AP Calculus BC · ⁨AP التفاضل والتكامل BC⁩

Tips

يحتوي امتحان AP Calculus BC على كل ما يحتويه AB ويضيف الدوال البارامترية والقطرية والمتجهية، وتقنيات التكامل المتقدمة، والتكامل غير الصحيح، والنمو اللوجستي، و— وهو أكبر إضافة — السلاسل والمجموعات اللانهائية، بما في ذلك سلاسل تايلور وماكلورين مع حدود الخطأ.

السلاسل هي نقطة الفوز أو الخسارة في BC. يجب اختبار اختبارات التقارب، وليس تجربتها بالتتابع: عند إعطاء سلسلة، يجب أن تعرف خلال ثوانٍ أي اختبار يشير إليه الشكل، وأن تكون قادراً على تسمية الاختبار والتحقق من شروطه.

يقدم امتحان BC أيضاً درجة فرعية لـ AB، لذا يظل مادة AB قابلة للاختبار بالكامل ولا ينبغي تجاهلها.

تغطي الملاحظات مواد AB وBC بترتيب CED، مما يمنح السلاسل المساحة التي تحتاجها. تتوفر Papers الامتحانية過去的 في المكتبة. بما أن الدرجة الفرعية لـ AB تأتي من نفس الورقة، تظل وحدات AB في الملاحظات بعمق كامل بدلاً من تلخيصها.

Train all vocabulary · ⁨تدريب كل المفردات⁩

Past Papers · ⁨أوراق الامتحانات السابقة⁩

Limits and Continuity · ⁨النهايات والاستمرارية⁩

Watch lesson · ⁨شاهد الدرس⁩

Open this topic on its own page · ⁨افتح هذا الموضوع في صفحة خاصة به⁩

1.1

Introducing Calculus: Can Change Occur at an Instant?

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-1): Calculus allows us to generalize knowledge about motion to diverse problems involving change.

Learning Objective CHA-1.A: Interpret the rate of change at an instant in terms of average rates of change over intervals containing that instant.

CHA-1.A.1 Calculus uses limits to understand and model dynamic change.
CHA-1.A.2 Because an average rate of change divides the change in one variable by the change in another, the average rate of change is undefined at a point where the change in the independent variable would be zero.
CHA-1.A.3 The limit concept allows us to define instantaneous rate of change in terms of average rates of change.

العربية

الفهم الدائم (CHA-1): يسمح لنا التفاضل والتكامل بتعميم المعرفة حول الحركة لتطبيقات متنوعة تتضمن التغير.

هدف التعلم CHA-1.A: تفسير معدل التغير في لحظة ما بدلالة معدلات التغير المتوسطة على فترات تحتوي على تلك اللحظة.

CHA-1.A.1 يستخدم التفاضل والتكامل النهايات لفهم ونمذجة التغير الديناميكي.
CHA-1.A.2 بما أن معدل التغير المتوسط يقسم التغير في متغير واحد بالتغير في متغير آخر، فإن معدل التغير المتوسط يكون غير معرف عند نقطة يكون فيها التغير في المتغير المستقل مساويًا للصفر.
CHA-1.A.3 يتيح مفهوم النهاية تعريف معدل التغير اللحظي بدلالة معدلات التغير المتوسطة.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

Calculus is the mathematics of change 变化 and of accumulation 累积. It answers two big questions: how fast is something changing right now, and how much has piled up so far? Unit 1 builds the one tool both questions rest on – the limit 极限.

Start with a puzzle. A car's speedometer reads $60$ km/h. What does that mean at a single instant 瞬间? Speed is distance over time. But at one instant no time passes and no distance is covered, so the fraction looks like $\tfrac{0}{0}$ – undefined.

The average rate of change 平均变化率 uses a whole interval 区间: the change in one quantity divided by the change in another. It divides by zero, and so is undefined, when the change in the input would be zero.
The instantaneous rate of change 瞬时变化率 is what we want at a point. It is the value the average rate approaches 趋近 as the interval shrinks toward zero length.

The clever move is not to plug in zero (undefined), but to watch what the average rate approaches as the interval gets smaller and smaller. That approaching value is a limit. So calculus lets us describe change at an instant – as a limit of average rates over ever-shorter intervals. This one idea powers the derivative 导数 (Unit 2) and, run in reverse, the integral 积分 (Unit 6). Everything else in this unit defines limits carefully and computes them reliably.

Explore · ⁨استكشف⁩

Explore the slope at an instant · ⁨استكشف الميل في لحظة معينة⁩

y = bx² + d

Slide the point along the curve. The tangent line shows the exact rate of change $\frac{dy}{dx}$ there — the value the average rates approach as the interval shrinks to a single instant. The slope changes with position, so change does have a value at each instant. · ⁨اسحب النقطة على طول المنحنى. خط المماس يظهر المعدل الدقيق للتغير $\frac{dy}{dx}$ هناك — القيمة التي تقترب منها المعدلات المتوسطة عندما ينكمش المجال إلى لحظة واحدة. يتغير الميل حسب الموقع، لذا فإن التغير له قيمة عند كل لحظة.⁩

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
change/tʃeɪndʒ/	التغير
accumulation/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn/	تجميع
limit/ˈlɪmɪt/	حد
at a single instant/ætə ˈsɪŋɡl ˈɪnstənt/	في لحظة واحدة
average rate of change/ˈævrɪdʒ reɪt ɒv tʃeɪndʒ/	متوسط معدل التغير
interval/ˈɪntəvl/	فترة / مجال
instantaneous rate of change/ˌɪnstənˈteɪnɪəs reɪt ɒv tʃeɪndʒ/	المعدل اللحظي للتغير
approaches/əˈprəʊtʃɪz/	النهج
derivative/dɪˈrɪvətɪv/	المشتقة
integral/ˈɪntɪɡrəl/	التكامل
hole/həʊl/	ثقب

1.2

Defining Limits and Using Limit Notation

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-1): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about limits.

Learning Objective LIM-1.A: Represent limits analytically using correct notation.

LIM-1.A.1 Given a function $f$, the limit of $f(x)$ as $x$ approaches $c$ is a real number $R$ if $f(x)$ can be made arbitrarily close to $R$ by taking $x$ sufficiently close to $c$ (but not equal to $c$). If the limit exists and is a real number, then the common notation is $\lim_{x \to c} f(x) = R$.
- Exclusion statement: The epsilon-delta definition of a limit is not assessed on the AP Calculus AB or BC Exam. However, teachers may include this topic in the course if time permits.

Learning Objective LIM-1.B: Interpret limits expressed in analytic notation.

LIM-1.B.1 A limit can be expressed in multiple ways, including graphically, numerically, and analytically.

العربية

الفهم الدائم (LIM-1): يمكن استخدام الاستدلال باستخدام التعريفات والنظريات والخصائص لتبرير الادعاءات المتعلقة بالنهايات.

هدف التعلم LIM-1.A: تمثيل النهايات تحليليًا باستخدام الرموز الصحيحة.

LIM-1.A.1 بدلالة دالة $f$، يكون نهاية $f(x)$ عندما تقترب $x$ من $c$ عددًا حقيقيًا $R$ إذا كان يمكن جعل $f(x)$ قريبًا قدر الإمكان من $R$ من خلال اختيار $x$ قريبة بما يكفي من $c$ (ولكن لا تساوي $c$). إذا كانت النهاية موجودة وكانت عددًا حقيقيًا، فإن الرمز الشائع هو $\lim_{x \to c} f(x) = R$.
- عبارة الاستبعاد: لا يتم تقييم تعريف إبسيلون-دلتا للنهاية في امتحان AP Calculus AB أو BC. ومع ذلك، قد يدرج المعلمون هذا الموضوع في المقرر إذا سمحت الوقت بذلك.

هدف التعلم LIM-1.B: تفسير النهايات المعبرة بصيغة تحليلية.

LIM-1.B.1 يمكن التعبير عن النهاية بطرق متعددة، بما في ذلك بيانيًا، وعدديًا، وتحليليًا.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

A smooth bridge curve: limits describe the value a graph approaches as we zoom in

Given a function $f$, the limit of $f(x)$ as $x$ approaches $c$ is a real number $R$ if $f(x)$ can be made arbitrarily 任意地 close to $R$ by taking $x$ sufficiently 足够 close to $c$ – but not equal to $c$. We write

$$\lim_{x \to c} f(x) = R$$

and read it: "the limit of $f(x)$, as $x$ approaches $c$, equals $R$."

The last words are the heart of a limit: it describes the behavior 行为 of $f$ near $c$, not the value at $c$. The function may be undefined at $c$, or defined but equal to something else – the limit does not care.

A limit can be shown in three ways: graphically 用图象, numerically 用数值 (a table), and analytically 用解析式 (algebra). Learning to move between these representations is a core skill.

(Note: the epsilon-delta definition of a limit is not tested on the AP Exam, so this handout does not use it.)

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
arbitrarily/ˌɑːbɪˈtrerɪli/	تعسفياً
sufficiently/səˈfɪʃəntli/	بشكل كافٍ
behavior/bɪˈheɪvjə/	سلوك
graphically/ˈɡræfɪkli/	بيانياً
numerically/njuːˈmerɪkli/	عددياً
analytically/ˌænəˈlɪtɪkli/	تحليلياً

1.3

Estimating Limit Values from Graphs

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-1): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about limits.

Learning Objective LIM-1.C: Estimate limits of functions.

LIM-1.C.1 The concept of a limit includes one sided limits.
LIM-1.C.2 Graphical information about a function can be used to estimate limits.
LIM-1.C.3 Because of issues of scale, graphical representations of functions may miss important function behavior.
LIM-1.C.4 A limit might not exist for some functions at particular values of $x$. Some ways that the limit might not exist are if the function is unbounded, if the function is oscillating near this value, or if the limit from the left does not equal the limit from the right.
- Illustrative examples for LIM-1.C.4:
  - $\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2} = \infty$
  - $\lim_{x \to 0} \dfrac{|x|}{x}$ does not exist.
  - $\lim_{x \to 0} \sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$ does not exist.
  - $\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x}$ does not exist.

العربية

هدف التعلم LIM-1.C: تقدير نهايات الدوال.

LIM-1.C.1 يشمل مفهوم النهايات النهايات من جهة واحدة.
LIM-1.C.2 يمكن استخدام المعلومات البيانية عن الدالة لتقدير النهايات.
LIM-1.C.3 بسبب مشاكل المقياس، قد تفوت التمثيلات البيانية للدوال سلوكًا مهمًا للدالة.
LIM-1.C.4 قد لا يوجد نهاية لبعض الدوال عند قيم معينة لـ $x$. ومن الطرق التي قد لا توجد فيها النهاية أن تكون الدالة غير محدودة، أو أن تتذبذب الدالة بالقرب من هذه القيمة، أو أن النهاية من اليسار لا تساوي النهاية من اليمين.
- أمثلة توضيحية لـ LIM-1.C.4:
  - $\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2} = \infty$
  - $\lim_{x \to 0} \dfrac{|x|}{x}$ غير موجودة.
  - $\lim_{x \to 0} \sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$ غير موجودة.
  - $\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x}$ غير موجودة.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

A graph is often the fastest way to read a limit. To find $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x)$, run your finger along the curve toward $x = c$ from each side and ask: what height is the curve heading for?

Trace from the left (inputs smaller than $c$): this gives the left-hand limit 左极限, $\displaystyle \lim_{x \to c^-} f(x)$.
Trace from the right (inputs larger than $c$): this gives the right-hand limit 右极限, $\displaystyle \lim_{x \to c^+} f(x)$.
These are the one-sided limits 单侧极限. If both head to the same height $R$, then the two-sided limit exists and $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = R$.

Crucially, ignore the point itself. Graphs mark the difference between the limit and the value:

An open circle 空心圆 marks a height the curve approaches but does not reach – a "hole" 空洞.
A closed circle 实心圆 marks the actual value $f(c)$.

So a curve may approach $R = 3$ from both sides (limit is $3$) while a filled dot sits at height $5$ (value $f(c) = 5$). The limit is $3$; the two need not match.

