الاشتقاق الضمني ومعكوس جاكوبي
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| local inverse/ˈləʊkl ɪnˈvɜːs/ | مقلوب محلي |
| Jacobian matrix/dʒæˈkəʊbɪən ˈmeɪtrɪks/ | مصفوفة جاكوبي |
قرار قبل الإجابة
- يمكن أن يعتمد كل من الإحداثيين المخرجين على كلا المدخلين. استعادة حساسية الإدخال تتطلب حينها عكس مصفوفة المشتقة الكاملة بدلاً من مجرد قلب أحد المدخلات.
- هدفك: اشتقاق نظام ضمني مترابط كنظام خطي.
اقرأ العلاقة
- بالنسبة لتطبيق قابل للاشتقاق F(u,v)=(x,y)=(f(u,v),g(u,v))، جاكوبيانه هو J=[[f_u,f_v],[g_u,g_v]]. التغييرات الصغيرة تحقق [dx,dy]ᵀ=J[du,dv]ᵀ من الرتبة الأولى. لإيجاد u_x مع تثبيت y، اشتق كلا المعرفتين بالنسبة لـ x: f_u u_x+f_v v_x=1 و g_u u_x+g_v v_x=0. هذه تمثل نظامًا خطيًا مترابطًا، وليست قاعدتين مستقلتين للعاكس القياسي.
- استخدم المحدد غير الصفري لجاكوبيان لتبرير العكس المحلي.
For x=u+v,y=u+2v, what is u_x when y is held fixed?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The inverse matrix of [[1,1],[1,2]] is [[2,−1],[−1,1]]. Its top-left entry is u_x=2.
استخدم القاعدة المحددة
- إذا كانت f و g قابلة للاشتقاق بشكل مستمر حول النقطة وكان det J=f_u g_v−f_v g_u غير صفري هناك، فإن نظرية الدالة العكسية توفر عكساً محلياً قابلاً للاشتقاق. مشتقتها هي J⁻¹=(1/det J)[[g_v,−f_v],[−g_u,f_u]]. وبالتالي u_x=g_v/det J، u_y=−f_v/det J، v_x=−g_u/det J و v_y=f_u/det J. قم بتقييم كل مشتقة عند النقطة المقابلة. العكس المحلي لا يمتد بالضرورة إلى عكس عالمي.
- ميّز بين مشتقات العكس الجزئية وقواعد العكس القياسي.
J=[[2,1],[1,−1]]. What is v_y in the inverse derivative matrix?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
det J=−3. The bottom-right inverse entry is 2/(−3)=−2/3.
تحقق من الشروط
- للمعادلات الضمنية H(u,v,x,y)=0 و K(u,v,x,y)=0، اشتق بينما تثبت الإحداثي المستقل المطلوب. حل [[H_u,H_v],[K_u,K_v]][u_x,v_x]ᵀ=−[H_x,K_x]ᵀ. يجب أن يكون المحدد للمتغيرات المجهولة u,v غير صفري لاستخدام نظرية الدالة الضمنية المعتادة. إشارات الطرف الأيمن تأتي من نقل المشتقات المعروفة إلى الجانب الآخر. إذا اختفى المحدد، تكون هذه النظرية غير حاسمة؛ فهي لا تثبت بحد ذاتها عدم وجود عكس أو عدم وجود حل ضمني.
- ميّز بين مشتقات العكس الجزئية وقواعد العكس القياسي.
أخذ x=u²+v و y=u−v. عند (u,v)=(1,0)، يكون الناتج (1,1)، والمصفوفة J=[[2,1],[1,−1]] محددتها −3. المعكوس هو [[1/3,1/3],[1/3,−2/3]]، لذا u_x=1/3 و v_y=−2/3 هناك. ضرب J في هذا المعكوس يعطي المصفوفة المحايدة. المقلوب 1/f_u=1/2 ليس u_x لأن تغيير u يتطلب أيضًا تغيير v لإبقاء y ثابتة.
The determinant of J=[[2,1],[1,−1]] is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Compute 2·(−1)−1·1=−3.
طبق صيغة المهمة
- القصيرة القياسية du/dx=1/(dx/du) تنطبق على عكس دالة متغير واحد بمشتق غير صفري، لكنها تفشل عادةً في النظام المترابط لأن v يتغير لإبقاء y ثابتة. بالنسبة لـ x=u+v, y=u+2v، فإن J=[[1,1],[1,2]] له محدد 1 ومقلوب [[2,−1],[−1,1]]. لذلك u_x=2 بينما 1/f_u=1. مقلوب جاكوبي يحول الحساسية التفاضلية؛ بينما يستخدم تكامل تغيير المتغيرات المحدد المطلق لتقييس المساحة أو الحجم، وليس مدخلاً مقلوباً محدداً.
- ميّز بين مشتقات العكس الجزئية وقواعد العكس القياسي.
اشتق كلتا المعادلتين واذكر أي مخرجات تم إبقاؤها ثابتة. ضمان وجود محدد غير صفري لوجود عكس محلي تحت فرضيات الانتظام؛ الصفر ليس إثباتاً على استحالة ذلك. استخدم مدخلاً مقلوباً للحساسية والمحدد المطلق للتكامل.
أي إجابة تتناسب مع هذه الحالة؟
اشتقاق نظام ضمني مقترن كنظام خطي ⟦number⟧
A zero Jacobian determinant proves that the underlying map has no inverse of any kind.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The usual differentiable inverse theorem is inconclusive. For example (u,v)↦(u³,v) is bijective but has zero determinant at u=0 and an inverse not differentiable there.
احتفظ بالتميّزات
- مصفوفة جاكوبي — مصفوفة المشتقات الجزئية الأولى لدالة ذات قيم متجهة.
- عكس محلي — العكس المُعرّف على جوارات نقطة إدخال ونقطة خروج معينة.
- اشتق نظاماً ضمنياً مترابطاً كنظام خطي.
- استخدم المحدد غير الصفري لجاكوبيان لتبرير العكس المحلي.
- ميّز بين مشتقات العكس الجزئية وقواعد العكس القياسي.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.