تغيير الإحداثيات ونظريات التكامل الشعاعي
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| divergence/daɪˈvɜːdʒəns/ | تباعد |
| conservative field/kənˈsɜːvətɪv fiːld/ | حقل محافظ |
قرار قبل الإجابة
- يمكن أن يكون مجال شعاعي له دوار (curl) يساوي صفراً بعيداً عن نقطة الأصل بينما تكون دورهانه حول نقطة الأصل غير صفري. الثقب في المجال مهم.
- هدفك: تحويل التكاملات المزدوجة والثلاثية مع جاكوبياناتها.
اقرأ العلاقة
- تغيير المتغيرات يوسع المساحة أو الحجم بمقدار المحدد المطلق لجاكوبيان. تستخدم الإحداثيات القطرية r dr dtheta؛ الإحداثيات الأسطوانية r dr dtheta dz؛ الإحداثيات الكروية التي يُقاس فيها زاوية phi من محور z الموجب rho² sin(phi) dρ dphi dtheta. حدد قواعد الزاوية وحوّل كلًا من الدالة المكاملة والمنطقة. جاكوبيان مفقود يحول تكامل كثافة موحدة إلى كمية فيزيائية خاطئة.
- طبق نظريات غرين وستوكس وتباعد مع الاتجاه الصحيح.
What is the polar-coordinate area element?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The absolute Jacobian of (r cos(theta),r sin(theta)) is r.
استخدم القاعدة المحددة
- تعادل نظرية غرين تكامل الدوران على حدود مسطحة موجبة التوجه integral P dx+Q dy مع التكامل المزدوج لـ Q_x−P_y على المنطقة. تتطلب الافتراضات المعتادة وجود مشتقات أولى مستمرة على مجموعة مفتوحة تحتوي على المنطقة. يحتاج الثقب إلى حد داخلي خاص به سالب التوجه، أو معالجة أخرى صالحة للمجال المفقود. لا يمكن للنظرية التكامل عبر تفرد مجال.
- تحقق من تفردات المجال قبل الادعاء باستقلالية المسار.
For F=(x,y,z), what is the outward flux through the unit sphere?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Divergence is 3 and unit-ball volume is 4π/3, so outward flux is 4π.
تحقق من الشروط
- تعادل نظرية ستوكس الدوران على حدود سطح مع التكامل السطحي لـ curl F dot oriented normal. تربط قاعدة اليد اليمنى اتجاه الحدود بالعادي. تعادل نظرية التباعد التدفق الخارجي عبر سطح مغلق مع التكامل الحجمي لـ div F. الدوران، التدفق، الدوار، والتباعد مفاهيم منفصلة؛ يتطلب نظرية التباعد المعتادة سطحاً مغلقاً.
- تحقق من تفردات المجال قبل الادعاء باستقلالية المسار.
بالنسبة لـ F=(x,y,z)، التباعد هو 3. لذلك، التدفق الخارجي عبر الكرة نصف قطرها 2 هو 3 ضرب حجمها، أو 3·(4π·2³/3)=32π. هذا يتجنب معلمة السطح. بالنسبة للمجال المستوي (−y,x)، يعطي نظرية غرين دوران الوحدة الدائرة عكس عقارب الساعة كتكامل لـ 1−(−1)=2 فوق القرص، وبالتالي 2π. عكس الاتجاه يغير إشارة الدوران.
For F=(2x,3y,4z), the divergence is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Differentiate matching coordinates and add 2+3+4.
طبق صيغة المهمة
- مجال التدرج له تكاملات خطية مستقلة عن المسار، محددّة بفروق الجهد عند النقاط النهائية. مجال خالٍ من الدوار ومتماثل الاستتباع (continuously differentiable) على مجال مفتوح بسيط الاتصال هو محافظ. الخلو من الدوار وحده على مجال يحتوي على ثقب غير كافٍ. بالنسبة لـ F=(−y/(x²+y²),x/(x²+y²))، تم استبعاد نقطة الأصل؛ دورة دائرة الوحدة هي 2π، على الرغم من أن الدوار يساوي صفراً حيثما كان المجال معرفاً.
- تحقق من تفردات المجال قبل الادعاء باستقلالية المسار.
الدوار الصفري ليس كافيًا عندما يحتوي المجال على ثقب. يستخدم التدفق الخارجي والدورة عكس عقارب الساعة نظريات وقواعد توجه مختلفة.
أي إجابة تتناسب مع هذه الحالة؟
تحويل التكاملات المزدوجة والثلاثية مع جاكوبياتها
A curl-free field on the punctured plane is always conservative.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The angular field in the lesson has zero curl away from zero but unit-circle circulation 2π, so it cannot be a global potential gradient there.
احتفظ بالتميّزات
- التباعد — مجموع المشتقات الجزئية لمجال شعاعي بالنسبة لمكوناته لقياس التدفق الخارجي المحلي.
- المجال المحافظ — مجال شعائي يساوي تدرج جهد قياسي مع تكاملات خطية مستقلة عن المسار.
- تحويل التكاملات المزدوجة والثلاثية مع جاكوبياناتها.
- طبق نظريات غرين وستوكس وتباعد مع الاتجاه الصحيح.
- تحقق من تفردات المجال قبل الادعاء باستقلالية المسار.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.