ت.4 · المتتاليات والمتسلسلات والتقارب المنتظم

تحضير GRE للطلاب الجامعيين. أهداف محلية ضمن نطاق ETS المراجَع؛ هذا تعليم أصلي، وليس اختباراً رسمياً أو تنبئاً بالدرجات.

المتطلبات السابقة: حدود المتتاليات، والحد الأعلى، والاتصال، والمتسلسلات العددية.

• استخدام معايير كوشي، التقارب الأحادي، والمتتالية الجزئية
• التمييز بين التقارب النقطي والتقارب المنتظم للدوال
• التحقق من الفرضيات قبل تبديل الحدود التكاملات

متتالية كوشي: متتالية تكون فيها حدودها المتأخرة بما يكفي قريبة جداً من بعضها البعض.

التقارب المنتظم: تقارب بحد خطأ واحد صالح عند كل نقطة من المجال.

أي متتالية حقيقية متقاربة هي متتالية كوشي، وكل متتالية كوشي حقيقية تتقارب لأن ℝ فاصلة. في ℚ، قد تقترب متتالية كوشي من عدد غير نسبي وتفشل في التقارب داخل ℚ. المتتالية الحقيقية المقيدة والمفردة تتقارب. المتتالية المقيدة لا يشترط أن تتقارب، لكن مبرهنة بولزانو-فايرشتراس تضمن وجود متتالية جزئية متقاربة؛ حيث أن (-1)^n له حدان جزئيان مختلفان للتقارب.

بالنسبة لمتسلسلة عددية، التقارب المطلق يستلزم التقارب؛ أما التقارب الشرطي فلا يسمح بإعادة الترتيب التعسفي دون التأثير على المجموع. المتسلسلة التناظرية التوافقية تتقارب لكن متسلسلة قيمتها المطلقة تتباعد. في اختبار النسبة، حد أقل من 1 يثبت التقارب المطلق وحد أعلى من 1 يثبت التباعد؛ بينما الحد مساوي 1 يكون حاسماً، كما توضح المتسلسلتان sum 1/n و sum 1/n².

التقارب النقطي يختار فهرس N بشكل منفصل لكل x والتسامح. التقارب المنتظم يختار N واحد يعمل لكل x في المجال. للدوال ذات القيم الحقيقية، تحقق من القيمة العليا لـ |f_n−f| على كامل المجال. التقارب النقطي المستمر للدالة لا يثبت بمفرده التقارب المنتظم. نقاط نهاية المجال وقمم التناقص غالبًا ما تميز المفهومين.

نهاية دوال مستمرة منتظمة تكون دالة مستمرة. على فترة مغلقة ومحدودة، التقارب المنتظم لدوال ريمان القابلة للتكامل يسمح بتبديل النهاية مع التكامل. تبديل المشتقات يتطلب فرضيات إضافية؛ التقارب المنتظم للدوال وحده غير كافٍ. اختبار وييرشتراس M يثبت التقارب المطلق المنتظم لمتسلسلة دوال إذا كان كل حد محوداً بواسطة M_n على كامل المجال ومتسلسلة sum M_n تتقارب.

على [0,1]، f_n(x)=x^n تميل إلى 0 عندما x<1 وتميل إلى 1 عند x=1. الدالة المحددة غير مستمرة، لذا لا يمكن أن يكون التقارب منتظماً؛ وبشكل مباشر، الخطأ الأعلى هو 1، وهو يُقترب منه من الأسفل 1. على [0,a] حيث 0≤a<1، تكون القيمة المحددة صفراً والحد الأعلى هو a^n، والذي يميل إلى الصفر، لذا فإن التقارب منتظم. تغيير المجال يغير الاستنتاج.

التحقق من عدة قيم x ثابتة لا يثبت neither حدًا علويًا nor تقاربًا موحدًا. النقطة التي تنتج أكبر خطأ قد تتحرك مع n.

حدد التقارب النقطي والمنتظم لـ $f_n(x)=x^n$ على $[0,1]$ وعلى $[0,a]$ لثابت $0<a<1$. قارن $\sum1/n^2$ بالمتسلسلة التناظرية التوافقية من أجل التقارب المطلق.

حل نموذجي

على $[0,1]$، النهاية تساوي صفرًا لـ $x<1$ وتساوي واحدًا عند 1. هذه النهاية غير مستمرة، لذا لا يمكن أن تتقارب الدوال المستمرة $f_n$ بشكل منتظم. وبشكل مباشر، الخطأ الأقصى على $[0,1)$ يساوي واحدًا. على $[0,a]$، الـ supremum هو $a^n\to0$، لذا فإن التقارب منتظم نحو الصفر. متسلسلة p مع p=2 تتقارب مطلقًا. المتسلسلة التناظرية التوافقية تتقارب بسبب تناقص الحدود المميلة للصفر، لكن متسلسلة القيم المطلقة تتباعد؛ لذا فإن تقاربها شرطي.

ليكن $g_n(x)=\sin(nx)/n$ على $\mathbb R$. هل التقارب منتظم؟ هل يمكن لمشتقاتها أن تتقارب إلى مشتقة نهايتها؟ استخدم نقطة صريحة لاتخاذ القرار.

تحقق بعد المحاولة

$\sup_{x\in\mathbb R}|g_n(x)|=1/n\to0$، إذن الدوال تتقارب منتظمًا إلى الصفر. لكن $g_n'(x)=\cos(nx)$، وعند $x=0$ هذه المشتقات كلها تساوي 1. مشتقة النهاية الصفرية هي 0. وبالتالي، التقارب المنتظم للدوال وحده لا يبرر اشتقاق النهاية؛ بل تتطلب فرضيات إضافية حول تقارب المشتقات.