تحليل LU وعجز الخرائط المركبة
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| forward substitution/ˈfɔːwəd ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | التعويض الأمامي |
| nullity/ˈnʌlɪti/ | صفرية |
قرار قبل الإجابة
- قم بتحليل مصفوفة مرة واحدة، ثم حل العديد من الأنظمة مع أطراف يمين مختلفة. الفائدة تأتي من حلين مثلثيين؛ عكس ترتيبهما يعطي نتيجة خاطئة.
- هدفك: حل نظام خطي مُحلل بالتعويض الأمامي والخلفي.
اقرأ العلاقة
- التحليل A=LU يعبر عن مصفوفة مربعة كحاصل ضرب L (مثلثية سفلى) وU (مثلثية عليا). مع قطري L موحد، يكون التعويض الأمامي بسيطاً بشكل خاص. لا يجب أن تقبل المصفوفة القابلة للعكس هذا الشكل بدون تبديل الصفوف: قد يتطلب محور ريادة صفر تبديلاً. بالنسبة لـ PA=LU، حل Ly=Pb، ثم Ux=y. التبديل يؤثر على الطرف الأيمن بالإضافة إلى مصفوفة المعاملات. المحاور الرئيسية الرائدة غير الصفرية تبرر الإزالة المعتادة بدون تبديل، وليس القابلية للعكس وحدها.
- طبق تبديلات الصفوف بشكل متسق عند الحاجة إلى محور الريادة.
For the stated unit-diagonal L and b=(−1,−1,12), what is the second coordinate of y solving Ly=b?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
y₁=−1 and the second row is 2y₁+y₂=−1. Therefore y₂=1.
استخدم القاعدة المحددة
- في Ly=b، احسب y من الأعلى إلى الأسفل بطرح الحدود المعروفة مسبقاً؛ اقسم على القطر الحالي ما لم يكن واحداً. في Ux=y، احسب x من الأسفل إلى الأعلى. لكل معادلة، أعد التعويض في الصف الأصلي للتحقق. إعادة استخدام LU للعديد من الأطراف اليمنى تتجنب تكرار الإزالة: يأخذ التحليل الكثيف عملاً من الرتبة التكعيبية في البُعد، بينما يأخذ كل حل مثلثي عملاً من الرتبة التربيعية. الحساب الدقيق يمكن التحقق من الأمثلة الصغيرة؛ يقلل المحور العددي بعض مشاكل التقريب لكنه لا يمكنه إزالة الشرط السيء الجوهري.
- حدّ بُعد نواة تركيب باستخدام تقاطعات الصورة والنواة.
A,B are maps R⁶→R⁶ with nullity A=2 and nullity B=3. What range is possible for nullity of A∘B?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Nullity B contributes 3, and im B∩ker A has dimension from 0 to 2 in this ambient space.
تحقق من الشروط
- بالنسبة لـ B:V→W وA:W→Z، تكون ker B محتواة في ker(A∘B)، لكن الأخيرة يمكن أن تكون أكبر. المتجهات الإضافية هي تلك التي تحوّلها B داخل ker A. اقتصار B على ker(A∘B): صورته هي im B∩ker A ونواته هي ker B. applies مبدأ الرتبة-الفراغ على هذه الخريطة المقيدة يعطي dim ker(A∘B)=dim ker B+dim(im B∩ker A). التقاطع، وليس النواة الكاملة لـ A، هو ما يحدد الفراغ الإضافي.
- حدّ بُعد نواة تركيب باستخدام تقاطعات الصورة والنواة.
ليكن L=[[1,0,0],[2,1,0],[−1,3,1]]، U=[[2,1,−1],[0,3,2],[0,0,4]]، و b=(−1,−1,12). التعويض الأمامي يعطي y=(−1,1,8). التعويض الخلفي يعطي x₃=2، x₂=(1−4)/3=−1، و x₁=(−1−(−1)+2)/2=1. إذن x=(1,−1,2). ضرب Ux يعطي y وضرب Ly يعطي b، مما يتحقق بشكل مستقل من ترتيب التحليل.
In the example, the last U equation is 4x₃=8. The value of x₃ is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Back substitution begins with the last row, giving x₃=8/4=2.
طبق صيغة المهمة
- بالنسبة للنهايات الذاتية لـ R⁶ مع نقصان A=2 ونقصان B=3، فإن رتبة B=3 وبعد تقاطعها يمكن أن يتراوح بين 0 و 2. وبالتالي يتراوح نقصان A∘B بين 3 و 5. تعتمد الحدود على الفضاء الوسيط المشترك: بالنسبة للفضاءات الجزئية بأبعاد r و s في فضاء بعدده m، يكون بُعد تقاطعهما بين max(0,r+s−m) و min(r,s). عكس التكوين قد يغير نقصانه، حتى لو كان كل من AB و BA معرفين. اختر فضاءات متوافقة قبل تطبيق هذه الصيغ.
- حدّ بُعد نواة تركيب باستخدام تقاطعات الصورة والنواة.
حل باستخدام L أولاً وU ثانياً، وقم بتبديل b إذا كان PA=LU. فراغ التركيب ليس تلقائياً مجموع الفراغين؛ فقط تقاطع الصورة والنواة يضيف إلى فراغ B.
أي إجابة تتناسب مع هذه الحالة؟
حل نظام خطي مفكوك بالتعويض الأمامي والخلفي ⟦number⟧
Every invertible matrix has an LU factorisation with unit lower triangular L without row exchanges.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The invertible matrix [[0,1],[1,0]] has a zero first pivot and cannot have that no-exchange unit-lower LU form. A row permutation repairs the pivot order.
احتفظ بالتميّزات
- التعويض الأمامي — حل نظام مثلثي سفلي بدءاً من معادلته الأولى نحو الأسفل.
- الفراغ — بُعد نواة خريطة خطية.
- حل نظام خطي مُحلل بالتعويض الأمامي والخلفي.
- طبق تبديلات الصفوف بشكل متسق عند الحاجة إلى محور الريادة.
- حدّ بُعد نواة تركيب باستخدام تقاطعات الصورة والنواة.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.