A limit does not exist (often written DNE) when the two sides disagree (a jump 跳跃), when the function is unbounded 无界 (grows without limit), or when it oscillates 振荡 forever near $c$. For example:

$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty, \qquad \lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}\ \text{DNE}, \qquad \lim_{x \to 0} \sin\!\left(\frac{1}{x}\right)\ \text{DNE}.$$

Watch the scale 比例 of a graph: a zoomed-out picture can hide important behavior near a point, so confirm with algebra when you can.

A limit exists at x=2 even though the function value f(2) is different — The open circle is the height the curve approaches (the limit); the filled dot is the actual value $f(2)$ -- they need not agree.

Explore · ⁨استكشف⁩

Read a limit off the graph · ⁨اقرأ النهاية من الرسم البياني⁩

y = ax² + bx + c

The limit as $x\to c$ is the height the curve heads toward from both sides — it is about where the function is going, not its value at $c$. Follow the curve toward an $x$ and read the $y$ it approaches. · ⁨النهاية عندما $x\to c$ هي الارتفاع الذي يتجه نحوه المنحنى من كلا الجانبين — يتعلق بما يتجه إليه الدالة، وليس قيمتها عند $c$. تابع المنحنى نحو $x$ واقرأ $y$ يقترب منه.⁩

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
left-hand limit/left hænd ˈlɪmɪt/	الحد الأيسر
right-hand limit/raɪt hænd ˈlɪmɪt/	الحد الأيمن
one-sided limits/wʌn ˈsaɪdɪd ˈlɪmɪts/	حدود أحادية الجانب
open circle/ˈəʊpən ˈsɜːkl/	دائرة مفتوحة
closed circle/kləʊzd ˈsɜːkl/	دائرة مغلقة
jump/dʒʌmp/	قفزة
unbounded/ʌnˈbaʊndɪd/	غير محدودة
oscillates/ˈɒsɪleɪts/	يتذبذب
scale/skeɪl/	المقياس

1.4

Estimating Limit Values from Tables

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-1): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about limits.

Learning Objective LIM-1.C: Estimate limits of functions.

LIM-1.C.5 Numerical information can be used to estimate limits.

العربية

هدف التعلم LIM-1.C: تقدير نهايات الدوال.

LIM-1.C.5 يمكن استخدام المعلومات العددية لتقدير النهايات.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

When you have data or a formula but no picture, a table 表格 of values estimates a limit numerically. Choose inputs that creep toward $c$ from both sides and watch the outputs.

For example, to estimate $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ (which is $\tfrac{0}{0}$ at $x=2$):

$x$	$1.9$	$1.99$	$1.999$	$\to 2 \leftarrow$	$2.001$	$2.01$	$2.1$
$f(x)$	$3.9$	$3.99$	$3.999$	?	$4.001$	$4.01$	$4.1$

Both sides march toward $4$, so we estimate the limit is $4$. A table only suggests a value – it is a numerical estimate, not a proof.

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
table/ˈteɪbl/	جدول

1.5

Determining Limits Using Algebraic Properties of Limits

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-1): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about limits.

Learning Objective LIM-1.D: Determine the limits of functions using limit theorems.

LIM-1.D.1 One-sided limits can be determined analytically or graphically.
LIM-1.D.2 Limits of sums, differences, products, quotients, and composite functions can be found using limit theorems.

العربية

هدف التعلم LIM-1.D: تحديد نهايات الدوال باستخدام نظريات النهايات.

LIM-1.D.1 يمكن تحديد النهايات أحادية الجانب تحليلاً أو بيانياً.
LIM-1.D.2 يمكن إيجاد نهايات المجاميع والفرق والضروب والنسب والدوال المركبة باستخدام نظريات النهايات.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

Most limits are found analytically using limit theorems 极限定理. If $\lim_{x\to c} f(x)$ and $\lim_{x\to c} g(x)$ both exist, the limit of a combination is the same combination of the limits:

Sum / difference: $\displaystyle \lim_{x\to c}\big[f(x)\pm g(x)\big] = \lim_{x\to c}f(x) \pm \lim_{x\to c}g(x)$
Product: $\displaystyle \lim_{x\to c}\big[f(x)\,g(x)\big] = \lim_{x\to c}f(x)\cdot\lim_{x\to c}g(x)$
Quotient: $\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to c}f(x)}{\lim_{x\to c}g(x)}$, provided the bottom limit is not $0$.
Composite 复合函数: if $g$ is continuous at $\lim_{x\to c} f(x)$, then $\displaystyle \lim_{x\to c} g\big(f(x)\big) = g\!\left(\lim_{x\to c} f(x)\right)$.

The practical rule: for a function built from polynomials, roots, and the like, first try direct substitution 直接代入 – put $x = c$ in. If you get a real number, that is the limit. One-sided limits obey the same theorems, read from one direction only.

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
limit theorems/ˈlɪmɪt ˈθɪərəmz/	نظريات النهاية
Composite/ˈkɒmpəzɪt/	مركب
direct substitution/daɪˈrekt ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/	التعويض المباشر

1.6

Determining Limits Using Algebraic Manipulation

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-1): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about limits.

Learning Objective LIM-1.E: Determine the limits of functions using equivalent expressions for the function or the squeeze theorem.

LIM-1.E.1 It may be necessary or helpful to rearrange expressions into equivalent forms before evaluating limits.
- Illustrative examples for LIM-1.E.1:
  - Factoring and dividing common factors of rational functions
  - Multiplying by an expression involving the conjugate of a sum or difference in order to simplify functions involving radicals
  - Using alternate forms of trigonometric functions

العربية

هدف التعلم LIM-1.E: تحديد نهايات الدوال باستخدام تعبيرات مكافئة للدالة أو باستخدام نظرية الضغطة (Squeeze Theorem).

LIM-1.E.1 قد يكون من الضروري أو المفيد إعادة ترتيب التعبيرات إلى أشكال مكافئة قبل حساب النهايات.
- أمثلة توضيحية لـ LIM-1.E.1:
  - التحليل وقسمة العوامل المشتركة للدوال الكسرية
  - الضرب في تعبير يتضمن مرافق مجموع أو فرق لتبسيط الدوال التي تحتوي على جذور
  - استخدام الأشكال البديلة للدوال المثلثية

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

Direct substitution sometimes gives the indeterminate form 未定式 $\tfrac{0}{0}$. This does not mean the limit fails – it means you must rewrite the function into an equivalent form 等价形式 that removes the trouble, then substitute. Three standard moves:

Factor and cancel 因式分解并约分 a rational function 有理函数. Example: $\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x\to 2}(x+2) = 4$.
Multiply by the conjugate 共轭 to simplify a radical 根式. Example: $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{x}{x\big(\sqrt{x+1}+1\big)} = \frac{1}{2}$.
Use alternate forms of trigonometric functions (identities) to simplify.

The cancelled factor is why the original graph had a hole: the two functions agree everywhere except at $x=c$, so they share the same limit there.

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
indeterminate form/ˌɪndɪˈtɜːmɪnət fɔːm/	الصيغة غير المحددة
equivalent form/ɪˈkwɪvələnt fɔːm/	الصيغة المكافئة
Factor and cancel/ˈfæktə ænd ˈkænsl/	تحليل وإختصار
rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/	دالة نسبية
conjugate/ˈkɒndʒuːɡeɪt/	مرافق
radical/ˈrædɪkl/	المتطرفون

1.7

Selecting Procedures for Determining Limits

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

This topic is intended to focus on the skill of selecting an appropriate procedure for determining limits. Students should be given opportunities to practice when and how to apply all learning objectives relating to determining limits.

العربية

هذا الموضوع موجه للتركيز على مهارة اختيار إجراء مناسب لتحديد النهايات. يجب منح الطلاب فرصاً للتدرب على متى وكيف تطبيق جميع أهداف التعلم المتعلقة بتحديد النهايات.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

This is a skill topic, not new content: choose the right tool for the limit in front of you.

Try direct substitution first. A real answer means you are done.
Getting $\tfrac{0}{0}$? Rewrite – factor and cancel, or use the conjugate, or a trig identity – then substitute.
A non-zero number over $0$ (like $\tfrac{5}{0}$)? The limit is infinite or DNE – check the sign from each side (see vertical asymptotes below).
As $x\to\pm\infty$? Compare the dominant 主导 terms (see limits at infinity).
Trapped between two functions? The squeeze theorem may apply.

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
dominant/ˈdɒmɪnənt/	السائدة

1.8

Determining Limits Using the Squeeze Theorem

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-1): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about limits.

Learning Objective LIM-1.E: Determine the limits of functions using equivalent expressions for the function or the squeeze theorem.

LIM-1.E.2 The limit of a function may be found by using the squeeze theorem.
- Illustrative examples for LIM-1.E.2: The squeeze theorem can be used to show $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$ and $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} = 0$.

العربية

هدف التعلم LIM-1.E: تحديد نهايات الدوال باستخدام تعبيرات مكافئة للدالة أو باستخدام نظرية الضغطة (Squeeze Theorem).

LIM-1.E.2 يمكن إيجاد نهاية الدالة باستخدام نظرية الضغطة.
- أمثلة توضيحية لـ LIM-1.E.2: يمكن استخدام نظرية الضغطة لإظهار أن $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$ و $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} = 0$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

The squeeze theorem 夹逼定理 (also called the sandwich theorem) finds a limit by trapping the function between two others. If $g(x) \le f(x) \le h(x)$ near $c$, and

$$\lim_{x\to c} g(x) = \lim_{x\to c} h(x) = L,$$

then $f$ is squeezed to the same place: $\displaystyle \lim_{x\to c} f(x) = L$.

The two famous results proved this way, both used throughout calculus, are:

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1 \qquad\text{and}\qquad \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x} = 0.$$

The Squeeze Theorem traps x squared sin(1/x) between minus x squared and x squared

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
squeeze theorem/skwiːz ˈθɪərəm/	نظرية挤压 (الضغط)

1.9

Connecting Multiple Representations of Limits

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

This topic is intended to focus on connecting representations. Students should be given opportunities to practice when and how to apply all learning objectives relating to limits and translating mathematical information from a single representation or across multiple representations.

العربية

هذا الموضوع موجه للتركيز على ربط التمثيلات. يجب منح الطلاب فرصاً للتدرب على متى وكيف تطبيق جميع أهداف التعلم المتعلقة بالنهايات وترجمة المعلومات الرياضية من تمثيل واحد عبر تمثيلات متعددة.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

Another skill topic: the same limit lives in a graph, a table, and an algebraic form, and you should be able to translate between them. A graph shows the shape and any holes or jumps; a table gives numerical evidence; algebra gives an exact value and a reason. Strong answers use one representation to confirm another.

1.10

Exploring Types of Discontinuities

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-2): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about continuity.

Learning Objective LIM-2.A: Justify conclusions about continuity at a point using the definition.

LIM-2.A.1 Types of discontinuities include removable discontinuities, jump discontinuities, and discontinuities due to vertical asymptotes.

العربية

الفهم الدائم (LIM-2): يمكن استخدام الاستدلال باستخدام التعريفات والنظريات والخصائص لتبرير الادعاءات المتعلقة بالاتصال (الاستمرارية).

هدف التعلم LIM-2.A: تبرير الاستنتاجات حول الاتصال عند نقطة معينة باستخدام التعريف.

LIM-2.A.1 تشمل أنواع الانقطاعات: الانقطاع القابل للإزالة، والانقطاع القفزي، والانقطاعات الناتجة عن المقاربات الرأسية.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

A function is discontinuous 间断 at $c$ when its graph "breaks" there. There are three types:

Removable discontinuity 可去间断 – a single hole. The two-sided limit exists, but the point is missing or misplaced.
Jump discontinuity 跳跃间断 – the two one-sided limits exist but disagree, so the curve jumps.
Infinite discontinuity 无穷间断 – the function blows up to $\pm\infty$ at a vertical asymptote 垂直渐近线.

The three types of discontinuity: removable, jump, and infinite

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
discontinuous/dɪskənˈtɪnjuːəs/	غير متصلة
Removable discontinuity/rɪˈmuːvəbl dɪskɒntɪˈnjuːɪti/	انقطاع قابل للإزالة
Jump discontinuity/dʒʌmp dɪskɒntɪˈnjuːɪti/	انقطاع القفز
Infinite discontinuity/ˈɪnfɪnət dɪskɒntɪˈnjuːɪti/	انقطاع لا نهائي
vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/	مقارب رأسي

1.11

Defining Continuity at a Point

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-2): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about continuity.

