صور المجموعات، علاقات التكافؤ والنفي المنطقي
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| preimage/ˌpriːˈɪmɪdʒ/ | صورة عكسية |
| equivalence relation/ɪˈkwɪvələns rɪˈleɪʃn/ | علاقة تكافؤ |
قرار قبل الإجابة
- يمكن تعيين نفس التسمية لتسجيلين مختلفين. هذا الاصطدام البسيط يفسر لماذا يمكن أن تختلف صورة التقاطع عن تقاطع الصورتين.
- هدفك: إثبات هويات الصور والتمييز بين الشمولية والمساواة.
اقرأ العلاقة
- بالنسبة لـ f:X→Y و A⊆X، تتكون صورة f(A) من جميع المخرجات f(a) حيث a في A. النقطة تكون في f(A∪B) بالضبط عندما تأتي من A أو B، لذا f(A∪B)=f(A)∪f(B). إذا كانت A⊆B، فإن f(A)⊆f(B). بالنسبة للتقاطع فقط f(A∩B)⊆f(A)∩f(B) تلقائي: قد يأتي نفس المخرج من مدخلات مختلفة. استخدم f(x)=x²، A={−1}، B={1}؛ الصورة اليسرى فارغة بينما تقاطع اليمين هو {1}.
- تحقق من الانعكاسية والتناظر والتعدي من خلال حالات صريحة.
Which identity holds for every function f and subsets A,B of its domain?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
An output of an input in the union comes from at least one subset. Intersection equality can fail when distinct inputs share an output.
استخدم القاعدة المحددة
- السلوك العكسي يختلف. بالنسبة لـ C⊆Y، f⁻¹(C) هنا تشير إلى مجموعة جميع المدخلات المرسلة إلى C، حتى لو لم يكن لدى f دالة عكسية. الانتماء في مستقبلين عكسيين يعني نفس المدخل تماماً الذي يرسل إلى كلتا المجموعتين المستهدفتين. ونتيجة لذلك، تحافظ المستقبلات العكسية على الاتحادات والتقاطعات والمكملات النسبية للمجال/المدى المحدد. لا تنقل نظرية حول المستقبلات العكسية إلى الصور. إذا كانت f أحادية، تصبح تقاطعات الصور مساوية، لأن المخرجات المتساوية تجبر على مدخل مشترك.
- نفي الاستدلالات والعبارات الكمية دون تغيير نطاقها.
What is the negation of P⇒(Q∧R)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Failure of the implication requires a true premise and a false conjunction. De Morgan changes the latter into a disjunction.
تحقق من الشروط
- تكون العلاقة R على X انعكاسية عندما يكون xRx لكل x، ومتناظرة عندما implies xRy implies yRx، ومتعدية عندما implies xRy و yRz implies xRz. جميعها الثلاثة تشكل علاقة تكافؤ؛ ففئاتها تقسم X. على الأعداد الصحيحة، xRy عندما يكون x و y لهما نفس الباقي من القسمة على أربعة يعطي أربع فئات. العلاقة |x−y|≤1 هي انعكاسية ومتناظرة لكنها ليست متعدية: 0R1 و 1R2 بينما 0 غير مرتبطة بـ 2. التحقق من مخطط واحد أو اثنين فقط للخصائص لا يكفي.
- نفي الاستدلالات والعبارات الكمية دون تغيير نطاقها.
ليكن f يحوّل a و b كلاهما إلى التسمية L. مع A={a}، B={b}، f(A∩B)=∅ لكن f(A)∩f(B)={L}. بالنسبة لـ xRy المعرّفة بـ x=y أو x=−y على R، الانعكاسية والتناظر يتبعان مباشرة، وتغييران في الإشارة لا يزالان يعطيان z=±x، مما يثبت التعددية. الفئات هي {x,−x}، مع {0} كعنصر وحيد. العبارة الخاطئة "كل ملف مخزن له هاش" تعني أن هناك على الأقل ملفاً واحداً مخزناً ليس له هاش؛ ولا تعني أن كل الملفات تفتقر للهاش.
How many equivalence classes are there on Z for equality of remainders modulo four?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Each integer belongs to exactly one of the remainder classes 0, 1, 2 or 3.
طبق صيغة المهمة
- الاستلزام P⇒Q يكون خاطئاً تماماً عندما يكون P صحيحاً و Q خاطئاً. لذلك نفي P⇒(Q∧R) هو P∧(¬Q∨¬R)، وليس ¬P⇒(¬Q∧¬R). نفي "كل x يمتلك الخاصية A" يعطي "يوجد x بدون A"؛ ونفي "يوجد x" يعطي "كل x لا يمتلك". يمكن لنموذج مضاد دحض ادعاء عالمي، بينما الأمثلة لا تثبته. تحتفظ الكميّات بترتيبها عند نفيها بشكل فردي: ¬(∀x∃y S(x,y)) هي ∃x∀y ¬S(x,y).
- نفي الاستدلالات والعبارات الكمية دون تغيير نطاقها.
f⁻¹(C) قد تعني مجموعة ما قبل الصورة دون وجود دالة عكسية. قد تفشل العلاقة الانعكاسية والمتناظرة في التعددية. انفي العبارة كاملة قبل تبسيط أجزائها.
أي إجابة تتناسب مع هذه الحالة؟
إثبات هويات الصورة والتمييز بين الانتماء والتساوي
The relation |x−y|≤1 on R is transitive.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Use x=0,y=1,z=2: the first two pairs satisfy the relation, but the pair (0,2) does not.
احتفظ بالتميّزات
- ما قبل الصورة — مجموعة المدخلات التي تقع مخرجاتها في مجموعة مستهدفة محددة.
- علاقة التكافؤ — علاقة تكون انعكاسية ومتناظرة ومتعدية.
- أثبت متطابقات الصورة وميز بين الشمول والمساواة.
- تحقق من الانعكاسية والتناظر والتعدي من خلال حالات صريحة.
- نفي الاستدلالات والعبارات الكمية دون تغيير نطاقها.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.