ج.4 · توسيعات تايلور ونقاط نهاية متسلسلات القوى

تحضير GRE للطلاب الجامعيين. أهداف محلية ضمن نطاق ETS المراجَع؛ هذا تعليم أصلي، وليس اختباراً رسمياً أو تنبئاً بالدرجات.

المتطلبات المسبقة: المشتقات، والمتسلسلات الهندسية، واختبارات التقارب.

• بناء حدود تايلور والتحكم في خطأ التقريب
• تحديد نصف قطر التقارب وفحص النقاط الطرفية بشكل منفصل
• اشتقاق وتكامل متسلسلات القوى داخل فترة تقاربها

نصف قطر التقارب: المسافة من مركز المتسلسلة التي تتقارب فيها متسلسلة القوى مطلقاً.

باقي الحدود: الفرق بين الدالة وتقريبها المحدود.

حد تايلور من الدرجة m عند a هو مجموع f^(k)(a)(x−a)^k/k! من k يساوي صفرًا إلى m. المضروب ينتمي لكل معامل. إذا كانت المشتقة التالية محدودة المقدار بـ M بين a و x، فإن باقي لاغرانج يكون مقداره على الأكثر M|x−a|^(m+1)/(m+1)!. النعومة وحدها لا تضمن أن متسلسلة تايلور اللانهائية تساوي الدالة في كل مكان.

متسلسلة قوى مجموع c_n(x−a)^n تتقارب مطلقاً داخل نصف قطرها R وتتباعد خارجها. عادة ما تحدد اختبارات النسبة أو الجذر R، مع قيم ممكنة الصفر واللا نهائي. عند x=a−R و x=a+R غالباً ما يصبح الاختبار غير حاسم؛ عوض كل نقطة نهاية في المتسلسلة الأصلية. قد differs two endpoint behaviours.

داخل الفترة المفتوحة للتقارب، يحافظ الاشتقاق والتكامل الحدي على نصف القطر. يمكن أن يغير ذلك ما إذا كانت النقاط الطرفية مشمولة. ابدأ من المتسلسلة الهندسية 1/(1−x)=sum x^n من أجل |x|<1، ثم انتِغ من صفر إلى x لتحصل على −ln(1−x)=sum x^n/n من أجل n≥1. تحقق من ثابت التكامل ونطاق اللوغاريتم الحقيقي.

تحل المتسلسلات أيضاً حالات الحدود القابلة للإزالة. لتقييم (e^x−1−x)/x² بالقرب من الصفر، احتفظ بالأول surviving term x²/2 بدلاً من استخدام e^x≈1+x فقط. ترنيح مقارن يثبت الحد؛ يتطلب عدم مساواة ذات فترة محددة حجة منفصلة لإشارة الباقي أو مقدارته. لا تعوض في متسلسلة خارج فترة تقاربها.

بالنسبة لمجموع x^n/n حيث n≥1، يعطي اختبار النسبة نصف قطر 1. عند x=1 هو متسلسلة هارمونيتية متباعدة؛ عند x=−1 هو متسلسلة متناوبة متقاربة. وبالتالي فإن فترة التقارب الحقيقية له هي [−1,1). differentiation inside gives sum x^(n−1)=1/(1−x)، which converges at neither endpoint. البقاء نصف القطر stayed 1 بينما تغير شمول نقطة النهاية.

النصف قطر ليس فترة تقارب كاملة. يجب التحقق من اختبارات الأطراف ومعاملات المضاربات صراحةً.

أوجد فترة تقارب $\sum_{n=1}^{\infty}x^n/n$ ومشتقتها الحدية. قوّم $e^{0.1}$ باستخدام حدود تايلور التربيعية له مع حد خطأ مبرر.

حل نموذجي

يعطي اختبار النسبة نصف قطر واحد. عند 1، تتبدد المتسلسلة التوافقية الأصلية؛ عند -1، تتقارب المتسلسلة المتناوبة. إذن الفترة الأصلية هي $[-1,1)$. المشتقة هي $\sum_{n=1}^{\infty}x^{n-1}=1/(1-x)$ فقط من أجل $|x|<1$؛ حدودها لا تميل إلى الصفر عند أي من نقطتي الطرفين. $P_2(0.1)=1+0.1+0.1^2/2=1.105$. على $[0,0.1]$، المشتقة الثالثة هي $e^x<2$. يعطي حد لاغرانج $|R_2|\le2(0.1)^3/6=1/3000$. هذا الحد مقصود به أن يكون محتاطاً، وليس ادعاءً بالخطأ الدقيق.

قيّم $\lim_{x\to0}(\cos x-1+x^2/2)/x^4$. اشرح لماذا لا يمكن استبدال جيب التمام بـ $1-x^2/2$ فقط لتحديد هذا الحد.

تحقق بعد المحاولة

يعطي نظرية تايلور بالقرب من الصفر $\cos x=1-x^2/2+x^4/24+O(x^6)$. يلغي الطرح الحد الثابت والحد التربيعي، متروكًا $x^4/24+O(x^6)$. بعد القسمة يكون النهاية $1/24$. التقطيع مع الباقي يُعطي $o(x^2)$ فقط دون تحكم بعد القسمة على $x^4$؛ احتفظ بالترتيب الناجي الأول وقم بتقديره.