Learning Objective LIM-2.A: Justify conclusions about continuity at a point using the definition.

LIM-2.A.2 A function $f$ is continuous at $x = c$ provided that $f(c)$ exists, $\lim_{x \to c} f(x)$ exists, and $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$.

العربية

هدف التعلم LIM-2.A: تبرير الاستنتاجات حول الاتصال عند نقطة معينة باستخدام التعريف.

LIM-2.A.2 تكون الدالة $f$ متصلة عند $x = c$ بشرط وجود $f(c)$، ووجود $\lim_{x \to c} f(x)$، وأن $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

Continuity is defined by a three-part test. A function $f$ is continuous 连续 at $x=c$ exactly when all three hold:

$$\boxed{\;f(c)\text{ exists}\quad\text{and}\quad \lim_{x\to c} f(x)\text{ exists}\quad\text{and}\quad \lim_{x\to c} f(x) = f(c)\;}$$

In words: the point is there, the limit is there, and the two agree. If any one fails, $f$ is discontinuous at $c$. This test is the backbone of nearly every continuity question, so learn it as a checklist.

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
continuous/kənˈtɪnjuːəs/	متصلة

1.12

Confirming Continuity over an Interval

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-2): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about continuity.

Learning Objective LIM-2.B: Determine intervals over which a function is continuous.

LIM-2.B.1 A function is continuous on an interval if the function is continuous at each point in the interval.
LIM-2.B.2 Polynomial, rational, power, exponential, logarithmic, and trigonometric functions are continuous on all points in their domains.

العربية

هدف التعلم LIM-2.B: تحديد الفترات التي تكون فيها الدالة متصلة.

LIM-2.B.1 تكون الدالة متصلة على فترة إذا كانت متصلة عند كل نقطة في تلك الفترة.
LIM-2.B.2 دوال كثيرات الحدود، والكسور الجبرية، والقوى، والأسية، واللوغاريتمية، والمثلثية متصلة عند جميع نقاط مجالاتها.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

A function is continuous on an interval 在区间上连续 if it is continuous at every point of that interval. You rarely check point by point, because whole families are continuous on their domains:

Polynomial, rational, power, exponential 指数, logarithmic 对数, and trigonometric 三角 functions are continuous at every point of their domains.

So a rational function is continuous everywhere except where its denominator is zero; $\ln x$ is continuous for $x>0$; and so on. Knowing this lets you declare continuity quickly and correctly.

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
continuous on an interval/kənˈtɪnjuːəs ɒn ən ˈɪntəvl/	متصل على فترة
exponential/ˌekspəˈnenʃl/	أسّي
logarithmic/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk/	لوغاريتمي
trigonometric/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk/	مثلثي

1.13

Removing Discontinuities

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-2): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about continuity.

Learning Objective LIM-2.C: Determine values of $x$ or solve for parameters that make discontinuous functions continuous, if possible.

LIM-2.C.1 If the limit of a function exists at a discontinuity in its graph, then it is possible to remove the discontinuity by defining or redefining the value of the function at that point, so it equals the value of the limit of the function as $x$ approaches that point.
LIM-2.C.2 In order for a piecewise-defined function to be continuous at a boundary to the partition of its domain, the value of the expression defining the function on one side of the boundary must equal the value of the expression defining the other side of the boundary, as well as the value of the function at the boundary.

العربية

هدف التعلم LIM-2.C: تحديد قيم $x$ أو حل المعادلة لإيجاد المعلمات التي تجعل الدوال غير المتصلة متصلة، إن أمكن ذلك.

LIM-2.C.1 إذا كان نهاية الدالة موجودة عند نقطة انقطاع في بيانها، فمن الممكن إزالة هذا الانقطاع من خلال تعريف أو إعادة تعريف قيمة الدالة عند تلك النقطة بحيث تساوي قيمة نهاية الدالة عندما $x$ يقترب من تلك النقطة.
LIM-2.C.2 لكي تكون الدالة معرفة جزئيًا متصلة عند حدود تقسيم مجالها، يجب أن تساوي قيمة التعبير الذي يعرّف الدالة على أحد طرفي الحد قيمة التعبير الذي يعرّفها على الطرف الآخر، بالإضافة إلى قيمة الدالة عند الحد نفسه.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

If the limit exists at a hole, the discontinuity is removable: redefine the function at that one point to equal the limit, and the graph is repaired. Formally, set the missing value to $\displaystyle \lim_{x\to c} f(x)$.

For a piecewise-defined function 分段函数, continuity at a boundary $x=c$ needs the two pieces to meet: the left piece's value, the right piece's value, and $f(c)$ must all be equal. This is a common exam setup – you solve for a parameter 参数 (an unknown constant) that makes the pieces match:

$$\lim_{x\to c^-} f(x) = \lim_{x\to c^+} f(x) = f(c).$$

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
piecewise-defined function/ˈpiːswaɪz dɪˈfaɪnd ˈfʌŋkʃn/	دالة مُعرَّفة جزئياً
parameter/pəˈræmɪtə/	معامل

1.14

Connecting Infinite Limits and Vertical Asymptotes

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-2): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about continuity.

Learning Objective LIM-2.D: Interpret the behavior of functions using limits involving infinity.

LIM-2.D.1 The concept of a limit can be extended to include infinite limits.
LIM-2.D.2 Asymptotic and unbounded behavior of functions can be described and explained using limits.

العربية

هدف التعلم LIM-2.D: تفسير سلوك الدوال باستخدام النهايات التي تتضمن اللانهاية.

LIM-2.D.1 يمكن توسيع مفهوم النهاية ليشمل النهايات اللانهائية.
LIM-2.D.2 يمكن وصف وسلوك الدوال المقارب وغير المحدود باستخدام النهايات.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

The idea of a limit extends to infinite limits 无穷极限. When a function grows without bound near $x=c$, we write $\lim_{x\to c} f(x) = \pm\infty$. This describes a vertical asymptote at $x=c$: the graph hugs the vertical line $x=c$ and shoots off toward $\pm\infty$.

This happens where a non-zero number is divided by something approaching $0$, such as at a zero of a denominator that does not cancel. Always check each side separately – the two sides can shoot opposite ways (one to $+\infty$, one to $-\infty$).

An infinite limit at a vertical asymptote x = c, where the two sides shoot to opposite infinities — Near a vertical asymptote the graph hugs the line $x=c$, and the two sides can shoot to opposite infinities.

Explore · ⁨استكشف⁩

Explore an infinite limit at a vertical asymptote · ⁨استكشف النهاية اللانهائية عند تقارب عمودي⁩

y = a/(x − b) + c

As $x \to 0$ the curve $y=\frac{1}{x}$ shoots to $+\infty$ from the right and $-\infty$ from the left — the line $x=0$ is a vertical asymptote the graph hugs but never touches. · ⁨عندما $x \to 0$، يصعد المنحنى $y=\frac{1}{x}$ نحو $+\infty$ من اليمين وينزل نحو $-\infty$ من اليسار — الخط $x=0$ هو تقارب عمودي يلمسه الرسم البياني لكنه لا يلمسه أبداً.⁩

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
infinite limits/ˈɪnfɪnət ˈlɪmɪts/	نهايات لا نهائية

1.15

Connecting Limits at Infinity and Horizontal Asymptotes

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-2): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about continuity.

Learning Objective LIM-2.D: Interpret the behavior of functions using limits involving infinity.

LIM-2.D.3 The concept of a limit can be extended to include limits at infinity.
LIM-2.D.4 Limits at infinity describe end behavior.
LIM-2.D.5 Relative magnitudes of functions and their rates of change can be compared using limits.

العربية

هدف التعلم LIM-2.D: تفسير سلوك الدوال باستخدام النهايات التي تتضمن اللانهاية.

LIM-2.D.3 يمكن توسيع مفهوم النهاية ليشمل النهايات عند اللانهاية.
LIM-2.D.4 تصف النهايات عند اللانهاية السلوك النهائي للدالة.
LIM-2.D.5 يمكن مقارنة الكميات النسبية للدوال ومعدلات تغيرها باستخدام النهايات.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

We can also let the input grow: limits at infinity 无穷远处的极限 describe the end behavior 末端行为 of a function as $x\to\pm\infty$. If the outputs settle toward a finite value $L$, then $y=L$ is a horizontal asymptote 水平渐近线.

For a rational function, compare the degrees 次数 of the top and bottom:

top degree < bottom degree $\Rightarrow$ limit is $0$ (asymptote $y=0$);
top degree = bottom degree $\Rightarrow$ limit is the ratio of the leading coefficients 首项系数之比;
top degree > bottom degree $\Rightarrow$ the function is unbounded (no horizontal asymptote).

More generally, we compare the relative magnitudes 相对大小 (relative growth rates) of functions: far out, an exponential beats any polynomial, and a polynomial beats any logarithm. On the exam, "as $t\to\infty$, which quantity is larger/where does the rate settle?" is answered with a limit at infinity.

A limit at infinity produces a horizontal asymptote

Explore · ⁨استكشف⁩

Explore end behavior and a horizontal asymptote · ⁨استكشف سلوك النهايات والتقارب الأفقي⁩

y = a/(x − b) + c

Far out to the left and right the curve levels off toward $y=\mathbf{c}$ — that is $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)$, the horizontal asymptote. Change $\mathbf{c}$ to move the level it settles at. · ⁨بعيدًا جدًا إلى اليمين واليسار، يستوي المنحنى نحو $y=\mathbf{c}$ — أي $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)$، وهو المقارب الأفقي. قم بتغيير $\mathbf{c}$ لتحريك المستوى الذي يستقر عنده المنحنى.⁩

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
limits at infinity/ˈlɪmɪts æt ɪnˈfɪnɪti/	النهايات عند ما لا نهاية
end behavior/end bɪˈheɪvjə/	سلوك النهاية
horizontal asymptote/ˌhɒrɪˈzɒntl ˈæsɪmptəʊt/	مقارب أفقي
degrees/dɪˈɡriːz/	درجات
ratio of the leading coefficients/ˈreɪʃɪəʊ ɒvðə ˈliːdɪŋ ˌkəʊɪˈfɪʃənts/	نسبة معاملات أعلى رتبة
relative magnitudes/ˈrelətɪv ˈmæɡnɪtjuːdz/	المقادير النسبية

1.16

Working with the Intermediate Value Theorem (IVT)

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-1): Existence theorems allow us to draw conclusions about a function's behavior on an interval without precisely locating that behavior.

Learning Objective FUN-1.A: Explain the behavior of a function on an interval using the Intermediate Value Theorem.

FUN-1.A.1 If $f$ is a continuous function on the closed interval $[a, b]$ and $d$ is a number between $f(a)$ and $f(b)$, then the Intermediate Value Theorem guarantees that there is at least one number $c$ between $a$ and $b$, such that $f(c) = d$.

العربية

الفهم الدائم (FUN-1): تسمح نظريات الوجود باستنتاجات حول سلوك الدالة على فترة دون تحديد موقع ذلك السلوك بدقة.

هدف التعلم FUN-1.A: شرح سلوك الدالة على فترة باستخدام نظرية القيمة المتوسطة.

FUN-1.A.1 إذا كانت $f$ دالة متصلة على الفترة المغلقة $[a, b]$ وكانت $d$ عددًا بين $f(a)$ و$f(b)$، فإن نظرية القيمة المتوسطة تضمن وجود عدد واحد على الأقل $c$ بين $a$ و$b$، بحيث $f(c) = d$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

The Intermediate Value Theorem 介值定理 is an existence theorem 存在性定理 – it guarantees a value exists without telling you where:

Opposite signs of f(a) and f(b) trap a root between a and b

If $f$ is continuous on the closed interval $[a,b]$, and $d$ is any number between $f(a)$ and $f(b)$, then there is at least one number $c$ in $(a,b)$ with $f(c)=d$.

An unbroken curve cannot skip a height between its endpoints – it must pass through every one.

