ج.5 · التكاملات غير الصحيحة والتطبيقات الهندسية

تحضير GRE للطلاب الجامعيين. أهداف محلية ضمن نطاق ETS المراجَع؛ هذا تعليم أصلي، وليس اختباراً رسمياً أو تنبئاً بالدرجات.

المتطلبات المسبقة: الدوال العكسية للتفاضل، النهايات، التكامل المقارن والتكامل الهندسي.

• عرّف التكاملات غير العادية بنهايات عند كل حدود تفردية
• اختر صيغ المساحة والحجم وطول القوس من الهندسة
• افصل تقارب التكاملات عن الإلغاء الموجه

تكامل غير عادي: تكامل مُعرَّف بنهايات عند حدود لا نهائية أو تفردية.

القيمة الرئيسية: نهاية تستخدم إلغاءً متماثلًا محددًا قد توجد عندما يتباعد التكامل غير العادي العادي.

يتم استبدال طرف التكامل اللانهائي بحد نهائي ونهاية. عند نقطة التفرد داخل الفترة، قسّم التكامل واطلب تقارب كل من التكاملات أحادية الاتجاه بشكل منفصل. يمكن أن يحدد الإلغاء المتماثل قيمة رئيسية لكوشي لكنه لا يثبت تقارب التكامل غير العادي العادي. بالنسبة لـ 1/x عبر الصفر، يتباعد الجانبان حتى مع الإلغاءات المتماثلة.

تكامل x^(−p) من 1 إلى ما لا نهاية يتقارب تماماً عندما p>1. ومن الصفر إلى 1 يتقارب تماماً عندما p<1. نفس الأس يتصرف بشكل مختلف عند الحدين. بالنسبة للتكاملات ذات الدوال الموجبة، ينقل اختبار المقارنة التقارب من دالة أكبر قابلة للتكامل أو التباعد من دالة أصغر غير قابلة للتكامل؛ احفظ اتجاه المتباينة صحيحاً. بالنسبة لتكامل القيمة العظمى أو الصغرى، حل تقاطعات الفروع وتحقق من أي تعبير يهيمن على كل فترة. بالنسبة لـ max(√(1−x²),x+1) على [−1,1]، التقاطع الداخلي هو صفر؛ استخدم نصف الدائرة على [−1,0] والخط المستقيم على [0,1]. المساحة هي π/4+3/2، وليست تكامل أي فرع على كامل الفترة.

بالنسبة للدوران حول محور x، تكامل الأقراص أو الحلقات π(R²−r²) dx. تستخدم الأصداف الأسطوانية 2π مضروبًا في نصف القطر والارتفاع وتكامل في المتغير المطابق. حدد الطريقة حسب الهندسة وتأكد من عدم سالبية نصف القطر. مسافة بين المنحنيات تكامل العلوي ناقص السفلي، مقسمة حيث يتغير ترتيبها. التكامل الموجه ليس تلقائيًا مساحة هندسية.

بالنسبة لمنحنى مستوي قابل للاشتقاق y=f(x)، طول القوس هو تكامل sqrt(1+(f′(x))²) dx. السطح الناتج عن تدوير f غير سالبة حول محور x له مساحة تكامل 2πf sqrt(1+(f′)²) dx. هذه كميات مختلفة عن الحجم. إذا كانت الفترة غير محدودة، فإن الصيغة الهندسية لا تزال تحتاج إلى اختبار تقارب.

دوّر y=1/x من أجل x≥1 حول محور x. حجم القرص هو π ضرب تكامل 1/x²، إذن V=π. دالة تكامل السطح الجانبي هي 2π(1/x)sqrt(1+1/x⁴)، وهي على الأقل 2π/x؛ تكاملها غير العادي يتباعد. الحجم المحدود لا يعني بالضرورة سطحًا محدودًا. هذا المقارنة يتجنب محاولة إيجاد مشتقة عكسية غير ضرورية.

لا تحسب القيمة الرئيسية كتكامل غير صحيح متقارب، ولا تستنتج محدودية كمية هندسية واحدة من أخرى.

أي عدد حقيقي p يجعل $\int_0^\infty x^{-p}\,dx$ تتقارب؟ قارن التكامل غير العادي العادي لـ $1/x$ على $[-1,1]$ بقيمتها الرئيسية المتماثلة.

حل نموذجي

قسّم عند 1. بالقرب من الصفر، يتطلب التقارب $p<1$؛ بالقرب من ما لا نهاية، يتطلب $p>1$. لا يوجد عدد حقيقي p يحقق الاثنين، وp=1 يتباعد لوغاريتميًّا في كلا الطرفين. يجب أن يتقارب كل من الجزأين أحادي الاتجاه بشكل مستقل. بالنسبة لـ $1/x$ عبر الصفر، يتباعد الجزء السالب والموجب بشكل منفصل، لذا يتباعد التكامل غير العادي العادي. تلغي الإ cutoffs المتماثلة للحصول على صفر، مما ينتج قيمة رئيسية فقط. الصفر ليس قيمة التكامل العادي.

دوّر المنطقة تحت $y=1/x$، $x\ge1$، حول محور x. أثبت أن حجمها محدود ومساحتها الجانبية لا نهائية.

تحقق بعد المحاولة

تعطي الأقراص $V=\pi\lim_{b\to\infty}\int_1^b x^{-2}\,dx=\pi\lim(1-1/b)=\pi$. بالنسبة لمساحة السطح، $y'=-1/x^2$ و

الدالة القابلة للتكامل الموجبة لها على الأقل $2\pi/x$، whose integral diverges. يثبت المقارنة المساحة الجانبية اللانهائية. هذا لا يشمل neither an end cap nor a claim that finite volume implies finite area.