GRE Subject Test · GRE Mathematics · الموضوع 27
تحضير GRE للطلاب الجامعيين. أهداف محلية ضمن نطاق ETS المراجَع؛ هذا تعليم أصلي، وليس اختباراً رسمياً أو تنبئاً بالدرجات.
الشروط المسبقة: قاعدة السلسلة، وعكس المصفوفات، وفرضيات العكس المحلي.
مصفوفة جاكوبي: مصفوفة المشتقات الجزئية الأولى لدالة ذات قيمة متجهة.
المعكوس المحلي: معكوس مُعرَّف على مجاورات نقطة إدخال وإخراج محددة.
| English | العربية |
|---|---|
| Jacobian matrix/dʒæˈkəʊbɪən ˈmeɪtrɪks/ | مصفوفة جاكوبي |
| local inverse/ˈləʊkl ɪnˈvɜːs/ | مقلوب محلي |
بالنسبة لتطبيق قابل للاشتقاق F(u,v)=(x,y)=(f(u,v),g(u,v))، يكون جاكوبيانه J=[[f_u,f_v],[g_u,g_v]]. تتحقق التغيرات الصغيرة according to [dx,dy] (transpose)=J[du,dv] (transpose) إلى الرتبة الأولى. لإيجاد u_x مع إبقاء y ثابتاً، اشتق كلتا المعادلتين المُعرِّفتين بالنسبة لـ x: f_u u_x+f_v v_x=1 و g_u u_x+g_v v_x=0. هذه نظام خطي مترابط، وليست قاعدتي معكوس سكريبتية مستقلة.
إذا كانت f و g قابلة للاشتقاق بشكل مستمر حول النقطة وكان det J=f_u g_v−f_v g_u لا يساوي صفراً هناك، فإن نظرية الدالة العكسية توفر معكوساً محلياً قابلاً للاشتقاق. مشتقتها هي J⁻¹=(1/det J)[[g_v,−f_v],[−g_u,f_u]]. وبالتالي u_x=g_v/det J، u_y=−f_v/det J، v_x=−g_u/det J و v_y=f_u/det J. قيّم كل مشتق عند النقطة المقابلة. المعكوس المحلي قد لا يتمدد ليكون معكوساً عالمياً.
بالنسبة للمعادلات الضمنية H(u,v,x,y)=0 و K(u,v,x,y)=0، قم بالاشتقاق مع إبقاء الإحداثي المستقل المطلوب ثابتاً. حل [[H_u,H_v],[K_u,K_v]][u_x,v_x] (transpose)=−[H_x,K_x] (transpose). يجب أن لا يساوي الصفر المحدد في المتغيرات المجهولة u,v لاستخدام نظرية الدالة الضمنية المعتادة. تأتي الإشارات على اليمين من نقل المشتقات المعلومة إلى الطرف الآخر. إذا اختفى المحدد، تكون هذه النظرية غير حاسمة؛ فهي لا تثبت بحد ذاتها عدم وجود معكوس أو حل ضمني.
الاختصار السكريبت du/dx=1/(dx/du) صالح لمعكوس متغير واحد بمشتق لا يساوي صفراً، لكنه يفشل عادةً في النظام المترابط لأن v يتغير لإبقاء y ثابتاً. بالنسبة لـ x=u+v,y=u+2v، J=[[1,1],[1,2]] له محدد 1 ومعكوس [[2,−1],[−1,1]]. لذلك u_x=2 بينما 1/f_u=1. جاكوبيان المعكوس يحول الحساسية التفاضلية؛ بينما تكامل تغيير المتغيرات يستخدم تحديد القيمة المطلقة لمقياس المساحة أو الحجم، وليس مدخلاً معكوساً محدداً.
أخذ x=u²+v و y=u−v. عند (u,v)=(1,0)، يكون الناتج (1,1)، والمصفوفة J=[[2,1],[1,−1]] محددتها −3. المعكوس هو [[1/3,1/3],[1/3,−2/3]]، لذا u_x=1/3 و v_y=−2/3 هناك. ضرب J في هذا المعكوس يعطي المصفوفة المحايدة. المقلوب 1/f_u=1/2 ليس u_x لأن تغيير u يتطلب أيضًا تغيير v لإبقاء y ثابتة.
اشتق كلتا المعادلتين واذكر أي مخرجات تم إبقاؤها ثابتة. ضمان وجود محدد غير صفري لوجود عكس محلي تحت فرضيات الانتظام؛ الصفر ليس إثباتاً على استحالة ذلك. استخدم مدخلاً مقلوباً للحساسية والمحدد المطلق للتكامل.
ليكن $x=u^2+v,y=u-v$. عند $(u,v)=(1,0)$، أوجد جاكوبيان المعكوس والمشتقات الجزئية الأربعة المعكوسة. تحقق عن طريق الضرب.
المخرجات المقابلة هي $(1,1)$. الجاكوبيان هو $J=\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix}$ بمحدد -3، لا يساوي صفراً. المشتقات الجزئية المستمرة تعطي معكوساً محلياً قابلاً للاشتقاق. لذا
بالنسبة لـ $F(u,v)=(u^2-v^2,2uv)$، حدد ما إذا كانت مشتقتها قابلة للعكس بعيداً عن نقطة الأصل وما إذا كان F حقلاً تباينياً عالمياً على المستوى المنزوع النقطة. ماذا يثبت صفر المحدد عند نقطة الأصل بحد ذاته؟
$\det DF=4(u^2+v^2)>0$ بعيدًا عن الصفر، لذا يوفر نظرية الدالة العكسية معكلاً محلياً عند كل مثل هذه النقاط. لكن $F(u,v)=F(-u,-v)$، لذا فهي ليست حقلاً أحاديةً عالمياً على المستوى المشقوق. يعني انحداد المحدد عند الصفر أن هذه النظرية لا يمكنها ضمان معكلاً محلياً قابلاً للاشتقاق هناك. وليست بحد ذاتها إثباتاً عاماً بعدم وجود معكلاً مجملياً محلياً لأي خريطة؛ فعلى سبيل المثال، الخريطة القياسية التكعيبية هي تقابلية رغم انعدام المشتقة عند الصفر.
ا-working عليه خطوة بخطوة، مع تمارين تحقق فوري.
جار تحميل المواضيع…