Exam skill – how to justify with the IVT. These questions appear almost every year (for example, "Must there be a value $c$ with $R(c)=155$?" or "Is there a time when $r'(t)=-6$?"). A full-credit justification has three moves:

State continuity. Say the function is continuous on $[a,b]$ (often because it is differentiable, or given continuous).
Show $d$ is trapped. Compute the two endpoint values and show the target $d$ lies between them, e.g. $f(a) < d < f(b)$.
Conclude by name. "By the Intermediate Value Theorem, there is a $c$ in $(a,b)$ with $f(c)=d$."

Skipping the continuity statement, or not showing $d$ is between the endpoints, loses the point – the theorem requires both conditions.

Worked example. Evaluate $\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^2-5}{2x^2+x}$. Divide top and bottom by the highest power, $x^2$: $\dfrac{3-5/x^2}{2+1/x}\to\dfrac{3-0}{2+0}=\dfrac{3}{2}$. Because the limit is a finite number, the line $y=\tfrac{3}{2}$ is a horizontal asymptote of the graph.

The Intermediate Value Theorem: a continuous curve hits every height between f(a) and f(b) — A continuous curve from $(a,f(a))$ to $(b,f(b))$ must cross every height $d$ in between at least once.

Explore · ⁨استكشف⁩

Why a continuous curve can't skip a value · ⁨لماذا المنحنى المتصل لا يمكنه قفز قيمة⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

The Intermediate Value Theorem: a function continuous on $[a,b]$ takes every $y$ between $f(a)$ and $f(b)$ at some point inside. An unbroken curve cannot leap over a height — it must pass through it. · ⁨مبرهنة القيمة الوسطى: دالة متصلة على $[a,b]$ تأخذ كل $y$ بين $f(a)$ و$f(b)$ عند نقطة ما داخلها. لا يمكن للمنحنى غير المتقطع القفز فوق ارتفاع — يجب أن يمر به.⁩

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
Intermediate Value Theorem/ˌɪntəˈmiːdɪət ˈvæljuː ˈθɪərəm/	مبرهنة القيمة المتوسطة
existence theorem/eɡˈzɪstəns ˈθɪərəm/	نظرية الوجود

1.16

Exam tips

A limit describes what $f(x)$ approaches, which need not equal $f(a)$ — the two-sided limit exists only if both sides agree.
Try direct substitution first; for a $\tfrac00$ form, factor and cancel or rationalise before substituting.
A function is continuous at $a$ when the limit exists, $f(a)$ is defined, and they are equal.
Use the Intermediate Value Theorem to guarantee a root: a continuous function that changes sign on $[a,b]$ takes every value between.
Read horizontal asymptotes from end behaviour (limits at $\pm\infty$) and vertical asymptotes where the denominator (not the numerator) is zero.

Differentiation: Definition and Fundamental Properties · ⁨الاشتقاق: التعريف والخصائص الأساسية⁩

Watch lesson · ⁨شاهد الدرس⁩

Open this topic on its own page · ⁨افتح هذا الموضوع في صفحة خاصة به⁩

2.1

Average and Instantaneous Rates of Change at a Point · ⁨معدلات التغير والمتوسطة واللحظية عند نقطة⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-2): Derivatives allow us to determine rates of change at an instant by applying limits to knowledge about rates of change over intervals.

Learning Objective CHA-2.A: Determine average rates of change using difference quotients.

CHA-2.A.1 The difference quotients $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ and $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ express the average rate of change of a function over an interval.

Learning Objective CHA-2.B: Represent the derivative of a function as the limit of a difference quotient.

CHA-2.B.1 The instantaneous rate of change of a function at $x=a$ can be expressed by $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ or $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$, provided the limit exists. These are equivalent forms of the definition of the derivative and are denoted $f'(a)$.

العربية

فهم دائم (CHA-2): تسمح المشتقات لنا بتحديد معدلات التغير اللحظية عن طريق تطبيق النهايات على معرفة معدلات التغير على الفترات.

هدف التعلم CHA-2.A: تحديد معدلات التغير المتوسطة باستخدام الكسور الفرق.

CHA-2.A.1 تمثل الكسور الفرق $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ و $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ معدل التغير المتوسط لدالة على فترة.

هدف التعلم CHA-2.B: تمثيل مشتقة دالة كنهاية لكسر فرق.

CHA-2.B.1 يمكن التعبير عن معدل التغير اللحظي لدالة عند $x=a$ بواسطة $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ أو $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$، شريطة وجود النهاية. هذه أشكال مكافئة لتعريف المشتقة وتُرمز لها بـ $f'(a)$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

The derivative from first principles

Unit 1 built the limit. Unit 2 uses it to define the derivative 导数 – the exact rate of change at a point.

Over an interval, the average rate of change is a difference quotient 差商. Two equivalent forms appear:

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \qquad\text{and}\qquad \frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$

The first uses a step of size $h$ from $a$; the second uses two points $x$ and $a$. Both compute $\dfrac{\text{change in output}}{\text{change in input}}$ over the interval.

The instantaneous 瞬时 rate of change at $x=a$ is what the difference quotient approaches as the interval shrinks to zero. This limit is the derivative at $a$, written $f'(a)$:

$$f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},$$

provided the limit exists.

العربية

عربة تلال في منحدص صاعد: المشتقة تقاس معدل التغير اللحظي — قطار التسلق على تل الصعود: المشتقة تقيس معدل التغير اللحظي

المشتقة من المبادئ الأولى

وحدة 1 بنيت مفهوم النهاية. وحدة 2 تستخدمها لتعريف المشتقة – وهي معدل التغير الدقيق عند نقطة.

معدل التغير اللحظي هو ميل المماس عند نقطة — المعدل اللحظي للتغير هو ميل المماس عند نقطة

على طول فترة، معدل التغير المتوسط هو كسر الفرق. يظهر شكلان متكافئان:

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \qquad\text{and}\qquad \frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$

الأول يستخدم خطوة بحجم $h$ من $a$؛ والثاني يستخدم نقطتين $x$ و$a$. كلاهما يحسب $\dfrac{\text{change in output}}{\text{change in input}}$ خلال الفترة.

المعدل اللحظي للتغير عند $x=a$ هو ما يقترب إليه كسر الفرق كلما انكملت الفترة لتصبح صفراً. هذه النهاية هي المشتقة عند $a$، تُكتب $f'(a)$:

$$f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},$$

بشرط وجود النهاية.

Explore · ⁨استكشف⁩

From average rate to instantaneous rate · ⁨من المعدل المتوسط إلى المعدل اللحظي⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

Slide the point: the secant through two nearby points tips toward the tangent as they merge. The tangent's slope is the derivative — the instantaneous rate of change. · ⁨حرك النقطة: القاطع المار بنقطتين قريبتين يميل نحو المماس عندما تندمجان. ميل المماس هو المشتقة — معدل التغير اللحظي.⁩

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
derivative/dɪˈrɪvətɪv/	المشتقة
difference quotient/ˈdɪfrəns ˈkwəʊʃənt/	مقدار الفرق
instantaneous/ˌɪnstənˈteɪnɪəs/	لحظي
first principles/fɜːst ˈprɪnsɪplz/	المبادئ الأولى
notations/nəʊˈteɪʃnz/	الرموز
slope/sləʊp/	الميل
tangent line/ˈtændʒənt laɪn/	المماس

2.2

Defining the Derivative and Reading Its Notation · ⁨تعريف المشتقة وقراءة رموزها⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-2): Derivatives allow us to determine rates of change at an instant by applying limits to knowledge about rates of change over intervals.

Learning Objective CHA-2.B: Represent the derivative of a function as the limit of a difference quotient.

CHA-2.B.2 The derivative of $f$ is the function whose value at $x$ is $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, provided this limit exists.
CHA-2.B.3 For $y=f(x)$, notations for the derivative include $\dfrac{dy}{dx}$, $f'(x)$, and $y'$.
CHA-2.B.4 The derivative can be represented graphically, numerically, analytically, and verbally.

Learning Objective CHA-2.C: Determine the equation of a line tangent to a curve at a given point.

CHA-2.C.1 The derivative of a function at a point is the slope of the line tangent to a graph of the function at that point.

العربية

هدف التعلم CHA-2.B: تمثيل مشتقة دالة كنهاية لكسر فرق.

CHA-2.B.2 مشتقة $f$ هي الدالة التي تكون قيمتها عند $x$ هي $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$، شريطة وجود هذه النهاية.
CHA-2.B.3 بالنسبة لـ $y=f(x)$، تشمل الرموز المستخدمة للمشتقة $\dfrac{dy}{dx}$، و $f'(x)$، و $y'$.
CHA-2.B.4 يمكن تمثيل المشتقة بيانياً، عددياً، تحليلياً، ولفظياً.

هدف التعلم CHA-2.C: تحديد معادلة خط مماس لمنحنى عند نقطة محددة.

CHA-2.C.1 المشتقة لدالة عند نقطة هي ميل الخط المماس لمنحنى الدالة عند تلك النقطة.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Let the point $a$ vary and the derivative becomes a new function:

$$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

This is the definition of the derivative (sometimes called differentiating "by first principles" 用定义求导). Its value at each $x$ is the instantaneous rate of change there.

Common notations 记号 for the derivative of $y=f(x)$ are:

$$\frac{dy}{dx}, \qquad f'(x), \qquad y'.$$

The derivative can be represented graphically, numerically, analytically, and verbally – be ready to move between them.

Geometric meaning. The derivative at a point is the slope 斜率 of the tangent line 切线 to the graph there. So the tangent line at $x=a$ passes through $\big(a, f(a)\big)$ with slope $f'(a)$:

$$y - f(a) = f'(a)\,(x-a).$$

Writing this line is a routine exam task, so keep the point-slope form ready.

العربية

ليكن النقطة $a$ متغيرة، وتصبح المشتقة دالة جديدة:

$$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

هذا هو تعريف المشتقة (يُسمى أحياناً الاشتقاق "من المبادئ الأولى"). قيمته عند كل $x$ هو معدل التغير اللحظي هناك.

الرموز الشائعة للمشتقة لـ $y=f(x)$ هي:

$$\frac{dy}{dx}, \qquad f'(x), \qquad y'.$$

يمكن تمثيل المشتقة بيانياً، عددياً، تحليلياً، ولفظياً – كن مستعداً للانتقال بينها.

المعنى الهندسي. المشتقة عند نقطة هي الميل لـ خط المماس للرسم البياني هناك. لذا خط المماس عند $x=a$ يمر عبر $\big(a, f(a)\big)$ بميل $f'(a)$:

$$y - f(a) = f'(a)\,(x-a).$$

كتابة هذا الخط مهمة روتينية في الامتحان، لذا احتفظ بصيغة النقطة والميل جاهزة.

ميل الوتر يقترب من ميل المماس: المشتقة هي نهاية المعدلات المتوسطة — منحدرات الوتر تقترب من منحدر المماس: المشتقة هي نهاية المعدلات المتوسطة

2.3

Estimating a Derivative at a Point · ⁨تقدير المشتقة عند نقطة⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-2): Derivatives allow us to determine rates of change at an instant by applying limits to knowledge about rates of change over intervals.

Learning Objective CHA-2.D: Estimate derivatives.

CHA-2.D.1 The derivative at a point can be estimated from information given in tables or graphs.
CHA-2.D.2 Technology can be used to calculate or estimate the value of a derivative of a function at a point.

العربية

هدف التعلم CHA-2.D: تقدير المشتقات.

CHA-2.D.1 يمكن تقدير المشتقة عند نقطة من المعلومات المعطاة في الجداول أو الرسوم البيانية.
CHA-2.D.2 يمكن استخدام التكنولوجيا لحساب أو تقدير قيمة مشتقة دالة عند نقطة.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

You do not always have a formula. When a function is given by a table 表格 or a graph, estimate the derivative $f'(a)$ with a difference quotient over a small interval around $a$. A table with values on both sides of $a$ gives the best estimate:

$$f'(a) \approx \frac{f(b)-f(c)}{b-c},\qquad \text{where } c < a < b \text{ are the closest table inputs}.$$

Technology (a calculator) can also estimate a derivative at a point.

