التكاملات غير Proper والتطبيقات الهندسية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| improper integral/ɪmˈprɒpə ˈɪntɪɡrəl/ | تكامل غير صحيح |
| principal value/ˈprɪnsɪpl ˈvæljuː/ | القيمة الرئيسية |
قرار قبل الإجابة
- يمكن لمنحنى أن يحيط بمساحة محدودة فوق فترة لا نهائية بينما يشكل سطحًا مساحته لا نهائية عند تدويره.
- هدفك: تعريف التكاملات غير Proper بدلالة الحدود عند كل حدود تفرد.
اقرأ العلاقة
- يُستبدل حد التكامل اللانهائي بحدود نهية وقيمة حدية. عند نقطة مفردة داخل الفترة، يُجزأ التكامل ويُشترط تقارب كلا التكاملين من طرف واحد بشكل منفصل. يمكن أن تُعرّف الإلغاءات المتناظرة قيمة كوشي الرئيسية، لكنها لا تثبت تقارب التكامل غير العادي العادي. بالنسبة لـ 1/x عبر الصفر، يتباعد كلا الجانبين رغم أن القطع المتناظر يلغيهما.
- اختر صيغ المساحة والحجم وطول القوس من الهندسة.
For which p does the integral of x^(−p) from zero to 1 converge?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The lower-bound power limit is finite when 1−p>0; p=1 gives logarithmic divergence.
استخدم القاعدة المحددة
- يتكامل x^(−p) من 1 إلى ما لا نهاية إذا وفقط إذا كان p>1. من الصفر إلى 1 يتكامل إذا وفقط إذا كان p<1. نفس الأس يتصرف بشكل مختلف عند الحدين. بالنسبة للتكاملات ذات الدوال الموجبة، ينقل الاختبار التقارب من دالة أكبر قابلة للتكامل أو التباعد من دالة أصغر غير قابلة للتكامل؛ حافظ على اتجاه المتباينة صحيحًا. بالنسبة لتكامل للحد الأقصى أو الأدنى، حل تقاطعات الفروع وتحقق من أي تعبير يهيمن على كل فترة. بالنسبة لـ max(√(1−x²),x+1) على [−1,1]، التقاطع الداخلي هو صفر؛ استخدم نصف الدائرة على [−1,0] والخط المستقيم على [0,1]. المساحة هي π/4+3/2، وليست تكامل أي فرع على الفترة بأكملها.
- افصل بين تقارب التكاملات والإلغاءات الموقعة (المسحوبة).
Rotating the region under y=x² from x=0 to x=1 around the x-axis gives which volume?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Disk radius is x², so V=π integral 0..1 x⁴ dx=π/5.
تحقق من الشروط
- للدوران حول محور x، تستخدم الأقراص أو الحلقات التكامل π(R²²−r²²) dx. تستخدم الأصداف الأسطوانية 2π مضروبًا في نصف القطر وفي الارتفاع وتكامل في المتغير المطابق. حدد الطريقة بناءً على الهندسة وتحقق من أن أنصاف الأقطار موجبة. المساحة بين المنحنيات تُكامل (الأعلى ناقص الأسفل)، مع التقسيم حيث يتغير ترتيبها. التكامل الموقوع ليس تلقائيًا مساحة هندسية.
- افصل بين تقارب التكاملات والإلغاءات الموقعة (المسحوبة).
دوّر y=1/x من أجل x≥1 حول محور x. حجم القرص هو π ضرب تكامل 1/x²، إذن V=π. دالة تكامل السطح الجانبي هي 2π(1/x)sqrt(1+1/x⁴)، وهي على الأقل 2π/x؛ تكاملها غير العادي يتباعد. الحجم المحدود لا يعني بالضرورة سطحًا محدودًا. هذا المقارنة يتجنب محاولة إيجاد مشتقة عكسية غير ضرورية.
The integral from 1 to infinity of 1/x² dx equals ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The finite-bound integral is 1−1/b and its limit as b grows is 1.
طبق صيغة المهمة
- بالنسبة لمنحنى مستوي قابل للاشتقاق y=f(x)، طول القوس هو تكامل sqrt(1+(f′(x))²) dx. السطح الناتج عن دوران f موجبة حول محور x له مساحته تكامل 2πf sqrt(1+(f′)²) dx. هذه كميات مختلفة عن الحجم. إذا كانت الفترة غير محدودة، فإن الصيغة الهندسية لا تزال تحتاج إلى اختبار تقارب.
- افصل بين تقارب التكاملات والإلغاءات الموقعة (المسحوبة).
لا تحسب القيمة الرئيسية كتكامل غير صحيح متقارب، ولا تستنتج محدودية كمية هندسية واحدة من أخرى.
أي إجابة تتناسب مع هذه الحالة؟
تعريف التكاملات غير المنتهية عن طريق النهايات عند كل حد مفرد
The ordinary improper integral of 1/x from −1 to 1 converges because the integrand is odd.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Each side diverges at zero. The symmetric principal value is zero, which is a different limit.
What is ∫₋₁¹ max(√(1−x²),x+1) dx?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The semicircle dominates on [−1,0], giving quarter-circle area π/4. On [0,1] the line integrates to 3/2. The crossing at −1 is an endpoint, not another interior split.
احتفظ بالتميّزات
- تكامل غير عادي — تكامل مُعرّف بحدود عند حدود لا نهائية أو مفردة.
- القيمة الرئيسية — حد يستخدم إلغاء متناظرًا محددًا قد يوجد عندما يتباعد تكامل غير عادي عادي.
- عرّف التكاملات غير العادية بحدود عند كل حد مفرد.
- اختر صيغ المساحة والحجم وطول القوس من الهندسة.
- افصل بين تقارب التكاملات والإلغاءات الموقعة (المسحوبة).
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.