ج.6 · القيم الحدية متعددة المتغيرات والتحسين المقيد

تحضير GRE للطلاب الجامعيين. أهداف محلية ضمن نطاق ETS المراجَع؛ هذا تعليم أصلي، وليس اختباراً رسمياً أو تنبئاً بالدرجات.

المتطلبات المسبقة: المشتقات الجزئية، الأشكال التربيعية، الانضغاط والقيد.

• صنف النقاط الحرجة ثنائية المتغيرات باستخدام مصفوفة هيسيان
• استخدام مضاعفات لاغرانج مع قيد منتظم
• مقارنة القيم القصوى والقيم الممكنة تحت القيود المنتظمة

هيسيان: مصفوفة المشتقات الجزئية الثانية المستخدمة لدراسة الانحناء المحلي.

مضاعف لاغرانج: مقدار عدد يربط تدرجات الدالة الهدف والقيد المنتظم عند قيمة قصوى مقيدة.

بالنسبة لدالة قابلة للاشتقاق على مجال مفتوح، تكون مشتقة التدرج الصفرية للقيمة القصوى المحلية الداخلية شرطاً ضرورياً وليس كافياً. بالنسبة لمتغيرين عند نقطة حرجة، ليكن D=f_xx f_yy−(f_xy)². إذا كان D>0، فإن f_xx>0 يعطي قيمة حدية محلية صارمة و f_xx<0 يعطي قيمة حدية عظمى محلية صارمة؛ D<0 يعطي سرجاً. تتطلب هذه الاختبارات انتظامية مناسبة للمشتقة الثانية بالقرب من النقطة.

عندما D=0 يكون اختبار المشتقة الثانية غير حاسم، وليس دليلاً على وجود السرج. الدوال x⁴+y⁴ و x⁴−y⁴ لها نفس الهيسيان الصفري في نقطة الأصل، لكن إحداهما لها قيمة حدية محلية صارمة والأخرى تغير إشارتها. قيّم على اتجاهات متقابلة أو استخدم عدم المساواة مباشرة. بالنسبة لشكل تربيعي، تعطي الإيجابية المطلقة تفسيراً أعمق للهيسيان.

على قيد مساوية أملس g(x,y)=c بتدرج غير صفري g، حل tgrad f=lambda tgrad g مع g=c. تولد هذه المعادلات مرشحات، لكنها لا تصنف ولا تضمن قيمة حدية عالمية. إذا اختفى تدرج القيد، تفشل شرط الانتظام ويمكن لمعادلات المضاعفات أن تفوت القيمة الحدية المقيدة. تعامل مع مثل هذه النقاط بشكل منفصل. بالنسبة لـ x²+y²=a و xy=b>0، فإن (x−y)²=a−2b يظهر ضرورة a≥2b. وهو أيضاً كافي: خذ s=√(a+2b)، d=√(a−2b)، x=(s+d)/2 و y=(s−d)/2. هذه القيم الحقيقية تحقق xy=b و x²+y²=a. شرط الحد الأدنى وحده يحتاج إلى التحقق من إمكانية الوصول لتأسيس قابلية الحل.

الدالة المتصلة على مجموعة ممكنة مغلقة ومحدودة تحقق قيمًا حدية عالمية. لإيجادها، قارن جميع المرشحات الداخلية وجميع أجزاء الحدود، بما في ذلك الزوايا والنقاط الطرفية. بالنسبة لمستطيل، قم بتحسين القيود على كل ضلع. بالنسبة لقرص، قد يستخدم الحد الدائري معاملاً أو مضاعفاً. حل تدرج غير مقيد فقط يتجاهل الفائزين المحتملين من الحدود.

قلّل x²+y² تحت القيد x+y=6. مدرجة القيد هي (1,1)، لذا 2x=lambda و 2y=lambda. بالتالي x=y والقيد يعطي x=y=3، مع قيمة 18. إكمال المربع على الخط يعطي x²+(6−x)²=2(x−3)²+18، مما يثبت حدًا أدنى عالميًا. لا يوجد حد أعلى على هذا الخط غير المحدود، على الرغم من وجود مرشح مضاعف.

حل ضابط لاغرانج هو مرشح، وليس بالضرورة حداً أعلى أو أدنى تلقائياً. تحقق من انتظام ومجموعة الممكنات الكاملة.

صنّف نقطة الأصل لـ $f(x,y)=x^2-y^2$ ولـ $g(x,y)=x^4+y^4$. اذكر ماذا يسمح لك محدد هيسيان صفري بالاستنتاج.

حل نموذجي

بالنسبة لـ f، الهيسيان هو $\operatorname{diag}(2,-2)$ مع المحدد -4؛ نقطة الأصل هي سرج. على طول المحاور، تكون القيم ذات إشارات معاكسة. بالنسبة لـ g، الهيسيان عند الصفر هو صفر، لذا فإن اختبار المشتقة الثانية غير حاسم. ومع ذلك $x^4+y^4\ge0$، مع التساوي فقط عند نقطة الأصل؛ إنه حد عالمي صارم. الاختبار غير الحاسم ليس تصنيفاً للنقطة.

أوجد جميع القيم الحدية لـ $f(x,y)=xy$ تخضع لـ $x^2+y^2=2$. قارن مع تقليل $x^2+y^2$ على الخط $x+y=4$، بما في ذلك ما إذا كانت هناك قيم عظمى.

تحقق بعد المحاولة

الدائرة مغلقة ومحدودة وتدرج قيدها $(2x,2y)$ لا ينعدم أبداً هناك. المضاعفات تعطي $y=2\lambda x$، $x=2\lambda y$. لا يمكن لأي من الإحداثيات أن يكون صفراً عند نقطة ثابتة؛ وبالتالي $y=\pm x$. المرشحات الأربعة $(1,1),(-1,-1),(1,-1),(-1,1)$ تعطي الحد الأقصى العالمي 1 والحد الأدنى -1. الحد $2|xy|\le x^2+y^2=2$ يتحقق من اكتمالية التحليل. على الخط، $x^2+(4-x)^2=2(x-2)^2+8$، لذا الحد الأدنى هو 8 عند $(2,2)$. لا يوجد حد أقصى لأن التعبير غير محدود. المرشحات المضاعفة وحدها لا تثبت المغلقة والمحدودة.