Exam skill (appears almost every year). Questions such as "Approximate $M'(7.5)$ using the average rate of change of $M$ over the interval $5 \le t \le 10$" ask for exactly this difference quotient. Show the setup:

$$M'(7.5) \approx \frac{M(10)-M(5)}{10-5}.$$

Full credit needs the numbers plugged in and the correct units 单位 (output units per input unit), since these come from real-world models.

العربية

ليس لديك دائماً صيغة. عندما تُعطى الدالة بجدول أو رسم بياني، قدر المشتقة $f'(a)$ بكسر فرق على فترة صغيرة حول $a$. جدول يحتوي على قيم على كلا طرفي $a$ يعطي أفضل تقدير:

$$f'(a) \approx \frac{f(b)-f(c)}{b-c},\qquad \text{where } c < a < b \text{ are the closest table inputs}.$$

التكنولوجيا (الحاسبة) يمكنها أيضاً تقدير المشتقة عند نقطة.

مهارة امتحان (تظهر تقريبًا كل عام). أسئلة مثل "قدر $M'(7.5)$ باستخدام معدل التغير المتوسط لـ $M$ خلال الفترة $5 \le t \le 10$" تطلب بالضبط هذا كسر الفرق. أظهر الإعداد:

$$M'(7.5) \approx \frac{M(10)-M(5)}{10-5}.$$

يتطلب الحصول على الدرجة الكاملة تعويض الأرقام و الوحدات الصحيحة (وحدات المخرجات لكل وحدة من المدخلات)، حيث تُستمد هذه القيم من نماذج واقعية.

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
table/ˈteɪbl/	جدول
units/ˈjuːnɪts/	وحدات
differentiable/ˈdɪfərenʃɪəbl/	قابلة للاشتقاق
continuous/kənˈtɪnjuːəs/	متصلة
corner/ˈkɔːnə/	الزاوية الحادة
vertical tangent/ˈvɜːtɪkl ˈtændʒənt/	المماس العمودي
power rule/ˈpaʊə ruːl/	قاعدة القوة
Constant multiple/ˈkɒnstənt ˈmʌltɪpl/	ثابت مضروب
polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/	كثيرة حدود
product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/	قاعدة الضرب
quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/	قاعدة القسمة
identities/aɪˈdentɪtiz/	متطابقات
second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/	المشتقة الثانية

2.4

Differentiability and Continuity: When a Derivative Exists · ⁨قابلية الاشتقاق والاستمرارية: متى توجد المشتقة⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-2): Recognizing that a function's derivative may also be a function allows us to develop knowledge about the related behaviors of both.

Learning Objective FUN-2.A: Explain the relationship between differentiability and continuity.

FUN-2.A.1 If a function is differentiable at a point, then it is continuous at that point. In particular, if a point is not in the domain of $f$, then it is not in the domain of $f'$.
FUN-2.A.2 A continuous function may fail to be differentiable at a point in its domain.
- Illustrative examples for FUN-2.A.2:
  - The left hand and right hand limits of the difference quotient are not equal, as in $f(x)=|x|$ at $x=0$.
  - The tangent line is vertical and has no slope, as in $f(x)=\sqrt[3]{x}$ at $x=0$.

العربية

فهم دائم (FUN-2): إدراك أن مشتقة الدالة قد تكون أيضاً دالة يسمح لنا بتطوير المعرفة حول السلوكيات المرتبطة لكلاهما.

هدف التعلم FUN-2.A: شرح العلاقة بين قابلية الاشتقاق والاستمرارية.

FUN-2.A.1 إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق عند نقطة، فهي مستمرة عند تلك النقطة. وتحديداً، إذا كانت نقطة ما ليست في مجال $f$، فإنها ليست في مجال $f'$.
FUN-2.A.2 قد تفشل الدالة المستمرة في أن تكون قابلة للاشتقاق عند نقطة في مجالها.
- أمثلة توضيحية لـ FUN-2.A.2:
  - النهايات أحادية الجانب لكسر الفرق غير متساوية، كما في $f(x)=|x|$ عند $x=0$.
  - الخط المماس عمودي وليس له ميل، كما في $f(x)=\sqrt[3]{x}$ عند $x=0$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Differentiability is stronger than continuity. The key relationship:

If $f$ is differentiable 可导 at a point, then $f$ is continuous 连续 there.

So differentiability implies continuity. The reverse is false: a continuous function can fail to be differentiable. Two ways this happens:

A corner 尖点: the left and right difference-quotient limits disagree, as with $f(x)=|x|$ at $x=0$.
A vertical tangent 垂直切线: the slope is infinite (no real number), as with $f(x)=\sqrt[3]{x}$ at $x=0$.

Also, a point outside the domain of $f$ cannot be in the domain of $f'$. Use the contrapositive on the exam: if $f$ is not continuous at $a$, then $f$ is not differentiable at $a$.

العربية

قابلية الاشتقاق أقوى من الاستمرارية. العلاقة الأساسية:

إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق عند نقطة ما، فإن $f$ مستمرة عند تلك النقطة.

لذلك، قابلية الاشتقاق تفترض الاستمرارية. العكس غير صحيح: يمكن أن تكون دالة مستمرة وغير قابلة للاشتقاق. يحدث ذلك بطريقتين:

زاوية حادة: تتعارض حدود نهاية حاصل الفرق من اليسار واليمين، كما في $f(x)=|x|$ عند $x=0$.
مماس عمودي: يكون الميل لا نهائياً (لا يوجد عدد حقيقي)، كما في $f(x)=\sqrt[3]{x}$ عند $x=0$.

طريقتان تكون فيها الدالة المستمرة غير قابلة للاشتقاق: زاوية حادة ومماس عمودي

أيضاً، النقطة خارج مجال تعريف $f$ لا يمكن أن تكون في مجال تعريف $f'$. استخدم الاستلزام العكسي في الامتحان: إذا كانت $f$ غير متصلة عند $a$، فإن $f$ ليست قابلة للاشتقاق عند $a$.

2.5

The Power Rule · ⁨قاعدة القوة⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.A: Calculate derivatives of familiar functions.

FUN-3.A.1 Direct application of the definition of the derivative and specific rules can be used to calculate the derivative for functions of the form $f(x)=x^{r}$.

العربية

فهم دائم (FUN-3): إدراك الفرص لتطبيق قواعد الاشتقاق يمكن أن يبسط عملية الاشتقاق.

هدف التعلم FUN-3.A: حساب مشتقات الدوال المألوفة.

FUN-3.A.1 يمكن استخدام التطبيق المباشر لتعريف المشتقة والقواعد الخاصة لحساب المشتقة للدوال من الشكل $f(x)=x^{r}$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

From here we use rules instead of the limit definition each time. The power rule 幂法则 handles any power of $x$:

$$\frac{d}{dx}\,x^{r} = r\,x^{\,r-1}\qquad\text{for any real } r.$$

It works for whole-number powers, negative powers ($\tfrac{1}{x}=x^{-1}$), and roots ($\sqrt{x}=x^{1/2}$) – rewrite as a power first, then apply the rule.

العربية

من هنا نستخدم القواعد بدلاً من تعريف النهاية في كل مرة. تتناول قاعدة القوة أي قوة لـ $x$:

$$\frac{d}{dx}\,x^{r} = r\,x^{\,r-1}\qquad\text{for any real } r.$$

تنطبق على القوى العددية الصحيحة والقوى السالبة ($\tfrac{1}{x}=x^{-1}$) والجذور ($\sqrt{x}=x^{1/2}$) – أعد الكتابة كقوة أولاً، ثم طبق القاعدة.

Explore · ⁨استكشف⁩

A power function and its steepening slope · ⁨دالة أسية وميلها المتزايد⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

The power rule $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ drops the exponent as a factor. For $x^3$ the slope grows quickly as $x$ leaves 0 — the curve steepens. · ⁨يُطبق قاعدة القوة $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ بإنزال الأس作为عامل مضروب. بالنسبة لـ $x^3$، يزداد الميل بسرعة عندما يبتعد $x$ عن 0 — حيث becomes المنحنى أكثر انحدارًا.⁩

2.6

Constant, Sum, Difference, and Constant Multiple Rules · ⁨قواعد الثابت والمجموع والفرض والضرب في ثابت⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.A: Calculate derivatives of familiar functions.

FUN-3.A.2 Sums, differences, and constant multiples of functions can be differentiated using derivative rules.
FUN-3.A.3 The power rule combined with sum, difference, and constant multiple properties can be used to find the derivatives for polynomial functions.

العربية

فهم دائم (FUN-3): إدراك الفرص لتطبيق قواعد الاشتقاق يمكن أن يبسط عملية الاشتقاق.

هدف التعلم FUN-3.A: حساب مشتقات الدوال المألوفة.

FUN-3.A.2 يمكن اشتقاق مجموع الدوال وفرقها ومضاعفاتها الثابتة باستخدام قواعد الاشتقاق.
FUN-3.A.3 يمكن استخدام قاعدة القوة مجتمعة مع خصائص المجموع والفرق والمضاعف الثابت لإيجاد مشتقات الدوال كثيرة الحدود.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

These rules let you differentiate term by term:

Constant: $\dfrac{d}{dx}\,k = 0$ (a constant does not change).
Constant multiple 常数倍: $\dfrac{d}{dx}\big[k\,f(x)\big] = k\,f'(x)$.
Sum / difference: $\dfrac{d}{dx}\big[f(x)\pm g(x)\big] = f'(x)\pm g'(x)$.

Combined with the power rule, they differentiate any polynomial 多项式 term by term. Example:

$$\frac{d}{dx}\big(4x^3 - 5x + 7\big) = 12x^2 - 5.$$

العربية

تسمح هذه القواعد باشتقاق الحد بحد:

الثابت: $\dfrac{d}{dx}\,k = 0$ (الثابت لا يتغير).
الضرب في ثابت: $\dfrac{d}{dx}\big[k\,f(x)\big] = k\,f'(x)$.
المجموع / الفرق: $\dfrac{d}{dx}\big[f(x)\pm g(x)\big] = f'(x)\pm g'(x)$.

بدمجها مع قاعدة القوة، يتم اشتقاق أي حد كثي الحدود بحد بحد. مثال:

$$\frac{d}{dx}\big(4x^3 - 5x + 7\big) = 12x^2 - 5.$$

2.7

Derivatives of cos x, sin x, e^x, and ln x · ⁨مشتقات cos x، sin x، e^x، و ln x⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.A: Calculate derivatives of familiar functions.

FUN-3.A.4 Specific rules can be used to find the derivatives for sine, cosine, exponential, and logarithmic functions.

Enduring Understanding (LIM-3): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to determine a limit.

Learning Objective LIM-3.A: Interpret a limit as a definition of a derivative.

LIM-3.A.1 In some cases, recognizing an expression for the definition of the derivative of a function whose derivative is known offers a strategy for determining a limit.

العربية

فهم دائم (FUN-3): إدراك الفرص لتطبيق قواعد الاشتقاق يمكن أن يبسط عملية الاشتقاق.

هدف التعلم FUN-3.A: حساب مشتقات الدوال المألوفة.

FUN-3.A.4 يمكن استخدام قواعد محددة لإيجاد مشتقات دوال الجيب، جيب التمام، الأسية، واللوغاريتمية.

فهم دائم (LIM-3): يمكن استخدام التفكير المستند إلى التعاريف والنظريات والخصائص لتحديد النهاية.

الهدف التعليمي LIM-3.A: تفسير النهاية كتعريف للمشتقة.

LIM-3.A.1 في بعض الحالات، يُعد التعرف على تعبير يمثل تعريف المشتقة لدالة تُعرف مشتقتها استراتيجية لتحديد نهاية ما.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Learn these four building-block derivatives by heart:

$$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \qquad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x,$$

$$\frac{d}{dx}e^{x} = e^{x}, \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}\ \ (x>0).$$

Note the minus sign on the derivative of cosine, and that $e^{x}$ is its own derivative.

A limit that is really a derivative (LIM-3.A.1). Sometimes a limit is secretly the definition of a known derivative. If you recognize

$$\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

for a function $f$ whose derivative you know, just evaluate $f'(a)$. For example, $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}+h\big)-1}{h} = \left.\frac{d}{dx}\sin x\right|_{x=\pi/2} = \cos\tfrac{\pi}{2} = 0$.

