ج.7 · تغيير الإحداثيات ونظريات التكامل الشعاعي

تحضير GRE للطلاب الجامعيين. أهداف محلية ضمن نطاق ETS المراجَع؛ هذا تعليم أصلي، وليس اختباراً رسمياً أو تنبئاً بالدرجات.

المتطلبات المسبقة: التكاملات المتعددة، المشتقات الجزئية، والحدود الموجهة.

• تحويل التكاملات المزدوجة والثلاثية مع جاكوبياناتها
• تطبيق نظريات غرين وستوكس والتباعد مع الاتجاه الصحيح
• التحقق من singularities المجال قبل assertion استقلالية المسار

التباعد: مجموع المشتقات الجزئية للإحداثيات لحقل شعاعي يقيس التدفق الخارجي المحلي.

حفظ الطاقة: حقل شعاعي يساوي تدرج جهد قياسي مع تكاملات خطية مستقلة عن المسار.

يُغير تغيير المتغيرات المساحة أو الحجم بمعامل محدد جاكوبي مطلق. تستخدم الإحداثيات القطبية r dr dθ؛ والإحداثيات الأسطوانية r dr dθ dz؛ والإحداثيات الكروية حيث يُقاس φ من المحور z الموجب بـ ρ² sin(φ) dρ dφ dθ. حدد قواعد الزوايا وحوّل كلًا من دالة التكامل والمنطقة. غياب المحدد الجاكوبي يحول تكثيفًا موحدًا إلى كمية فيزيائية خاطئة.

تساوي نظرية غرين تكامل الدوران على الحدود المستوية الموجهة إيجابًا P dx+Q dy مع التكامل المزدوج لـ Q_x−P_y على المنطقة. تتطلب الفرضيات المعتادة أن تكون المشتقات الأولى مستمرة على مجموعة مفتوحة تحتوي على المنطقة. يتطلب الثقب حدودًا داخليًا موجهًا سالبًا خاصًا به، أو معالجة أخرى صالحة للفضاء المفقود. لا يمكن للنظرية إجراء التكامل عبر تفرد في الحقل.

تساوي نظرية ستوكس الدوران على حدود السطح بالتكامل السطحي لـ curl F ضرب العادي الموجه. تربط قاعدة اليد اليمنى اتجاه الحد بالعادي. تساوي نظرية التباعد التدفق الخارج عبر سطح مغلق بالتكامل الحجمي لـ div F. الدوران والتدفق واللف والتباعد كميات متميزة؛ يتطلب تباعد السطح المغلق عادةً سطحًا مغلقًا.

لحقل التدرج تكاملات خطية مستقلة عن المسار، تُحدد بفروق جهد نقطتي النهاية. حقل خالٍ من اللف ومتصل اشتقاقيًا على مجال مفتوح بسيط الاتصال هو محافظ. الخلو من اللف وحده على مجال يحتوي على ثقب غير كافٍ. بالنسبة لـ F=(−y/(x²+y²), x/(x²+y²))، يتم استبعاد نقطة الأصل؛ تكامل الدوران على دائرة الوحدة هو 2π، رغم أن اللف يساوي صفرًا حيثما تم تعريف الحقل.

بالنسبة لـ F=(x,y,z)، التباعد هو 3. لذلك، التدفق الخارجي عبر الكرة نصف قطرها 2 هو 3 ضرب حجمها، أو 3·(4π·2³/3)=32π. هذا يتجنب معلمة السطح. بالنسبة للمجال المستوي (−y,x)، يعطي نظرية غرين دوران الوحدة الدائرة عكس عقارب الساعة كتكامل لـ 1−(−1)=2 فوق القرص، وبالتالي 2π. عكس الاتجاه يغير إشارة الدوران.

الدوار الصفري ليس كافيًا عندما يحتوي المجال على ثقب. يستخدم التدفق الخارجي والدورة عكس عقارب الساعة نظريات وقواعد توجه مختلفة.

قيّم $\iint_D(x^2+y^2)\,dA$ على $1\le x^2+y^2\le4$. أوجد التدفق الخارج لـ $F=(x,y,z)$ عبر كرة الوحدة.

حل نموذجي

للدائرة المهلوسة حدود قطرية $1\le r\le2$، $0\le\theta\le2\pi$. بتضمين المحدد الجاكوبي،

F متصل اشتقاقيًا على الكرة كاملة ولها تباعد يساوي ثلاثة. تعطي نظرية التباعد تدفقًا خارجيًا قدره $3(4\pi/3)=4\pi$. لو كان الاتجاه نحو الداخل لعكست الإشارة.

ليكن $G=(-y/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2))$ على المستوى المنقط. لفه القياسي يساوي صفرًا هناك. قيّم دورهانه على دائرة الوحدة ذات الاتجاه المضاد للساعة. اشرح لماذا لا تجعله نظرية غين صفرًا.

تحقق بعد المحاولة

أعد تهيئة $r(t)=(\cos t,\sin t)$ من أجل $0\le t\le2\pi$. إذن $G(r(t))=(-\sin t,\cos t)=r'(t)$، وبالتالي $G\cdot r'=1$ والتكامل هو $2\pi$. الحقل غير معرف عند نقطة الأصل داخل القرص. تتطلب نظرية غين النعومة اللازمة في جوار المنطقة، وليس فقط على حدودها. لا يثبت اللف الصفري على مجال منقط وجود جهد عالمي؛ يمكن لحقل مغلق غير دقيق الدوران حول ثقبه.