T.12 · الاكتمال المقياسي والإغلاق من أساس

تحضير GRE للطلاب الجامعيين. أهداف محلية ضمن نطاق ETS المراجَع؛ هذا تعليم أصلي، وليس اختباراً رسمياً أو تنبئاً بالدرجات.

المتطلبات المسبقة: بديلات المسافة، متتاليات كوشي والتوبولوجيا من أساس.

• تحقق من مسافة السحب باستخدام خصائص الدالة المُعرِّفة لها
• حدد الاكتمال من خلال صورة التماثل (isometry)
• حدد الغلق باستخدام كل جوار أساسي بدلاً من الحدس الإقليدي

فضاء مسافي مكتمل: فضاء مسافاتي تتقارب فيه كل متتالية كوشية إلى نقطة تنتمي إلى ذلك الفضاء.

أساس الجوار: أجوار أساسية كافية لاختبار الخصائص التوبولوجية المحلية.

بالنسبة لدالة حقنية h:X→R، فإن d(x,y)=|h(x)−h(y)| تُشكّل مسافة: التماثل ومتباينة المثلث نابعة من R، والحقن يضمن أن d(x,y)=0 فقط عندما x=y. الدالة h هي تماثل onto صورتها h(X). إذا لم تكن h حقنة، فقد تكون هذه البناء مسافة شبهية (pseudometric) فقط. المسافات المحدودة لا تثبت اكتمال الفضاء، وقد يكون مجموعة مألوفة من النقاط لها سلوك كوشي مختلف تمامًا تحت مسافات مختلفة.

مسافة السحب تكون مكتملة بالضبط عندما تكون الصورة h(X) مكتملة في المسافة الحقيقية العادية. أي مجموعة مغلقة في R هي مكتملة. بالنسبة لـ h(x)=arctan x على R، الصورة هي (−π/2,π/2)، والتي تستبعد أطرافها. المتتالية n هي كوشية في مسافة السحب لأن arctan n→π/2، لكن لا يوجد x حقيقي له arctan x=π/2، لذا المسافة غير مكتملة. بالنسبة لـ h(x)=x³، الصورة هي كل R ومسافة السحب مكتملة. التكافؤ التوبولوجي وحده لا يحافظ على الاكتمال.

في توبولوجيا ذات أساس، تقع x في غلق A عندما يلتقي كل جوار مفتوح أساسي لـ x مع A. هذا اختبار انتماء، وليس تلقائيًا عملية طرف إقليدي. يجب أن يغطي الأساس الفضاء، وبالنسبة لنقطة في مجموعتين أساسيتين يجب أن يكون هناك جوار أساسي أصغر يحتوي عليها داخل تقاطعهما. يمكن لنقطة أن تقع في غلق عنصر مفرد حتى لو لم تكن النقطة الخاصة بذلك العنصر المفرد؛ هذا الاحتمال يعتمد على التوبولوجيا.

على X={2,3,4,…}، خذ المجموعات الأساسية U_k={n in X: n divides k}، من أجل k≥2. فهي تغطي X لأن x∈U_x؛ التقاطعات هي U_gcd(k,l) عندما يكون القاسم المشترك الأكبر على الأقل 2، أو فارغ. تقع نقطة x في غلق {n} بالضبط عندما يكون كل k يقبل القسمة على x أيضًا يقبل القسمة على n: تكافئ ذلك أن n تقسم x. بشكل أكثر مباشرة، أصغر جوار أساسي U_x يحتوي على n بالضبط عندما n تقسم x، وكل جوار آخر يحتوي على x يشمل هذه القواسم. thus غلق {8} يتكون من المضاعفات الموجبة لـ 8، وليس قواسم 8.

تحت المسافة d(x,y)=|arctan x−arctan y|، تتجه المتتالية العددية نحو نقطة نهاية صورة مفقودة بدلاً من نقطة في R، فهي متتالية كوشي دون تقارب في تلك الفضاء. في أساس المقسومات، يقع 16 في غطاء {8}، حيث أن أي مجموعة أساسية تحتوي على 16 تحتوي أيضًا على 8. لكن 4 لا: U_4={2,4} هي جوار لـ 4 تفتقر إلى 8. هذا يفصل الضربيات عن المقسومات صراحةً.

يجب أن ينتمي حد Cauchy إلى نفس الفضاء. الإكمال خاصية metric، وليس مجرد طوبولوجية. بالنسبة للغلق، اختبر كل neighbourhood للنقطة المرشحة، بدلاً من كل neighbourhood لقيمة الـ singleton.

على $\mathbb R$ قارن $d_1(x,y)=|x^3-y^3|$ و$d_2(x,y)=|\arctan x-\arctan y|$. أثبت أنهما مسافتين وحدد الاكتمال.

حل نموذجي

كلا الدالتين المُعرِّفتين حقنتان، مما يمنح انفصالاً موجباً؛ المسافة المطلقة تمنح التماثل ومتباينة المثلث. كل دالة هي تماثل onto صورتها الحقيقية. دالة المكعب صورتها كل $\mathbb R$، وهو فضاء مكتمل، لذا d1 مكتملة. صورة دالة الظل العكسي هي الفترة المفتوحة $(-\pi/2,\pi/2)$، وهي غير مكتملة. المتتالية n هي d2-كوشية لأن arctan n تميل إلى pi/2، لكن لا توجد نقطة حقيقية لها تلك الصورة، لذا ليس لديها حد d2. قيم المسافة المحدودة لا تعني الاكتمال.

على $X=\{2,3,4,\ldots\}$ استخدم أساس القواسم $U_k=\{n\in X:n\mid k\}$. أوجد غلق $\{6\}$ وداخل $\{6\}$. تحقق من شروط الأساس، بما في ذلك التقاطعات الفارغة.

تحقق بعد المحاولة

كل x ينتمي إلى Ux. التقاطع هو $U_{\gcd(k,l)}$ إذا كان القاسم المشترك الأكبر على الأقل اثنين، وهو فارغ للقاسم المشترك الأكبر واحد. لذا فإن النقطة في التقاطع لها جوار أساسي بداخله. أصغر جوار أساسي لـ x هو Ux، ومحتوى في كل Uk التي تحتوي على x. يلتقي مع {6} بالضبط عندما $6\mid x$. لذلك الغلق هو $\{6,12,18,\ldots\}$، مضاعفات ستة. النقطة ستة ليست داخلية لعنصرها المفرد لأن U6 تحتوي أيضًا على اثنين وثلاثة. لا توجد نقاط أخرى في ذلك العنصر المفرد، لذا داخله فارغ. استخدام هذا الحساب للغلق جميع الأجوار الأساسية، وليس الحدس الإقليدي.