ج.11 · التكامل بالتجزئة، عكس الترتيب والتماثل

تحضير GRE للطلاب الجامعيين. أهداف محلية ضمن نطاق ETS المراجَع؛ هذا تعليم أصلي، وليس اختباراً رسمياً أو تنبئاً بالدرجات.

المساقات السابقة: قاعدة الضرب، النهايات غير الصحيحة ومناطق التكامل المستوي.

• اشتق تخفيضات التكامل بالتجزئة بنهايات حافة صالحة
• عكس تكاملًا مزدوجًا عن طريق إعادة بناء منطقته
• استخدم تماثل الانعكاس مع التحقق من سلوك الحافة القابل للإزالة

التكامل بالتجزئة: هوية تكاملية مشتقة من قاعدة الضرب مع حد حدي.

تماثل الانعكاس: علاقة بين قيم الدالة المكاملة عند نقاط معكوسة عبر نقطة وسطى للفترة.

يأتي التكامل بالتجزئة من قاعدة الضرب: ∫u dv=uv−∫v du. بالنسبة للتكاملات المحددة، شمل الحد الحدي عند الطرفين. مع I_n(x)=∫₁ˣ(ln t)^n dt، اختر u=(ln t)^n وdv=dt. من أجل n≥1، يختفي الحد السفلي، مما يعطي I_n=x(ln x)^n−n I_(n−1). ست موجب سيتعارض مع الهوية المشتقة. احتفظ بنفس الحد السفلي في العلاقة العودية؛ تغييره يغير الثوابت.

بالنسبة للتكاملات غير الصحيحة، طبق أولاً الهوية على النهايات المنتهية، ثم برر النهاية الحدية والتكامل المتبقي. إذا كان ∫₋∞^∞e^(−x²)dx=√π، ضع u=x وdv=x e^(−x²)dx لتكامل ∫x²e^(−x²)dx. بما أن v=−e^(−x²)/2 وأن x e^(−x²)→0 عند ما لا نهاية، فإن اللحظة الثانية الكاملة هي √π/2. التناظر الزوجي يعطي لحظة نصف الخط الموجب √π/4. الحد الذي اختفى هو جزء من البرهان، وليس خاصية تلقائية لكل تكامل غير صحيح.

لعكس التكامل ∫₀¹∫ₓ¹F(x,y)dy dx، صف المثلث 0≤x≤y≤1، ثم أعد كتابته كـ ∫₀¹تكامل من 0 إلى yF(x,y)dx dy. يتغير كل من الفترة الخارجية والحدود الداخلية؛ تغيير الرموز فقط يغير المنطقة. بالنسبة لـ F=e^(y²)، التكامل بالنسبة لـ x أولاً يعطي ∫₀¹y e^(y²)dy=(e−1)/2. الاستمرارية على هذا المثلث المغلق تجعل عكس الترتيب صالحاً؛ تتطلب الحالات المفردة أو المتقاربة شرطياً حذراً أكبر.

إذا كانت دالة قابلة للتكامل على [a,b] تحقق f(a+b−x)=−f(x)، فإن الانعكاس يجعل تكاملها مساوياً لمعاكسه، وبالتالي صفراً. بالنسبة لـ sin(2mx)/sin x على [0,π] مع عدد صحيح موجب m، يغير الانعكاس x↦π−x إشارة البسط ويحافظ على المقام. التفردات الظاهرية عند الحواف قابلة للإزالة: النهايات هي 2m عند الصفر و−2m عند π. تحقق من هذه النهايات قبل استدعاء التماثل؛ الإلغاء ليس بديلاً عن قابلية التكامل.

بالنسبة لـ I₂(x)=∫₁ˣ(ln t)²dt، تعطي العلاقة التكرارية x(ln x)²−2I₁(x)، مع I₁(x)=x ln x−x+1. لذلك I₂=x[(ln x)²−2ln x+2]−2. تضمن الثابتة −2 أن I₂(1)=0. وبشكل منفصل، ينتج عكس التكامل مثلثي e^(y²) عاملاً y من طول x الداخلي؛ وإزالة هذا العامل ستعيد الصعوبة الأصلية وتغير القيمة.

يتطلب التكامل بالتجزئة غير الصحيح حدوداً طرفية. أعد بناء المنطقة قبل عكس الترتيب. يجب أن تكون الدالة المكافئة المنعكسة ذات الشكل الغريب قابلة للتكامل، بما في ذلك أي أطراف قابلة للإزالة.

قيّم $\int_0^1\int_x^1 e^{y^2}\,dy\,dx$ بعكس الترتيب. صفRegion قبل وبعد عكس الترتيب. اشتق صيغة لـ $I_2(x)=\int_1^x(\ln t)^2\,dt$، $x>0$.

حل نموذجي

المنطقة هي $0\le x\le y\le1$. في الترتيب المعكوس، يتراوح y من صفر إلى واحد ويتراوح x من صفر إلى y. الاستمرارية على المثلث المغلق تسمح بعكس الترتيب، مما يعطي $\int_0^1 ye^{y^2}\,dy=(e-1)/2$. التكامل بالتجزئة مع $u=(\ln t)^2$ و$dv=dt$ يعطي $I_2=x(\ln x)^2-2I_1$. وبما أن $I_1=x\ln x-x+1$،

لأي عدد صحيح موجب m، قيّم $\int_0^{\pi}\sin(2mx)/\sin x\,dx$. برهن على قابلية التكامل عند الأطراف قبل الاستدعاء بالتناظر.

تحقق بعد المحاولة

حدود الأطراف هي 2m عند الصفر و-2m عند π، بناءً على حد الجيب من الرتبة الأولى. كلا التفردات قابلة للإزالة، لذا فإن دالة التكامل الممتدة بشكل مستمر هي قابلة للتكامل. الانعكاس $x\mapsto\pi-x$ يحافظ على المقام ويعكس البسط. التكامل يساوي سالبه وبالتالي يساوي صفراً. الإلغاء المتماثل لن يثبت التقارب لحافة متباعدة حقاً؛ الحدود القابلة للإزالة ضرورية.