التكامل بالتجزئة، عكس الترتيب والتناظر
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/ | التكامل بالتجزئة |
| reflection symmetry/rɪˈflekʃn ˈsɪmətri/ | التناظر الانعكاسي |
قرار قبل الإجابة
- يمكن أن تصبح التكاملات بسيطة بعد تغيير تمثيلها. قد يتحول تكامل داخلي صعب إلى تكامل بدائي عند عكس ترتيب تكامل المنطقة.
- هدفك: اشتق اختزالات التكامل بالتجزئة مع حدود طرفية صحيحة.
اقرأ العلاقة
- ينشأ التكامل بالتجزئة من قاعدة الضرب: ∫u dv=uv−∫v du. بالنسبة للتكاملات المحددة، أدرج الحد الحدي عند كلا الطرفين. مع I_n(x)=∫₁ˣ(ln t)^n dt، اختر u=(ln t)^n وdv=dt. عندما يكون n≥1، فإن الحد السفلي يختفي، مما يعطي I_n=x(ln x)^n−n I_(n−1). إن استخدام إشارة زائد سيخالف المتطابقة المشتقة. احتفظ بنفس الحد السفلي في العلاقة التكرارية؛ فتغييره يغير الثوابت.
- عكس تكاملًا مزدوجًا عن طريق إعادة بناء منطقته.
If I_n(x)=∫₁ˣ(ln t)^n dt for n≥1, which recurrence is correct?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Integration by parts gives uv minus the remaining integral. The lower boundary is zero for n≥1.
استخدم القاعدة المحددة
- بالنسبة للتكاملات غير الصحيحة، طبق أولاً المتطابقة على حدود نهائية، ثم برر الحد المتبقي والتكامل المتبقي. إذا كان ∫₋∞^∞e^(−x²)dx=√π، ضع u=x وdv=x e^(−x²)dx من أجل ∫x²e^(−x²)dx. بما أن v=−e^(−x²)/2 وأن x e^(−x²)→0 عند ما لا نهاية، فإن العزم الثاني الكامل هو √π/2. وتعطي التماثل الإيجابي عزم نصف الخط الموجب √π/4. الحد الذي اختفى هو جزء من البرهان، وليس خاصية تلقائية لكل تكامل غير صحيح.
- استخدم تماثل الانعكاس مع التحقق من سلوك الطرف القابل للإزالة.
After reversing ∫₀¹∫ₓ¹e^(y²)dy dx, what integral remains?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
At each y, x ranges from 0 to y. The inner integral supplies length y.
تحقق من الشروط
- لعكس ∫₀¹∫ₓ¹F(x,y)dy dx، وصف المثلث 0≤x≤y≤1، ثم أعد كتابته كـ ∫₀¹∫₀ʸF(x,y)dx dy. تتغير كل من الفترة الخارجية والحدود الداخلية؛ فمجرد تبديل الرموز يغير المنطقة. بالنسبة لـ F=e^(y²)، يؤدي التكامل بالنسبة لـ x أولاً إلى ∫₀¹y e^(y²)dy=(e−1)/2. يجعل الاستمرارية على هذا المثلث المضغوط عكس الترتيب صالحاً؛ أما الحالات ذات الطفرات أو التي تتقارب بشكل مشروط فتستدعي حذراً أكبر.
- استخدم تماثل الانعكاس مع التحقق من سلوك الطرف القابل للإزالة.
بالنسبة لـ I₂(x)=∫₁ˣ(ln t)²dt، تعطي العلاقة التكرارية x(ln x)²−2I₁(x)، مع I₁(x)=x ln x−x+1. لذلك I₂=x[(ln x)²−2ln x+2]−2. تضمن الثابتة −2 أن I₂(1)=0. وبشكل منفصل، ينتج عكس التكامل مثلثي e^(y²) عاملاً y من طول x الداخلي؛ وإزالة هذا العامل ستعيد الصعوبة الأصلية وتغير القيمة.
For I₂(x)=∫₁ˣ(ln t)²dt, the boundary value I₂(1) is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The upper and lower integration endpoints coincide, and the explicit recurrence has the same zero boundary value.
طبق صيغة المهمة
- إذا كانت دالة قابلة للتكامل على [a,b] تحقق f(a+b−x)=−f(x)، فإن الانعكاس يجعل تكاملها مساوياً لمعاكسها، وبالتالي يساوي صفراً. بالنسبة لـ sin(2mx)/sin x على [0,π] مع عدد صحيح موجب m، فإن الانعكاس x↦π−x يغير إشارة البسط ويحافظ على المقام. التفردات الظاهرية عند الأطراف قابلة للإزالة: الحدود هي 2m عند الصفر و−2m عند π. تحقق من هذه الحدود قبل استدعاء التماثل؛ فالإلغاء لا يحل محل قابلية التكامل.
- استخدم تماثل الانعكاس مع التحقق من سلوك الطرف القابل للإزالة.
يتطلب التكامل بالتجزئة غير الصحيح حدوداً طرفية. أعد بناء المنطقة قبل عكس الترتيب. يجب أن تكون الدالة المكافئة المنعكسة ذات الشكل الغريب قابلة للتكامل، بما في ذلك أي أطراف قابلة للإزالة.
أي إجابة تتناسب مع هذه الحالة؟
استنتاج اختزالات التكامل بالتجزئة بحدود طرفية صالحة ⟦number⟧
Integration by parts on a finite interval automatically remains valid after replacing its endpoints with infinities.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The boundary term and remaining integral must have the required limits. Divergent or oscillating boundaries invalidate an automatic replacement.
احتفظ بالتميّزات
- التكامل بالتجزئة — متطابقة تكاملية تُشتق من قاعدة الضرب مع حد حدي.
- تماثل الانعكاس — علاقة بين قيم الدالة المكافئة عند نقاط منعكسة عبر منتصف فترة.
- اشتق اختزالات التكامل بالتجزئة مع حدود طرفية صحيحة.
- عكس تكاملًا مزدوجًا عن طريق إعادة بناء منطقته.
- استخدم تماثل الانعكاس مع التحقق من سلوك الطرف القابل للإزالة.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.