توسعات تايلور ونقاط نهاية متسلسلات القوى
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| remainder/rɪˈmeɪndə/ | باقي |
| radius of convergence/ˈreɪdɪəs ɒv kənˈvɜːdʒəns/ | نصف قطر التقارب |
قرار قبل الإجابة
- يمكن لكثير حدود أن يُقارِب دالة متجاوزة靠近 نقطة معينة، لكن التقريب بدون حد للخطأ قد يعطي عدم مساواة خاطئة.
- هدفك: بناء كثيرات حدود تايلور والتحكم في خطأ التقريب.
اقرأ العلاقة
- كثير حدود تايلور من الدرجة m عند a هو مجموع f^(k)(a)(x−a)^k/k! حيث k من صفر إلى m. ينتمي المضروب إلى كل معامل. إذا كان المشتق التالي محدود المقدار بـ M بين a و x، فإن الباقي لاغرانج مقداره لا يتجاوز M|x−a|^(m+1)/(m+1)!. النعومة وحدها لا تضمن أن متسلسلة تايلور اللانهائية تساوي الدالة في كل مكان.
- تحديد أقطار التقارب واختبار الأطراف بشكل منفصل.
What is the coefficient of x³ in the Maclaurin series of e^(2x)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The coefficient is 2³/3!=8/6=4/3; the factorial cannot be omitted.
استخدم القاعدة المحددة
- متسلسلة القوى sum c_n(x−a)^n تتقارب مطلقًا داخل قطرها R وتتفرق خارجها. عادةً ما تحدد اختبارات النسبة أو الجذر قيمة R، وقد تكون القيم صفر أو ما لا نهاية. عند x=a−R و x=a+R غالبًا ما يصبح الاختبار حاسمًا؛ عوض لكل طرف في المتسلسلة الأصلية. قد تختلف سلوكيات الأطراف الاثنين.
- اشتق وأعد متسلسلات القوى ضمن فترة تقاربها.
Which is the interval of convergence of sum x^n/n² for n≥1?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The radius is 1 and both endpoints converge absolutely by comparison with sum 1/n².
تحقق من الشروط
- ضمن الفترة المفتوحة للتقارب، يحافظ الاشتقاق والتكامل الحدي على نصف القطر. ولكنهما قد يغيران شمول الأطراف. ابدأ بسلسلة هندسية 1/(1−x)=sum x^n من أجل |x|<1، ثم تكامل من صفر إلى x للحصول على −ln(1−x)=sum x^n/n من أجل n≥1. تحقق من ثابت التكامل ومجال اللوغاريتم الحقيقي.
- اشتق وأعد متسلسلات القوى ضمن فترة تقاربها.
بالنسبة لـ sum x^n/n من أجل n≥1، يعطي اختبار النسبة قطر ⟨1⟩. عند x=1 هي السلسلة التوافقية المتفرقة؛ عند x=−1 هي متسلسلة متناوبة متقاربة. وبالتالي فإن فترة تقابرها الحقيقية هي [−1,1). الاشتقاق داخليًا يعطي sum x^(n−1)=1/(1−x)، وهو لا يتقارب عند أي من الطرفين. بقي القطر 1 بينما تغير شمول الأطراف.
The limit of (e^x−1−x)/x² as x tends to zero is ____ (decimal).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
e^x=1+x+x²/2+O(x³), leaving a quotient tending to 1/2.
طبق صيغة المهمة
- المتسلسلات تحل أيضاً أشكال حدود إزالة الإزالة. لتقييم (e^x−1−x)/x² بالقرب من الصفر، احتفظ بالأول Remaining term x²/2 بدلاً من استخدام e^x≈1+x فقط. ترقيق التقارب الأسيموتبي يحدد الحد؛ المتباينة ذات الفترة المحددة تحتاج إلى حجة منفصلة لإشارة أو مقدار الباقي. لا تعوض في متسلسلة خارج فترة تقارنها.
- اشتق وأعد متسلسلات القوى ضمن فترة تقاربها.
النصف قطر ليس فترة تقارب كاملة. يجب التحقق من اختبارات الأطراف ومعاملات المضاربات صراحةً.
أي إجابة تتناسب مع هذه الحالة؟
بناء كثيرات حد تيلور والتحكم في خطأ التقريب
Differentiating a power series always preserves endpoint convergence.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
sum x^n/n converges at −1, but its differentiated geometric series does not.
احتفظ بالتميّزات
- نصف قطر التقارب — المسافة من مركز المتسلسلة داخلها تتقارب فيها متسلسلة القوى تقاربًا مطلقًا.
- الباقي — الفرق بين الدالة وتقريبها有限.
- بناء كثيرات حدود تايلور والتحكم في خطأ التقريب.
- تحديد أقطار التقارب واختبار الأطراف بشكل منفصل.
- اشتق وأعد متسلسلات القوى ضمن فترة تقاربها.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.