القيم القصوى متعددة المتغيرات والتحسين المقيد
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| Hessian/ˈheʃn/ | مصفوفة هيسيان |
| Lagrange multiplier/ˈlæɡreɪndʒ ˌmʌltɪˈplaɪə/ | ضرب لاغرانج |
قرار قبل الإجابة
- يمكن لمدرجة صفر أن تحدد حدًا أدنى أو حدًا أعلى أو مقعد سرجي. يمكن أيضًا أن تفشل في تصنيف حد أدنى عادي تمامًا.
- هدفك: صنف النقاط الحرجة ثنائية المتغيرات باستخدام مصفوفة هيسيان.
اقرأ العلاقة
- بالنسبة لدالة قابلة للاشتقاق على مجال مفتوح، الحد المحلي الداخلي له مدرجة صفر. هذا الشرط ضروري وليس كافياً. بالنسبة لمتغيرين عند نقطة حرجة، دع D=f_xx f_yy−(f_xy)². إذا كان D>0، وكان f_xx>0 يعطي حدًا أدنى محليًا صارمًا وf_xx<0 يعطي حدًا أعلى محليًا صارمًا؛ D<0 يعطي مقعد سرجي. تتطلب هذه الاختبارات انتظام المشتقة الثانية المناسب بالقرب من النقطة.
- استخدم مضاعفات لاغرانج مع قيد منتظم.
At a critical point f_xx=2, f_yy=−2 and f_xy=0. What does the second-derivative test give?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
D=2(−2)−0²=−4, so the point is a saddle.
استخدم القاعدة المحددة
- عندما D=0 يكون اختبار المشتقة الثانية غير حاسم، وليس دليلاً على وجود مقعد سرجي. الدوال x⁴+y⁴ و x⁴−y⁴ لهما نفس مصفوفة هيسيان صفرية عند نقطة الأصل، لكن الأولى لها حد أدنى صارم والثانية تتغير إشارتها. قيّم على اتجاهات متناقضة أو استخدم متباينة مباشرة. بالنسبة لشكل تربيعي، الإيجابية المطلقة تعطي تفسيراً أكثر شمولاً لمصفوفة هيسيان.
- قارن القيم القصوى والقيم التي يمكن تحقيقها تحت قيود منتظمة.
What is the maximum of xy subject to x²+y²=2?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
(x−y)²≥0 implies 2xy≤x²+y²=2. Equality occurs at (1,1) and (−1,−1).
تحقق من الشروط
- على قيد مساواة أملس g(x,y)=c بمدرجة غير صفرية g، حل grad f=lambda grad g مع g=c. تولد هذه المعادلات مرشحين؛ لكنها لا تصنف أو تضمن حدًا أقصى عالميًا. إذا اختفت مدرجة القيد، يفشل شرط الانتظام ويمكن لمعادلات المضاعفات أن تفوت حدًا مقيدًا. تعامل مع مثل هذه النقاط بشكل منفصل. بالنسبة لـ x²+y²=a و xy=b>0، (x−y)²=a−2b يظهر ضرورة a≥2b. إنه أيضًا كافٍ: خذ s=√(a+2b)، d=√(a−2b)، x=(s+d)/2 و y=(s−d)/2. هذه القيم الحقيقية لها xy=b و x²+y²=a. شرط الحد الأدنى وحده يحتاج إلى هذا التحقق من التحقيق لإثبات إمكانية الحل.
- قارن القيم القصوى والقيم التي يمكن تحقيقها تحت قيود منتظمة.
قلّل x²+y² تحت القيد x+y=6. مدرجة القيد هي (1,1)، لذا 2x=lambda و 2y=lambda. بالتالي x=y والقيد يعطي x=y=3، مع قيمة 18. إكمال المربع على الخط يعطي x²+(6−x)²=2(x−3)²+18، مما يثبت حدًا أدنى عالميًا. لا يوجد حد أعلى على هذا الخط غير المحدود، على الرغم من وجود مرشح مضاعف.
The minimum value of x²+y² on x+y=4 is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The minimising point is (2,2), giving 4+4=8, or complete the square.
طبق صيغة المهمة
- الدالة المستمرة على مجموعة ممكنة مضغوطة تحقق القيم الحدية العالمية. لإيجادها، قارن جميع المرشحين الداخليين وقطوع الحدود، بما في ذلك الزوايا والنقاط الطرفية. بالنسبة لمستطيل، قم بتحقيق التقييدات على كل حافة. بالنسبة لقرص، قد يستخدم الحد الدائري متغيراً أو ضابط لاغرانج. حل تدرج غير مقيد فقط يتجاهل الفائزين المحتملين من الحدود.
- قارن القيم القصوى والقيم التي يمكن تحقيقها تحت قيود منتظمة.
حل ضابط لاغرانج هو مرشح، وليس بالضرورة حداً أعلى أو أدنى تلقائياً. تحقق من انتظام ومجموعة الممكنات الكاملة.
أي إجابة تتناسب مع هذه الحالة؟
تصنيف النقاط الحرجة ذات المتغيرين باستخدام مصفوفة هيسيان
D=0 at a critical point proves that point is a saddle.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The test is inconclusive; x⁴+y⁴ has D=0 at a strict minimum.
احتفظ بالتميّزات
- مصفوفة هيسيان — مصفوفة المشتقات الجزئية الثانية المستخدمة لدراسة الانحناء المحلي.
- ضابط لاغرانج — عدد ثابت يربط بين تدرجات الدالة الهدف والتقييد المنتظم عند حد مقيد.
- صنف النقاط الحرجة ذات المتغيرين باستخدام مصفوفة هيسيان.
- استخدم مضاعفات لاغرانج مع قيد منتظم.
- قارن القيم القصوى والقيم التي يمكن تحقيقها تحت قيود منتظمة.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.