أ.7 · تحليل LU وعجز الخرائط المركبة

تحضير GRE للطلاب الجامعيين. أهداف محلية ضمن نطاق ETS المراجَع؛ هذا تعليم أصلي، وليس اختباراً رسمياً أو تنبئاً بالدرجات.

المتطلبات السابقة: عمليات الصف، الأنظمة المثلثية والرتب-الفراغ.

• حل نظام خطي مُحلَّل بالتعويض الأمامي والخلفي
• طبق تبديل الصفوف بشكل متناسق عند الحاجة للتحديد الرئيسي
• حدّد بُعد نواة تركيب باستخدام تقاطعات الصورة والنواة

التعويض الأمامي: حل نظام مثلث سفلي بدءاً من معادلته الأولى نحو الأسفل.

الفراغ: بُعد نواة التطبيق الخطي.

تعبير التحليل A=LU يُعبر عن مصفوفة مربعة كمصفوفتين مثلثيتين L سفلى و U عليا. مع قطار L وحدة، يكون التعويض الأمامي بسيطاً جداً. المصفوفة القابلة للعكس قد لا تقبل هذا الشكل دون تبديلات صفوف: صفر التحديد الرئيسي الأول قد يتطلب تبديلاً. بالنسبة لـ PA=LU، حل Ly=Pb، ثم Ux=y. يعمل التبديل على الجانب الأيمن بالإضافة إلى مصفوفة المعاملات. التحديد الرئيسية الأولى غير الصفرية تبرر الاستبعاد المعتاد بدون تبديل، وليس القابلية للعكس وحدها.

في Ly=b، احسب y من الأعلى إلى الأسفل بطرح الحدود المعلومة بالفعل؛ اقسم على القطر الحالي إلا إذا كان واحداً. في Ux=y، احسب x من الأسفل إلى الأعلى. لكل معادلة، عوض مرة أخرى في الصف الأصلي كتحقق. إعادة استخدام LU للعديد من الجوانب اليمنى يتجنب تكرار الاستبعاد: التحليل الكثيف يتطلب عملاً من الرتبة التكعيبية بالنسبة للأبعاد، بينما يستغرق كل حل مثلثي عملاً من الرتبة التربيعية. الحساب الدقيق يمكنه التحقق من الأمثلة الصغيرة؛ التحديد الرقمي يقلل بعض مشاكل التقريب لكنه لا يستطيع إزالة التشوه الجوهري.

بالنسبة لـ B:V→W و A:W→Z، N(B) محتوى في N(A∘B)، لكن الأخيرة يمكن أن تكون أكبر. المتجهات الإضافية هي تلك التي تُصوَّر بواسطة B داخل N(A). اقتصار B على N(A∘B): صورته هي im B ∩ N(A) ونواته هي N(B). تطبيق الرتب-الفراغ على هذا التطبيق المقتصر يعطي dim N(A∘B)=dim N(B)+dim(im B ∩ N(A)). التقاطع، وليس النواة الكاملة لـ A، هو ما يحدد الفراغ الإضافي.

بالنسبة للتحويلات الذاتية لـ R⁶ ذات الباطن A=2 والباطن B=3، فإن رتبة B=3، ويمكن أن يتراوح بُعد التقاطع بين 0 و2. وبالتالي، يتراوح باطن A∘B بين 3 و5. تعتمد الحدود على الفضاء المتوسط المشترك: بالنسبة للفضاءات الجزئية ذات الأبعاد r وs في فضاء بعيد m، يكون بُعد تقاطعهما بين max(0,r+s−m) وmin(r,s). يمكن أن يغير عكس الترتيب الباطن، حتى لو كان كل من AB وBA معرفًا. اختر فضاءات متوافقة قبل تطبيق هذه الصيغ.

ليكن L=[[1,0,0],[2,1,0],[−1,3,1]]، U=[[2,1,−1],[0,3,2],[0,0,4]]، و b=(−1,−1,12). التعويض الأمامي يعطي y=(−1,1,8). التعويض الخلفي يعطي x₃=2، x₂=(1−4)/3=−1، و x₁=(−1−(−1)+2)/2=1. إذن x=(1,−1,2). ضرب Ux يعطي y وضرب Ly يعطي b، مما يتحقق بشكل مستقل من ترتيب التحليل.

حل باستخدام L أولاً وU ثانياً، وقم بتبديل b إذا كان PA=LU. فراغ التركيب ليس تلقائياً مجموع الفراغين؛ فقط تقاطع الصورة والنواة يضيف إلى فراغ B.

ليكن $L=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}$، $U=\begin{pmatrix}3&1\\0&2\end{pmatrix}$ و $b=(5,12)^T$. حل LUx=b وتحقق في المصفوفة المضروبة. بالنسبة لـ PA=LU، أين تعمل P عند حل Ax=b؟

حل نموذجي

أولاً، حل Ly=b: $y_1=5$، $2y_1+y_2=12$، لذا $y_2=2$. ثم Ux=y يعطي $x_2=1$ و$3x_1+1=5$، ومنه $x_1=4/3$. مصفوفة الضرب هي $A=\begin{pmatrix}3&1\\6&4\end{pmatrix}$؛ بتطبيقها على $(4/3,1)^T$ نحصل على $(5,12)^T$. إذا كانت PA=LU، اضرب المعادلة الأصلية في P وحل Ly=Pb، تلوها Ux=y. تجاهل P على b يحل نظامًا مختلفًا.

ليكن A وB تحويلاً ذاتيين لـ $\mathbb R^5$ بباطين يساوان اثنين وثلاثة على التوالي. أوجد جميع قيم باطن AB الممكنة، وبرر كل حد وإمكانية تحقيقه.

تحقق بعد المحاولة

رتبة B تساوي اثنين. اقيّد B على $\ker(AB)$ لتحصل على

الفضاءان الجزئيان في التقاطع كلاهما له بُعد يساوي اثنين في خمسة أبعاد، لذا قد يكون بُعد التقاطع صفرًا أو واحدًا أو اثنين. وبالتالي، الباطن هو 3، 4 أو 5. لتحقيق ذلك، خذ $\ker A=\operatorname{span}(e_1,e_2)$ وصورة B على التوالي $\operatorname{span}(e_3,e_4)$، $\operatorname{span}(e_1,e_3)$ أو $\operatorname{span}(e_1,e_2)$. اختر أي B من الرتبة ثنائية تتوافق مع تلك الصورة. تثبت هذه البناءات إمكانية التحقيق وليس فقط حدود الفترة الواسعة.