المجموعات المفتوحة، الانضغاط والاتصال
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| connectedness/kəˈnektɪdnəs/ | اتصال |
| relative topology/ˈrelətɪv təˈpɒlədʒi/ | طوبولوجيا نسبية |
قرار قبل الإجابة
- الفترة [0,1) مفتوحة في فضاء طبيعي واحد وليست مفتوحة ولا مغلقة في فضاء آخر. الفضاء المحيط جزء من السؤال.
- هدفك: حساب الإغلاق، الداخلية، والحدود في فضاء مُعطى.
اقرأ العلاقة
- في الفضاء المترقي، المجموعة المفتوحة تحتوي على كرة صغيرة حول كل نقطة منها. تتكون الداخلية من مثل هذه النقاط؛ يشمل الإغلاق جميع نقاط التجميع؛ والحدود هو الإغلاق ناقص الداخلية. ليست العلامتان "مفتوحة" و"مغلقة" متنافيتين؛ فالمجموعة الخالية والفضاء كله كلاهما مفتوح ومغلق. في R، مجموعة [0,1) لها داخلية (0,1)، وإغلاق [0,1]، وحدود {0,1}.
- طبق الكثافة والاتصال على التوابع المستمرة.
What is the boundary of (0,1) as a subset of R?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The closure is [0,1] and the interior is (0,1); removing the latter leaves both endpoints.
استخدم القاعدة المحددة
- في فضاء جزئي X، تكون المجموعة المفتوحة على شكل X مقطوعة مع مجموعة مفتوحة في الفضاء المحيط. لذا فإن [0,1) مفتوحة نسبياً بالنسبة لـ [0,2]، باستخدام المقطوعة مع (-1,1)، على الرغم من أنها ليست مفتوحة في R. قد تكون المجموعة مغلقة نسبياً دون أن تكون مغلقة في الفضاء المحيط. يجب دائماً تحديد أي فضاء يُعرّف الجوار وأي متر يُستخدم.
- ميّز الطوبولوجيا النسبية بالطوبولوجيا الإقليدية المحيطة.
Which subset of R is connected but not compact?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
An open interval is connected but not closed in R, so it is not compact. The other options are compact or disconnected.
تحقق من الشروط
- الكثافة تعني أن كل غطاء مفتوح يحتوي على غطاء فرعي محدود. في R^n الإقليدي، يجعل هييه-بوريل ذلك مساوياً للمجموعة المغلقة والمحدودة. في الفضاء المترقي، الكثافة مساوية للكثافة المتتالية؛ والكاملة والمحدودة وحدهما لا تكفيان في الفضاءات المترقية العامة. الصورة المستمرة لمجموعة كثيفة هي مجموعة كثيفة، مما يمنح توابع حقيقية مستمرة على مجال كثيف غير فارغ قيمًا قصوى ودنيا مُتحققة.
- ميّز الطوبولوجيا النسبية بالطوبولوجيا الإقليدية المحيطة.
ليكن X=[0,1] مع طوبولوجيته النسبية المعتادة. المجموعة U=[0,0.5) تساوي X مقطوعة مع (-1,0.5)، لذا U مفتوحة في X. إغلاقها في X هو [0,0.5]، وحدودها في X هو {0.5}؛ الصفر نقطة داخلية نسبياً لـ X. بالنسبة لدالة مستمرة f على X حيث f(0)<0<f(1)، يضمن الاتصال وجود صفر، بينما تضمن الكثافة بشكل مستقل تحقق القيم القصوى.
The number of boundary points of [0,0.5) relative to X=[0,1] is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Only 0.5 is a relative boundary point. Zero has a relative neighbourhood contained in the set.
طبق صيغة المهمة
- المجموعات المتصلة لا يمكن فصلها إلى جزئين غير فارغين مفتوحين نسبياً؛ المجموعات المتصلة الفرعية في R هي بالتحديد الفترات. الصورة المستمرة لمجموعة متصلة هي مجموعة متصلة، مما يؤدي إلى نظرية القيمة الوسطى. الاتصال بالمسار يقتضي الاتصال، وليس العكس في كل فضاء. لا يشترط أن تكون المجموعة الكثيفة متصلة، ولا يشترط أن تكون المجموعة المتصلة كثيفة؛ توفر مجموعة من نقطتين منتهية وفتره مفتوحة الحالات المتناقضة.
- ميّز الطوبولوجيا النسبية بالطوبولوجيا الإقليدية المحيطة.
يعتبر اختبار هاين-بوريل للفضاء المغلق والمحدود نظرية في الفضاء الإقليدي. وتُجيب مفهوما الاتصال والانضغاط عن أسئلة مختلفة.
أي إجابة تتناسب مع هذه الحالة؟
حساب الإغلاق، والداخل، والحدود في فضاء مُذكَّر
Every continuous function on a bounded open interval attains a maximum.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
f(x)=x on (0,1) has supremum 1 but no maximum. Compactness of the domain would supply the missing hypothesis.
احتفظ بالتميّزات
- الطوبولوجيا النسبية — المجموعات المفتوحة التي تُستلَم بتقاطع مجموعة جزئية مع المجموعات المفتوحة المحيطة بها.
- الاتصال — غياب الفصل إلى مجموعات مفتوحة نسبيًا غير فارغة ومتقطعة.
- حساب الغطاء، والمحتوى الداخلي، والحدود في فضاء محدد.
- طبق الكثافة والاتصال على التوابع المستمرة.
- ميّز الطوبولوجيا النسبية بالطوبولوجيا الإقليدية المحيطة.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.