الدوال، الفروع العكسية والتركيب
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| bijection/baɪˈdʒekʃn/ | تقابل |
| involution/ɪnvəˈluːʃn/ | انقلاب ذاتي |
قرار قبل الإجابة
- يجب أن يعيد التشفير العكسي استرداد إدخال واحد بالضبط. لا يمكن للمعادلة وحدها أن تخبرك ما إذا كان الاسترداد ممكناً: مدخلاتها ومخرجاتها المسموحة هي التي تهم.
- هدفك: التمييز بين الدالة الأحادية والدالة الشاملة باستخدام المجال والمدى المحددين.
اقرأ العلاقة
- تعطي الدالة مخرجاً واحداً بالضبط لكل إدخال مسموح. تعني الأحادية أن المساواة في المخرجات تجبر على مساواة المدخلات؛ وتعني الشاملة أن كل عنصر في المدى المحدد يتم الوصول إليه. الخريطة x↦x² من R إلى [0,∞) هي شاملة ولكن ليست أحادية. من [0,∞) إلى [0,∞) هي كلاً منهما، وبالتالي هي ثنائية. من [0,∞) إلى R تبقى أحادية لكنها تفشل في الشاملة. احتفظ بالمجال والصورة والمدى منفصلين عند اختبار كل ادعاء.
- اختر وفرد فرعاً عكسياً عن طريق التركيب في كلا الاتجاهين.
For f:[2,∞)→[−5,∞), f(x)=(x−2)²−5, what is f⁻¹(y)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The input restriction x≥2 forces x−2≥0, so select the positive square-root branch.
استخدم القاعدة المحددة
- الدالة العكسية تعكس التوافق الثنائي. قم بحل y=f(x) بالنسبة لـ x، ثم استخدم المجال الأصلي لاختيار فرع. بالنسبة لـ f(x)=(x−2)²−5 على x≥2، الدالة العكسية هي 2+√(y+5) على y≥−5. الفرع السالب سيعيد مدخلات خارج المجال المختار. تحقق من f⁻¹(f(x))=x للمدخلات المسموحة و f(f⁻¹(y))=y للقيم المسموحة؛ تركيب غير متحقق منه واحد قد يخفي خطأ في المجال.
- تتبع التركيب المتكرر للدوال مع الحفاظ على المجال.
For g(x)=1/(1−x) on R excluding 0 and 1, what is g⁸(3)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The orbit is 3, −1/2, 2/3, then 3 again. Eight is congruent to two modulo three.
تحقق من الشروط
- ينعكس الرسم البياني للعكس عبر الخط y=x؛ فهو لا يأخذ المقلوب لقيم المخرجات. الدالة ذاتية العكس، أو الانعكاس الذاتي، تحقق f(f(x))=x حيثما تم تعريف التركيب. كل من −x على R و 1/x على R باستثناء الصفر هما دوال انعكاس ذاتي. الانعكاس الذاتي المتزايد تماماً على فترة يجب أن يكون هو الهوية: إذا كانت f(x)>x، فإن الزيادة تعطيك f(f(x))>f(x)>x، والحجة مماثلة تستبعد f(x)<x.
- تتبع التركيب المتكرر للدوال مع الحفاظ على المجال.
من أجل f(x)=(x−2)²−5 مع x≥2، f(5)=4 وf⁻¹(4)=2+√9=5. لو كان التربيعي غير المقيد سيحتوي على مدخلين، −1 و5، مما يعطي ناتج 4. بالنسبة لـ g(x)=1/(1−x)، المدار 3→−1/2→2/3→3 له دورة ثلاثة، لذا g⁸(3)=2/3؛ العدد يتعلق بالتركيبات، وليس القوى الثامنة.
For h(x)=−x on R, the value of h(h(7)) is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Negation twice returns the original input; this map is an involution.
طبق صيغة المهمة
- التكرار fⁿ يعني التركيب المتكرر، وليس القوة (f(x))ⁿ. احسب أول بضع تركيبات وتحقق من مجالاتها قبل البحث عن الدور. بالنسبة لـ f(x)=1/(1−x) على R باستثناء 0 و 1، فإن f²(x)=(x−1)/x و f³(x)=x. الصورة تظل في نفس المجال المسموح. لذلك قلل عدد التكرارات مقسوماً عليه 3. صيغة معروضة تساوي x بعد الاختصار لا تعيد المدخلات المحظورة.
- تتبع التركيب المتكرر للدوال مع الحفاظ على المجال.
تغيير المدى يغير الشاملة. الانعكاس عبر y=x هو رسم بياني عكسي؛ مقلوبة قيم y هي عملية مختلفة. لا تلغِ المدخلات المستبعدة.
أي إجابة تتناسب مع هذه الحالة؟
التمييز بين الت Website و الت Website باستخدام المجال والمجال المقابل المحدد
The function x↦x² from [0,∞) to R is surjective.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
No negative element of the codomain is reached. The image is only [0,∞).
احتفظ بالتميّزات
- ثنائية — دالة تكون أحادية وشاملة بين مجموعتيها المحددة.
- انعكاس ذاتي — دالة يكون تركيبها مع نفسها هو الهوية على مجالها.
- التمييز بين الدالة الأحادية والدالة الشاملة باستخدام المجال والمدى المحددين.
- اختر وفرد فرعاً عكسياً عن طريق التركيب في كلا الاتجاهين.
- تتبع التركيب المتكرر للدوال مع الحفاظ على المجال.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.