ت.5 · المجموعات المفتوحة، الانضغاط والاتصال

تحضير GRE للطلاب الجامعيين. أهداف محلية ضمن نطاق ETS المراجَع؛ هذا تعليم أصلي، وليس اختباراً رسمياً أو تنبئاً بالدرجات.

المتطلبات المسبقة: المجموعات، المجموعات المفتوحة النسبية، الدوال المتصلة والمتتاليات.

• حساب الإغلاق، interiors، والحدود في فضاء معلوم
• تطبيق الانضغاط والاتصال على الدوال المستمرة
• التمييز بين الطوبولوجيا النسبية والطوبولوجيا الإقليدية المحيطة

الطوبولوجيا النسبية: المجموعات المفتوحة المستحثة عن تقاطع فضاء جزئي مع مجموعات مفتوحة في الفضاء المحيط.

الاتصال: غياب الفصل إلى مجموعتين مفتوحتين نسبياً غير فارغتين ومنفصلتين.

في الفضاء المترى، المجموعة المفتوحة تحتوي على كرة صغيرة حول كل نقطة منها. Interior يتكون من مثل هذه النقاط؛ الإغلاق يشمل جميع نقاط التجميع؛ والحدود هو الإغلاق ناقص Interior. المجموعات المفتوحة والمغلقة ليست علامات متبادلة للاستبعاد؛ المجموعة الفارغة والفضاء بأكمله كلاهما مفتوح ومغلق. في ℝ، المجموعة [0,1) لها interior (0,1)، وإغلاق [0,1] وحدود {0,1}.

في فضاء جزئي X، المجموعة المفتوحة تأخذ شكل X مقطوعة مع مجموعة مفتوحة محيطية. وهكذا [0,1) هي مفتوحة نسبياً بالنسبة لـ [0,2]، باستخدام التقاطع مع (-1,1)، رغم أنها ليست مفتوحة في ℝ. قد تكون المجموعة مغلقة نسبياً دون أن تكون مغلقة في الفضاء المحيط. يجب دائماً تحديد أي فضاء يعرف الجوار وأيه متر يتم استخدامه.

الانضغاط يعني أن كل غطاء مفتوح يحتوي على غطاء جزئي منتهٍ. في Euclidean R^n، يجعل Heine–Borel هذا مكافئاً للمجموعات المغلقة والمحدودة. في فضاء مترى، الانضغاط يكافئ الانضغاط التسلسلي؛ الاكتمال والمحدودية وحدهما لا يكفيان في فضاءات مترية عامة. صورة متصلة لمجموعة مضغوطة تكون مضغوطة، مما يمنح قصراً وقيمًا عظمى مُتحققة للدوال الحقيقية المستمرة على مجال مضغوط غير فارغ.

المجموعات المتصلة لا يمكن فصلها إلى جزئين مفتوحين نسبياً غير فارغين ومنفصلين؛ المجموعات المتصلة في ℝ هي بالضبط الفترات. صورة متصلة لمجموعة متصلة تكون متصلة، مما يؤدي إلى مبرهنة القيمة الوسطى. الاتصال بالمسار يستلزم الاتصال، لكن ليس العكس في كل فضاء. المجموعة المضغوطة قد لا تكون متصلة، والمجموعة المتصلة قد لا تكون مضغوطة؛ توفر مجموعة نقطتين منتهية وفترتان مفتوحتان الحالات المتناقضة.

ليكن X=[0,1] مع طوبولوجيته النسبية المعتادة. المجموعة U=[0,0.5) تساوي X مقطوعة مع (-1,0.5)، لذا U مفتوحة في X. إغلاقها في X هو [0,0.5]، وحدودها في X هو {0.5}؛ الصفر نقطة داخلية نسبياً لـ X. بالنسبة لدالة مستمرة f على X حيث f(0)<0<f(1)، يضمن الاتصال وجود صفر، بينما تضمن الكثافة بشكل مستقل تحقق القيم القصوى.

يعتبر اختبار هاين-بوريل للفضاء المغلق والمحدود نظرية في الفضاء الإقليدي. وتُجيب مفهوما الاتصال والانضغاط عن أسئلة مختلفة.

في $X=[0,2]$ مع طوبولوجيتها النسبية، أوجد الجزء الداخلي، والإغلاق، والحدود لـ $A=[0,1)$. هل A مفتوح أم مغلق في X؟

حل نموذجي

$A=X\cap(-1,1)$ مفتوح في X، لذا فإن جزؤه الداخلي النسبي هو A. إغلاقه هو $[0,1]$ وحدوده هو $\{1\}$. الصفر جزء داخلي نسبيًا بالنسبة لـ X لأن كرة صغيرة بما يكفي في X لا تحتوي على سالب. A ليس مغلقًا في X: المتتالية $1-1/n$ من أجل $n\ge2$ تميل إلى النقطة المفقودة 1. في خط الأعداد الحقيقي المحيطي، كان الجزء الداخلي والحدود سيكونان بدلاُ ذلك $(0,1)$ و$\{0,1\}$.

قدم مجموعة حقيقية غير متصلة ومتماسكة، ومجموعة حقيقية متصلة وغير متماسكة. هل يجب أن تصل دالة حقيقية مستمرة على المجموعة الثانية إلى قيمة قصوى؟ اشرح أي خاصية تضمن نظرية القيمة الوسطى.

تحقق بعد المحاولة

المجموعة المنتهية $\{0,2\}$ متماسكة لكنها غير متصلة. الفترة $(0,1)$ متصلة لكنها ليست متماسكة. الدالة المتطابقة المستمرة على $(0,1)$ لا تصل إلى neither max nor min (لا عظمى ولا صغرى). الاتصال يجعل الصورة الحقيقية المستمرة فترة وبالتالي يوفر القيم الوسطى. التماسك بدلاُ يجعل الصورة الحقيقية المستمرة غير فارغة تصل إلى قيمها القصوى. لا يمكن لأحد الخاصيتين استبدال الآخر.