العربية

احفظ هذه المشتقات الأربع الأساسية عن ظهر قلب:

$$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \qquad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x,$$

$$\frac{d}{dx}e^{x} = e^{x}, \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}\ \ (x>0).$$

لاحظ الإشارة السالبة في مشتقة جيب التمام، وأن $e^{x}$ هي مشتقتها بنفسها.

نهاية تمثل حقاً مشتقة (LIM-3.A.1). أحياناً تكون النهاية خفية تعريف لمشتقة معروفة. إذا قمت بالتعرف على

$$\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

لدالة $f$ تعرف مشتقتها، فقط قم بحساب $f'(a)$. على سبيل المثال، $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}+h\big)-1}{h} = \left.\frac{d}{dx}\sin x\right|_{x=\pi/2} = \cos\tfrac{\pi}{2} = 0$.

Explore · ⁨استكشف⁩

The shape of sin x (whose slope is cos x) · ⁨شكل sin x (الذي ميله هو cos x)⁩

y = asin(bx + c) + d

The derivative of $\sin x$ is $\cos x$: the slope of the sine curve is largest where sine crosses zero and zero at its peaks. Watch the curve to feel where its slope is steep or flat. · ⁨المشتقة لـ $\sin x$ هي $\cos x$: ميل منحنى الجيب يكون أكبر حيث يقطع الصفر ويصبح صفراً عند قمم المنحنى. راقب المنحنى لتشعر أين يكون ميله حاداً أو مسطحاً.⁩

2.8

The Product Rule · ⁨قاعدة الضرب⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.B: Calculate derivatives of products and quotients of differentiable functions.

FUN-3.B.1 Derivatives of products of differentiable functions can be found using the product rule.

العربية

فهم دائم (FUN-3): إدراك الفرص لتطبيق قواعد الاشتقاق يمكن أن يبسط عملية الاشتقاق.

هدف التعلم FUN-3.B: حساب مشتقات مضروبات ونسب الدوال القابلة للاشتقاق.

FUN-3.B.1 يمكن إيجاد مشتقات جداء الدوال القابلة للاشتقاق باستخدام قاعدة الضرب.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

A product of two functions is not differentiated by multiplying the derivatives. Use the product rule 乘积法则:

$$\frac{d}{dx}\big[u\,v\big] = u'v + uv'.$$

"Derivative of the first times the second, plus the first times the derivative of the second." Example:

$$\frac{d}{dx}\big(x^2 e^{x}\big) = 2x\,e^{x} + x^2 e^{x}.$$

Exam questions often build a new function from given pieces, e.g. $k'(x) = \big(f(x)\big)^2 g(x)$, and ask you to combine rules while reading values from a table.

العربية

حاصل ضرب دالتين لا يُشتق بضرب المشتقات. استخدم قاعدة الضرب:

$$\frac{d}{dx}\big[u\,v\big] = u'v + uv'.$$

"مشتقة الأولى مضروبة في الثانية، زائد الأولى مضروبة في مشتقة الثانية." مثال:

$$\frac{d}{dx}\big(x^2 e^{x}\big) = 2x\,e^{x} + x^2 e^{x}.$$

غالباً ما تبني أسئلة الامتحانات دالة جديدة من قطع معطاة، مثل $k'(x) = \big(f(x)\big)^2 g(x)$، وتطلب منك دمج القواعد أثناء قراءة القيم من جدول.

2.9

The Quotient Rule · ⁨قاعدة القسمة⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.B: Calculate derivatives of products and quotients of differentiable functions.

FUN-3.B.2 Derivatives of quotients of differentiable functions can be found using the quotient rule.

العربية

فهم دائم (FUN-3): إدراك الفرص لتطبيق قواعد الاشتقاق يمكن أن يبسط عملية الاشتقاق.

هدف التعلم FUN-3.B: حساب مشتقات مضروبات ونسب الدوال القابلة للاشتقاق.

FUN-3.B.2 يمكن إيجاد مشتقات قسمة الدوال القابلة للاشتقاق باستخدام قاعدة القسمة.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

For a quotient, use the quotient rule 商法则:

$$\frac{d}{dx}\!\left[\frac{u}{v}\right] = \frac{u'v - uv'}{v^{2}}.$$

"Bottom times derivative of top, minus top times derivative of bottom, all over bottom squared." The order matters because of the minus sign, so write the numerator carefully. Example:

$$\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{\cos x}\right) = \frac{1\cdot\cos x - x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos x + x\sin x}{\cos^2 x}.$$

العربية

للقسمة، استخدم قاعدة القسمة:

$$\frac{d}{dx}\!\left[\frac{u}{v}\right] = \frac{u'v - uv'}{v^{2}}.$$

"المقام في مشتقة البسط، ناقص البسط في مشتقة المقام، الكل مقسوماً على مربع المقام." الترتيب مهم بسبب الإشارة السالبة، لذا اكتب البسط بعناية. مثال:

$$\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{\cos x}\right) = \frac{1\cdot\cos x - x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos x + x\sin x}{\cos^2 x}.$$

2.10

Derivatives of Tangent, Cotangent, Secant, and Cosecant · ⁨مشتقات Tan، Cot، Sec، و Csc⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.B: Calculate derivatives of products and quotients of differentiable functions.

FUN-3.B.3 Rearranging tangent, cotangent, secant, and cosecant functions using identities allows differentiation using derivative rules.

العربية

فهم دائم (FUN-3): إدراك الفرص لتطبيق قواعد الاشتقاق يمكن أن يبسط عملية الاشتقاق.

هدف التعلم FUN-3.B: حساب مشتقات مضروبات ونسب الدوال القابلة للاشتقاق.

FUN-3.B.3 إعادة ترتيب دوال الظل، وظل التمام، والقاطع، وقاطع التمام باستخدام المتطابقات يسمح بالاشتقاق باستخدام قواعد الاشتقاق.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

The remaining trigonometric derivatives are not memorized separately – you rewrite them with identities 恒等式 and apply the quotient (or product) rule. For instance, $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$, so the quotient rule gives

$$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cos x - \sin x(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x.$$

The same method (writing $\cot x=\tfrac{\cos x}{\sin x}$, $\sec x=\tfrac{1}{\cos x}$, $\csc x=\tfrac{1}{\sin x}$) gives $-\csc^2 x$, $\sec x\tan x$, and $-\csc x\cot x$.

Higher-order derivatives. Differentiating $f'$ again gives the second derivative 二阶导数 $f''(x)$ (or $\tfrac{d^2y}{dx^2}$) – the rate of change of the rate of change. An exam part like "Find $k''(3)$" just means differentiate twice, then substitute. You can also estimate a second derivative from a table by applying the average-rate-of-change method to the $f'$ values.

Worked example. Differentiate $g(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ with the quotient rule $\left(\tfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$: take $u=\sin x$, $v=x$, giving $g'(x)=\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^2}$. Keep the order $u'v-uv'$ in the numerator — swapping the terms flips the sign and loses the mark.

العربية

لا يتم حفظ باقي المشتقات المثلثية بشكل منفصل – بل تقوم بإعادة كتابتها باستخدام الهويات وتطبيق قاعدة القسمة (أو الضرب). على سبيل المثال، $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$، مما يعطي قاعدة القسمة

$$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cos x - \sin x(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x.$$

نفس الطريقة (كتابة $\cot x=\tfrac{\cos x}{\sin x}$، $\sec x=\tfrac{1}{\cos x}$، $\csc x=\tfrac{1}{\sin x}$) تعطي $-\csc^2 x$، $\sec x\tan x$، و $-\csc x\cot x$.

المشتقات ذات الرتب الأعلى. اشتقاق $f'$ مرة أخرى يعطي المشتقة الثانية $f''(x)$ (أو $\tfrac{d^2y}{dx^2}$) – وهو معدل تغير معدل التغير. جزء من الامتحان مثل "أوجد $k''(3)$" يعني ببساطة اشتقاق مرتين، ثم التعويض. يمكنك أيضاً تقدير المشتقة الثانية من جدول عن طريق تطبيق طريقة معدل التغير المتوسط على قيم $f'$.

مثال محلول. اشتق $g(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ باستخدام قاعدة القسمة $\left(\tfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$: خذ $u=\sin x$، $v=x$، مما يعطي $g'(x)=\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^2}$. حافظ على الترتيب $u'v-uv'$ في البسط -- تبديل الحدود يعكس الإشارة ويؤدي لفقد الدرجة.

2.10

Exam tips · ⁨نصائح للامتحان⁩

English

The derivative is the slope of the tangent — the limit of the secant slope $\tfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ as $h\to0$.
Memorise the rules: power, product, quotient, and the derivatives of $\sin$, $\cos$, $e^x$, and $\ln x$.
Differentiability implies continuity, but not the reverse (a corner or cusp is continuous yet not differentiable).
Distinguish average rate of change (secant slope over an interval) from instantaneous rate (the derivative at a point).
Give a tangent-line equation as $y-f(a)=f'(a)(x-a)$.

العربية

المشتقة هي ميل المماس – وهو نهاية ميل القاطع $\tfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ عندما $h\to0$.
احفظ القواعد: القوة، الضرب، القسمة، ومشتقات $\sin$، $\cos$، $e^x$، و $\ln x$.
قابلية الاشتقاق تفترض الاستمرارية، ولكن ليس العكس (الزاوية الحادة أو الزاوية الحادة المستمرة ليست قابلة للاشتقاق).
فرق بين معدل التغير المتوسط (ميل الوتر على فترة) والمعدل اللحظي (المشتقة عند نقطة).
قدم معادلة خط المماس بصيغة $y-f(a)=f'(a)(x-a)$.

Differentiation: Composite, Implicit, and Inverse Functions · ⁨الاشتقاق: الدوال المركبة والضمنية والعكسية⁩

Watch lesson · ⁨شاهد الدرس⁩

Open this topic on its own page · ⁨افتح هذا الموضوع في صفحة خاصة به⁩

3.1

The Chain Rule

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.C: Calculate derivatives of compositions of differentiable functions.

FUN-3.C.1 The chain rule provides a way to differentiate composite functions.

العربية

فهم دائم (FUN-3): إدراك الفرص لتطبيق قواعد الاشتقاق يمكن أن يبسط عملية الاشتقاق.

الهدف التعليمي FUN-3.C: حساب مشتقات تركيبات الدوال القابلة للاشتقاق.

FUN-3.C.1 توفر قاعدة السلسلة طريقة لاشتقاق الدوال المركبة.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

A mountain path: composite functions nest rates of change (chain rule)

The chain rule

Unit 2 differentiated single functions. Unit 3 differentiates functions built inside other functions. The chain rule 链式法则 differentiates a composite function 复合函数 $f\big(g(x)\big)$:

$$\frac{d}{dx}\,f\big(g(x)\big) = f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).$$

"Derivative of the outer function (leaving the inside alone), times the derivative of the inside." The inner derivative $g'(x)$ is the piece students forget, so always ask "what is the inside, and what is its derivative?" Example:

$$\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x.$$

In Leibniz notation, with $y=f(u)$ and $u=g(x)$, the rule reads $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ – the intermediate $du$ appears to "cancel." Exam questions often give a table for $f$, $g$, $f'$, $g'$ and ask for $h'(a)$ where $h(x)=f\big(g(x)\big)$; evaluate $f'\big(g(a)\big)\cdot g'(a)$ by reading values.

Worked example. Differentiate $h(x)=(2x^2+1)^5$. The outer function is "(something)$^5$" and the inner is $2x^2+1$:

$$h'(x)=5(2x^2+1)^4\cdot 4x=20x(2x^2+1)^4.$$

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
chain rule/tʃeɪn ruːl/	قاعدة السلسلة
composite function/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃn/	الدالة المركبة

3.2

Implicit Differentiation

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.D: Calculate derivatives of implicitly defined functions.

FUN-3.D.1 The chain rule is the basis for implicit differentiation.

العربية

فهم دائم (FUN-3): إدراك الفرص لتطبيق قواعد الاشتقاق يمكن أن يبسط عملية الاشتقاق.

الهدف التعليمي FUN-3.D: حساب مشتقات الدوال المعرّضة ضمنيًا.

