3 وعمقها h=1، يكون مساحة المقطع العرضي π(6−1)=5π. ونقصان العمق بمقدار 1/4 لكل وحدة زمنية يؤدي بالتالي إلى إزالة حجم بمقدار 5π/4 لكل وحدة زمنية. بالنسبة لـ f(x)=sin(2x)، و g(x)=3x، تمتد المقاربة عند الصفر بقيمة 2/3. هذه النهاية لا تقول شيئاً عن حجم الخزان ولا يجب استبدالها بمعدل اشتقاق دون تحديد الكميات التابعة.

استخدم مساحة المقطع العرضي اللحظي، وليس إجمالي مساحة سطح الخزان. أبلغ عن التغير الحجمي الإشاري أو التدفق الخارج الموجب كما هو مطلوب. establishes continuity, not differentiability of the filled-in quotient.

خزان كروي نصف قطره 2 م وعمق الماء h يُقاس من قاعدته. اشتق V(h). عند h=1 م و$dh/dt=-0.1\ \mathrm{m/min}$، جد التغير الموقّع في الحجم ومقدار التدفق الخارج.

حل نموذجي

عند العمق s، يخضع نصف قطر المقطع لـ $r(s)^2=2Rs-s^2$. تكامل الأقراص يعطي $V(h)=\pi(Rh^2-h^3/3)$ من أجل $0\le h\le2R$.

افترض أن f وg قابلتان للاشتقاق بشكل مستمر قرب الصفر، $f(0)=g(0)=0$، $f'(0)=4$، $g'(0)=2$. جد الحد القابل للإزالة لـ $(f^2-f)/(2g-g^3)$. هل تفرض هذه الافتراضات قابلية اشتقاق الكسر الممدد؟ قدم مضاداً مثالاً لهذا الاستنتاج العام.

تحقق بعد المحاولة

بما أن g'(0) غير صفري، فالمقام غير صفري قرب الصفر باستثناء الصفر. حلّل التعبير على شكل $(f/g)(f-1)/(2-g^2)$. حدّه هو $(4/2)(-1)/2=-1$. الاشتقاق من الرتبة الأولى يعطي $f/g\to f'(0)/g'(0)$؛ وهو لا يوفر سيطرة من الرتبة الثانية. لإيجاد مضاد للحدس يحافظ على هذه المشتقات، خذ $f(x)=4x+x|x|$ و$g(x)=2x$. هما قابلان للاشتقاق بشكل مستمر. بالنسبة لـ x غير الصفري، يصبح الكسر $(2+|x|/2)(-1+4x+x|x|)/(2-4x^2)$. توسعته هي $-1+4x-|x|/4+O(x^2)$، مما يعطي مشتقات جانبية مختلفة. وبالتالي، الامتداد متصل لكن ليس قابلاً للاشتقاق.