المعدلات المرتبطة ونهايات الكسور القابلة للإزالة
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| removable limit/rɪˈmuːvəbl ˈlɪmɪt/ | نهاية قابلة للإزالة |
| related rate/rɪˈleɪtɪd reɪt/ | المعدل المرتبط |
قرار قبل الإجابة
- معدل عمق الماء ليس معدل تدفق حجم: فإن مساحة المقطع العرضي للخزان تتغير مع العمق. كما يمكن أن يكون لنهاية الكسر قيمة نهائية دون أن تعطي دالة ممتدة قابلة للاشتقاق.
- هدفك: ترجمة معدل هندسي إلى مشتقة للكمية ذات الصلة.
اقرأ العلاقة
- بالنسبة لكمية V تعتمد على عمق متغير h(t)، تعطي قاعدة السلسلة dV/dt=V′(h) dh/dt. الخزان التصريف له dh/dt<0، لذا يكون معدل الحجم الموقّع سالباً؛ والمقدار الفعلي للتدفق الخارج هو معاكسه. ارسم الهندسة وسَمِّ العمق اللحظي قبل التعويض بالأرقام. لا تعامل المعدل كحجم ثابت مقسوماً على الزمن المنقضي إلا إذا حددت الحالة فعلياً معدل متوسط ثابتاً.
- اشتق وقم باشتقاق صيغة حجم قبعة كروية.
A radius-3 spherical tank has depth 1 decreasing at 1/4 per time unit. What is the positive outflow magnitude?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Cross-section area is π(2Rh−h²)=5π. Multiply by depth-decrease magnitude 1/4.
استخدم القاعدة المحددة
- خزان كروي نصف قطره R له مقطع عرضي مربع نصف القطر R²−(R−h)²=2Rh−h² عند عمق h من القاع. تكامل هذه المساحات الدائرية يعطي حجم القبعة V(h)=π(Rh²−h³/3)، من أجل 0≤h≤2R. مشتقه π(2Rh−h²) هو مساحة المقطع العرضي الحالية. عند R=3،h=1،dh/dt=−1/4، معدل الحجم الموقّع هو −5π/4 ومقدار التدفق الخارج ⟨5⟩π/4. تعمل الصيغة لكل من القبعات الضحلة والعميقة ضمن النطاق المحدد.
- افصل بين امتداد الكسر المستمر وامتداده القابل للاشتقاق.
For x≠0, f(x)=x|x|,g(x)=x. What happens when f/g is filled in at zero?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The quotient is |x|. Filling in zero gives continuity, while the left and right derivatives are −1 and 1.
تحقق من الشروط
- إذا كانت f و g قابلتين للاشتقاق بشكل مستمر بالقرب من الصفر، و f(0)=g(0)=0، و g′(0)≠0، فإن f(x)/g(x) يؤول إلى f′(0)/g′(0). ينتج ذلك من أن f(x)=f′(0)x+o(x) و g(x)=g′(0)x+o(x)؛ واستمرارية g′ تحافظ على تعريف المقاربة بالقرب من الصفر باستثناء نقطة الصفر نفسها. تعويض هذا النهاية يعطي امتداداً متصلاً. لا يتطلب البرهان أن تكون f′(0) غير صفرية، ولا يثبت أن المقاربة الممتدة قابلة للاشتقاق.
- افصل بين امتداد الكسر المستمر وامتداده القابل للاشتقاق.
بالنسبة لكرة نصف قطرها R=3 وعمقها h=1، يكون مساحة المقطع العرضي π(6−1)=5π. ونقصان العمق بمقدار 1/4 لكل وحدة زمنية يؤدي بالتالي إلى إزالة حجم بمقدار 5π/4 لكل وحدة زمنية. بالنسبة لـ f(x)=sin(2x)، و g(x)=3x، تمتد المقاربة عند الصفر بقيمة 2/3. هذه النهاية لا تقول شيئاً عن حجم الخزان ولا يجب استبدالها بمعدل اشتقاق دون تحديد الكميات التابعة.
For f(x)=sin(2x) and g(x)=3x, express the removable quotient value as a fraction: ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The derivatives at zero are 2 and 3, so their quotient gives the limit 2/3.
طبق صيغة المهمة
- بالنسبة لـ f(x)=x|x| و g(x)=x، كلاهما قابل للاشتقاق بشكل مستمر، و f(0)=g(0)=0، و g′(0)=1. مقاربتهما لـ x0 هي |x|، والتي تمتد بشكل مستمر عند الصفر ولكن لها مشتقات أحادية جانبية غير متساوية هناك. بالنسبة لـ (f²−f)/(2g−g³)، نأخذ عامل مشترك ليصبح (f/g)(f−1)/(2−g²)؛ وحدتها القابلة للإزالة هي −f′(0)/(2g′(0)). تتجه العوامل الإضافية نحو −1 و 2. افرق بين نهاية المقاربة ومشتقة امتدادها.
- افصل بين امتداد الكسر المستمر وامتداده القابل للاشتقاق.
استخدم مساحة المقطع العرضي اللحظي، وليس إجمالي مساحة سطح الخزان. أبلغ عن التغير الحجمي الإشاري أو التدفق الخارج الموجب كما هو مطلوب. establishes continuity, not differentiability of the filled-in quotient.
أي إجابة تتناسب مع هذه الحالة؟
ترجمة معدل هندسي إلى مشتقة الكمية ذات الصلة ⟦number⟧
A continuously differentiable numerator and denominator with simple denominator zero always give a differentiable quotient extension.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The numerator x|x| and denominator x meet the assumptions, but their filled-in quotient |x| is not differentiable at zero.
احتفظ بالتميّزات
- rate related — معدل يتم الحصول عليه عن طريق اشتقاق العلاقة بين الكميات المتغيرة.
- removable limit — نهاية مجاورة محدودة تُستخدم لملء قيمة دالة مفقودة بشكل مستمر.
- حول معدل هندسي إلى مشتقة للكمية ذات الصلة.
- اشتق وقم باشتقاق صيغة حجم قبعة كروية.
- افصل بين امتداد الكسر المستمر وامتداده القابل للاشتقاق.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.