FUN-3.D.1 تُعد قاعدة السلسلة أساس الاشتقاق الضمني.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

Some curves are defined implicitly – by an equation in $x$ and $y$ that is not solved for $y$, such as $x^2+y^2=25$. Implicit differentiation 隐函数求导 finds $\dfrac{dy}{dx}$ without solving for $y$ first. It is just the chain rule, treating $y$ as a function of $x$.

The method: differentiate both sides with respect to $x$; every time you differentiate a $y$-term, multiply by $\dfrac{dy}{dx}$ (the chain rule); then solve algebraically for $\dfrac{dy}{dx}$. For $x^2+y^2=25$:

$$2x + 2y\frac{dy}{dx}=0 \;\Longrightarrow\; \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}.$$

Worked example. Find the tangent to $x^2+y^2=25$ at $(3,4)$. Here $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3}{4}$, so the tangent line is $y-4=-\tfrac{3}{4}(x-3)$ – perpendicular to the radius, as geometry predicts.

Implicit differentiation gives the tangent to a circle, perpendicular to the radius

Exam skill – "Show that $\dfrac{dy}{dx}=\ldots$". This exact prompt appears most years (e.g. "Show that $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y}{y^2-2x}$"). Because the target is given, you must show every algebra step cleanly: differentiate both sides, use the product/chain rules on mixed $xy$ terms, collect all $\dfrac{dy}{dx}$ terms on one side, factor, and divide. A correct final line that skips the algebra earns little. Follow-up parts then ask for a tangent line, or where the tangent is horizontal ($\tfrac{dy}{dx}=0$, so the numerator is $0$) or vertical (the denominator is $0$).

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
Implicit differentiation/ɪmˈplɪsɪt ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/	الاشتقاق الضمني

3.3

Differentiating Inverse Functions

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.E: Calculate derivatives of inverse and inverse trigonometric functions.

FUN-3.E.1 The chain rule and definition of an inverse function can be used to find the derivative of an inverse function, provided the derivative exists.

العربية

فهم دائم (FUN-3): إدراك الفرص لتطبيق قواعد الاشتقاق يمكن أن يبسط عملية الاشتقاق.

الهدف التعليمي FUN-3.E: حساب مشتقات الدوال العكسية والدوال المثلثية العكسية.

FUN-3.E.1 يمكن استخدام قاعدة السلسلة وتعريف الدالة العكسية لإيجاد مشتقة الدالة العكسية، شريطة وجود المشتقة.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

If $g$ is the inverse function 反函数 of $f$ (so $f(g(x))=x$), the chain rule links their derivatives:

$$g'(x) = \frac{1}{f'\big(g(x)\big)},\qquad\text{provided } f'\big(g(x)\big)\neq 0.$$

In words: the derivative of the inverse at a point is the reciprocal 倒数 of the derivative of the original function at the matching point. A common exam setup gives a table and a point $(a,b)$ on $f$ (so $(b,a)$ is on $g$), then asks for $g'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$.

Worked example. If $f(2)=5$ and $f'(2)=3$, and $g$ is the inverse of $f$, then $(5,2)$ lies on $g$ and $g'(5)=\dfrac{1}{f'(2)}=\dfrac{1}{3}$.

The inverse function is the mirror image of the function in the line y = x

Explore · ⁨استكشف⁩

An exponential and its inverse the log · ⁨دالة أسية ومعكوسها اللوغاريتمي⁩

y = a·e^(bx) + c

Inverse functions mirror across $y=x$ and their slopes are reciprocals. Where one is steep, its inverse is shallow. · ⁨الدوال العكسية تعكس عبر $y=x$ وميولها مقلوبات. حيثما كان أحدهما حاداً، يكون معكوسه مسطحاً.⁩

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/	الدالة العكسية
reciprocal/rɪˈsɪprəkl/	مقلوبه

3.4

Differentiating Inverse Trigonometric Functions

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.E: Calculate derivatives of inverse and inverse trigonometric functions.

FUN-3.E.2 The chain rule applied with the definition of an inverse function, or the formula for the derivative of an inverse function, can be used to find the derivatives of inverse trigonometric functions.

العربية

فهم دائم (FUN-3): إدراك الفرص لتطبيق قواعد الاشتقاق يمكن أن يبسط عملية الاشتقاق.

الهدف التعليمي FUN-3.E: حساب مشتقات الدوال العكسية والدوال المثلثية العكسية.

FUN-3.E.2 يمكن استخدام قاعدة السلسلة مطبقة مع تعريف الدالة العكسية، أو صيغة مشتقة الدالة العكسية، لإيجاد مشتقات الدوال المثلثية العكسية.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

The same idea gives the derivatives of the inverse trigonometric functions 反三角函数. The three you should know:

$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}, \quad \frac{d}{dx}\text{arcsec}\,x = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.$$

Combine these with the chain rule when the input is itself a function, e.g. $\dfrac{d}{dx}\arctan(3x)=\dfrac{3}{1+9x^2}$.

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
inverse trigonometric functions/ɪnˈvɜːs ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ˈfʌŋkʃnz/	الدوال المثلثية العكسية

3.5

Selecting Procedures for Calculating Derivatives

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

This topic is intended to focus on the skill of selecting an appropriate procedure for calculating derivatives. Students should be given opportunities to practice when and how to apply all learning objectives relating to calculating derivatives.

العربية

يُقصَد بهذا الموضوع التركيز على مهارة اختيار إجراء مناسب لحساب المشتقات. ينبغي توفير فرص للطلاب للتدريب على متى وكيف تطبيق جميع الأهداف التعليمية المتعلقة بحساب المشتقات.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

A skill topic: real derivatives mix several rules, so read the structure of the expression first, from the outside in.

Is it a sum? Differentiate term by term.
A product or quotient? Apply that rule, and expect to use the chain rule inside.
A composite (something inside something)? Chain rule.
Given implicitly? Implicit differentiation.

Name the outermost operation, apply its rule, and recurse inward. Neatness prevents the sign and bookkeeping errors that cost marks.

3.6

Calculating Higher-Order Derivatives

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.F: Determine higher order derivatives of a function.

FUN-3.F.1 Differentiating $f'$ produces the second derivative $f''$, provided the derivative of $f'$ exists; repeating this process produces higher-order derivatives of $f$.
FUN-3.F.2 Higher-order derivatives are represented with a variety of notations. For $y = f(x)$, notations for the second derivative include $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$, $f''(x)$, and $y''$. Higher-order derivatives can be denoted $\dfrac{d^n y}{dx^n}$ or $f^{(n)}(x)$.

العربية

فهم دائم (FUN-3): إدراك الفرص لتطبيق قواعد الاشتقاق يمكن أن يبسط عملية الاشتقاق.

الهدف التعليمي FUN-3.F: تحديد المشتقات ذات الرتب الأعلى للدالة.

FUN-3.F.1 اشتقاق $f'$ ينتج المشتقة الثانية $f''$، شريطة أن تكون مشتقة $f'$ موجودة؛ وتكرار هذه العملية ينتج مشتقات ذات رتب أعلى لـ $f$.
FUN-3.F.2 تُمثل المشتقات ذات الرتب الأعلى بمجموعة متنوعة من الرموز. بالنسبة لـ $y = f(x)$، تشمل رموز المشتقة الثانية $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$، $f''(x)$، و $y''$. ويمكن ترميز المشتقات ذات الرتب الأعلى بـ $\dfrac{d^n y}{dx^n}$ أو $f^{(n)}(x)$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

Differentiating $f'$ produces the second derivative 二阶导数 $f''$; repeating gives higher-order derivatives. The notations:

$$f''(x)=\frac{d^2y}{dx^2}=y'', \qquad\text{and in general}\qquad f^{(n)}(x)=\frac{d^n y}{dx^n}.$$

The second derivative measures how the slope is changing; it drives concavity 凹凸性 and acceleration in later units. To find $f''$ implicitly, differentiate the expression for $\dfrac{dy}{dx}$ again (with the quotient and chain rules), then substitute $\dfrac{dy}{dx}$ back in.

Explore · ⁨استكشف⁩

The second derivative is the slope of the slope · ⁨المشتقة الثانية هي ميل الميل⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

Differentiating again gives $f''$, the rate the slope changes. Where the slope is increasing the curve bends upward. · ⁨الاشتقاق مرة أخرى يعطي $f''$، وهو معدل تغير الميل. حيثما كان الميل متزايداً، ينحني المنحنى لأعلى.⁩

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/	المشتقة الثانية
concavity/kənˈkævɪti/	التقعر

3.6

Exam tips

Use the chain rule for composite functions — differentiate the outside, then multiply by the derivative of the inside (the most-forgotten factor).
For implicit differentiation, differentiate both sides with respect to $x$ and attach $\tfrac{dy}{dx}$ each time $y$ is differentiated, then solve.
Get the second derivative by differentiating twice (velocity → acceleration).
Combine rules carefully in layered expressions (chain inside product, etc.).
The inverse function's graph is the reflection in $y=x$; its slope is the reciprocal of the original's at the matching point.

Contextual Applications of Differentiation · ⁨تطبيقات الاشتقاق السياقية⁩

Watch lesson · ⁨شاهد الدرس⁩

Open this topic on its own page · ⁨افتح هذا الموضوع في صفحة خاصة به⁩

4.1

Interpreting the Meaning of the Derivative in Context · ⁨تفسير معنى المشتقة في السياق⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-3): Derivatives allow us to solve real-world problems involving rates of change.

Learning Objective CHA-3.A: Interpret the meaning of a derivative in context.

CHA-3.A.1 The derivative of a function can be interpreted as the instantaneous rate of change with respect to its independent variable.
CHA-3.A.2 The derivative can be used to express information about rates of change in applied contexts.
CHA-3.A.3 The unit for $f'(x)$ is the unit for $f$ divided by the unit for $x$.

العربية

فهم دائم (CHA-3): تسمح المشتقات لنا بحل مسائل العالم الحقيقي التي تتعلق بمعدلات التغير.

الهدف التعليمي CHA-3.A: تفسير معنى المشتقة في السياق.

CHA-3.A.1 يمكن تفسير مشتقة الدالة كمعدل تغير لحظي بالنسبة لمتغيرها المستقل.
CHA-3.A.2 يمكن استخدام المشتقة للتعبير عن معلومات حول معدلات التغير في سياقات تطبيقية.
CHA-3.A.3 وحدة القياس لـ $f'(x)$ هي وحدة القياس لـ $f$ مقسومة على وحدة القياس لـ $x$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Once you can compute derivatives, you use them to describe the real world. The derivative $f'(x)$ is the instantaneous rate of change of $f$ with respect to its input. Reading and reporting this rate correctly is a graded skill.

Units matter. The unit of $f'(x)$ is the unit of $f$ divided by the unit of $x$. If $C(t)$ is a number of acres and $t$ is in weeks, then $C'(t)$ is in acres per week. On the exam, "Using correct units, interpret the meaning of $g'(140)$" wants a full sentence: the value, the quantity, the rate word "per", and the moment. For example: "$g'(140)=2.3$ means that at $x=140$, the quantity is increasing at about $2.3$ units per unit of $x$."

العربية

بمجرد أن تتمكن من حساب المشتقات، تستخدمها لوصف العالم الحقيقي. المشتقة $f'(x)$ هي معدل التغير اللحظي لـ$f$ بالنسبة لمدخلاتها. قراءة وإبلاغ هذا المعدل بشكل صحيح هو مهارة مدرجة في الدرجات.

الوحدات مهمة. وحدة $f'(x)$ هي وحدة $f$ مقسومة على وحدة $x$. إذا كان $C(t)$ يمثل عدد فدان و $t$ بأسابيع، فإن $C'(t)$ يكون بالفدان في الأسبوع. في الامتحان، يطلب "باستخدام الوحدات الصحيحة، افسر معنى $g'(140)$" جملة كاملة: القيمة، الكمية، كلمة المعدل لكل (per)، و اللحظة. مثال: "يعني $g'(140)=2.3$ أنه عند $x=140$، تزداد الكمية بمعدل حوالي $2.3$ وحدة لكل وحدة من $x$."

4.2

Straight-Line Motion: Position, Velocity, and Acceleration · ⁨الحركة المستقيمة: الموقع، السرعة، والتسارع⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-3): Derivatives allow us to solve real-world problems involving rates of change.

Learning Objective CHA-3.B: Calculate rates of change in applied contexts.

CHA-3.B.1 The derivative can be used to solve rectilinear motion problems involving position, speed, velocity, and acceleration.

العربية

فهم دائم (CHA-3): تسمح المشتقات لنا بحل مسائل العالم الحقيقي التي تتعلق بمعدلات التغير.

الهدف التعليمي CHA-3.B: حساب معدلات التغير في السياقات التطبيقية.

CHA-3.B.1 يمكن استخدام المشتقة لحل مسائل الحركة مستقيمة الخط التي تتضمن الموقع، السرعة، التردد، والتسارع.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

For a particle moving on a line, three functions of time are linked by differentiation:

position 位置 $s(t)$;
velocity 速度 $v(t)=s'(t)$ – signed; its sign gives direction;
acceleration 加速度 $a(t)=v'(t)=s''(t)$.

Key readings (frequent exam parts):

The particle is at rest 静止 when $v(t)=0$.
It moves right/up when $v(t)>0$ and left/down when $v(t)<0$; it changes direction where $v$ changes sign.
Speed 速率 is $|v(t)|$. Speed is increasing when $v$ and $a$ have the same sign (the particle is speeding up), and decreasing when they have opposite signs.

Distinguish carefully between velocity (has direction) and speed (does not) – the exam tests this exact difference.

Worked example. A particle moves with $s(t)=t^3-6t^2+9t$. Then $v(t)=3(t-1)(t-3)$, so it is at rest at $t=1$ and $t=3$ and changes direction at each. At $t=2$, $v=-3<0$ and $a(2)=6(2)-12=0$; just after, $a>0$ while $v<0$, so the particle is slowing down there.

العربية

بالنسبة لجسيم يتحرك على خط، ترتبط ثلاث دوال للزمن عن طريق الاشتقاق:

في الرسم البياني للسرعة والزمن، المساحة هي الإزاحة والميل هو التسارع

الموقع $s(t)$;
السرعة $v(t)=s'(t)$ – ذات إشارة؛ إشارته تعطي الاتجاه;
التسارع $a(t)=v'(t)=s''(t)$.

قراءات رئيسية (أجزاء امتحانات متكررة):

يكون الجسيم ساكنًا عندما $v(t)=0$.
يتحرك يمينًا/أعلى عندما $v(t)>0$ ويسارًا/أسفل عندما $v(t)<0$؛ يغير اتجاهه حيث $v$ تتغير إشارتها.
السرعة هي $|v(t)|$. تتزايد السرعة عندما $v$ و$a$ لهما إشارة متطابقة (يتسارع الجسيم)، وتتناقص عندما يكون لهما إشارات متعاكسة.

فرق بعناية بين السرعة (لها اتجاه) والسرعة القياسية (ليس لها) – يختبر الامتحان هذا الفرق تحديداً.

مثال محلول. جسيم يتحرك بسرعة $s(t)=t^3-6t^2+9t$. إذن $v(t)=3(t-1)(t-3)$، لذا فهو ساكن عند $t=1$ و $t=3$ ويتغير اتجاهه عند كل منهما. عند $t=2$، $v=-3<0$ و $a(2)=6(2)-12=0$؛ بعد ذلك مباشرة، $a>0$ بينما $v<0$، لذا الجسيم يتباطأ هناك.

Explore · ⁨استكشف⁩

Velocity is the slope of position · ⁨السرعة هي ميل المسافة⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

For straight-line motion, velocity is the derivative (slope) of position and acceleration the derivative of velocity. Slide the point to read the instantaneous velocity. · ⁨لحركة خطية مستقيمة، السرعة هي المشتقة (الميل) للمسافة والتسارع هو مشتقة السرعة. اسحب النقطة لقراءة السرعة اللحظية.⁩

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
position/pəˈzɪʃn/	الموقع
velocity/vəˈlɒsɪti/	السرعة
acceleration/əkˌseləˈreɪʃn/	التسارع
at rest/æt rest/	ساكن
Speed/spiːd/	السرعة

4.3

Rates of Change in Applied Contexts Other Than Motion · ⁨معدلات التغير في سياقات تطبيقية أخرى غير الحركة⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-3): Derivatives allow us to solve real-world problems involving rates of change.

Learning Objective CHA-3.C: Interpret rates of change in applied contexts.

CHA-3.C.1 The derivative can be used to solve problems involving rates of change in applied contexts.

العربية

فهم دائم (CHA-3): تسمح المشتقات لنا بحل مسائل العالم الحقيقي التي تتعلق بمعدلات التغير.

الهدف التعليمي CHA-3.C: تفسير معدلات التغير في السياقات التطبيقية.

CHA-3.C.1 يمكن استخدام المشتقة لحل المسائل التي涉及到 معدلات التغير في السياقات التطبيقية.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

The same derivative idea models any changing quantity: a draining tank, a spreading population, a cooling cup. Whenever a problem says "the rate at which...", it is describing a derivative. Read the units to know which quantity's rate you have, then interpret in context.

العربية

فكرة الاشتقاق نفسها نموذج لأي كمية متغيرة: خزان يُفرغ، عدد سكان ينتشر، كوب يبرد. كلما ذكر مشكلة "المعدل الذي..."، فهي تصف اشتقاقاً. اقرأ الوحدات لتعرف معدل أي كمية لديك، ثم فسر في السياق.

4.4

Introduction to Related Rates · ⁨مقدمة عن معدلات التغير المرتبطة⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-3): Derivatives allow us to solve real-world problems involving rates of change.

Learning Objective CHA-3.D: Calculate related rates in applied contexts.

CHA-3.D.1 The chain rule is the basis for differentiating variables in a related rates problem with respect to the same independent variable.
CHA-3.D.2 Other differentiation rules, such as the product rule and the quotient rule, may also be necessary to differentiate all variables with respect to the same independent variable.

العربية

فهم دائم (CHA-3): تسمح المشتقات لنا بحل مسائل العالم الحقيقي التي تتعلق بمعدلات التغير.

الهدف التعليمي CHA-3.D: حساب معدلات التغير المرتبطة في السياقات التطبيقية.

CHA-3.D.1 تُعد قاعدة السلسلة أساس اشتقاق المتغيرات في مسألة معدلات التغير المرتبطة بالنسبة لنفس المتغير المستقل.
CHA-3.D.2 قد تكون قواعد اشتقاق أخرى، مثل قاعدة الضرب وقاعدة القسمة، ضرورية أيضًا لاشتقاق جميع المتغيرات بالنسبة لنفس المتغير المستقل.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

In a related rates 相关变化率 problem, several quantities change together over time, and you know some rates but want another. The engine is the chain rule: differentiate a relationship with respect to time $t$. Every variable becomes a function of $t$, so each derivative picks up a "$\,/\,dt$" factor. Product and quotient rules may also be needed.

العربية

عربة تلال: معدلات مترابطة تربط كيف تتغير الكميات المرتبطة معًا — قطار التسلق: معدلات مترابطة تربط كيف تتغير الكميات المرتبطة معاً بسرعة

في مسألة معدلات التغير المرتبطة، تتغير عدة كميات معاً بمرور الوقت، وتعرف بعض المعدلات لكنك تريد أخرى. المحرك هو قاعدة السلسلة: اشتق علاقة بالنسبة للزمن $t$. كل متغير يصبح دالة في $t$، لذا يأخذ كل اشتقاق عامل "$\,/\,dt$". قد تكون قواعد الضرب والقسمة ضرورية أيضاً.

بالون صاعد: تربط معدلات التغير المرتبطة كيف يتغير نصف القطر والحجم والارتفاع معاً — بالون صاعد: تربط معدلات التغير المرتبط كيف يتغير نصف القطر والحجم والارتفاع معاً

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
related rates/rɪˈleɪtɪd reɪts/	المعدلات المرتبطة
local linearity/ˈləʊkl lɪˈnɪərɪti/	الخطية المحلية
linear approximation/ˈlɪnɪə əˌprɒksɪˈmeɪʃn/	تقريب خطي
concavity/kənˈkævɪti/	التقعر
underestimate/ˌʌndəˈrestɪmət/	تقدير منخفض
overestimate/ˌəʊvəˈrestɪmət/	تقدير مرتفع
indeterminate form/ˌɪndɪˈtɜːmɪnət fɔːm/	الصيغة غير المحددة
L'Hospital's Rule/ˈelhɒspɪtlz ruːl/	قاعدة لوبيتال

4.5

Solving Related Rates Problems · ⁨حل مسائل معدلات التغير المرتبطة⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-3): Derivatives allow us to solve real-world problems involving rates of change.

Learning Objective CHA-3.E: Interpret related rates in applied contexts.

CHA-3.E.1 The derivative can be used to solve related rates problems; that is, finding a rate at which one quantity is changing by relating it to other quantities whose rates of change are known.

العربية

فهم دائم (CHA-3): تسمح المشتقات لنا بحل مسائل العالم الحقيقي التي تتعلق بمعدلات التغير.

الهدف التعليمي CHA-3.E: تفسير معدلات التغير المرتبطة في السياقات التطبيقية.

CHA-3.E.1 يمكن استخدام المشتقة لحل مسائل معدلات التغير المرتبطة؛ أي إيجاد معدل يتغير به كمية معينة عن طريق ربطه بكميات أخرى تُعرف معدلات تغيرها.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

A reliable procedure – and a full-credit template on the exam:

Name the variables and write down the given rates and the unknown rate (e.g. "$\dfrac{dh}{dt}=-2$ cm/day, find $\dfrac{dV}{dt}$").
Write an equation relating the quantities (often a geometric or volume formula).
Differentiate both sides with respect to $t$ (chain rule) – before substituting numbers.
Substitute the known values at the instant of interest, and solve for the unknown rate.
State the answer with units and the correct sign (a decreasing quantity has a negative rate).

Substituting numbers too early is the classic error: differentiate the general relationship first, then plug in.

Worked example. A spherical balloon's volume grows at $\dfrac{dV}{dt}=100\ \text{cm}^3/\text{s}$. From $V=\tfrac43\pi r^3$, differentiate first: $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$. At $r=5$, $100=4\pi(25)\dfrac{dr}{dt}$, so $\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{1}{\pi}\approx0.32\ \text{cm/s}$.

العربية

إجراء موثوق – وقالب كامل للحصول على الدرجة الكاملة في الامتحان:

سمِّ المتغيرات واكتب المعدلات المعطاة والمعدل المجهول (مثل "$\dfrac{dh}{dt}=-2$ سم/يوم، أوجد $\dfrac{dV}{dt}$").
اكتب معادلة تربط الكميات (غالباً معادلة هندسية أو للحجم).
اشتق كلا الطرفين بالنسبة لـ $t$ (قاعدة السلسلة) – قبل التعويض بالأرقام.
التعويض بالقيم المعروفة عند اللحظة المعنية، وحل للمعدل المجهول.
عيّن الإجابة بـ وحدات وإشارة صحيحة (الكمية المتناقصة لها معدل سالب).

التعويض بالأرقام مبكراً هو الخطأ الكلاسيكي: اشتق العلاقة العامة أولاً، ثم عوض.

مثال محلول. يتزايد حجم بالون كروي بمعدل $\dfrac{dV}{dt}=100\ \text{cm}^3/\text{s}$. من $V=\tfrac43\pi r^3$، اشتق أولاً: $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$. عند $r=5$، $100=4\pi(25)\dfrac{dr}{dt}$، إذن $\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{1}{\pi}\approx0.32\ \text{cm/s}$.

بالون يتمدد يربط dV/dt و dr/dt عبر قاعدة السلسلة

4.6

Approximating Values Using Local Linearity and Linearization · ⁨تقريب القيم باستخدام الخطية المحلية والتحويل الخطي⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-3): Derivatives allow us to solve real-world problems involving rates of change.

Learning Objective CHA-3.F: Approximate a value on a curve using the equation of a tangent line.

CHA-3.F.1 The tangent line is the graph of a locally linear approximation of the function near the point of tangency.
CHA-3.F.2 For a tangent line approximation, the function's behavior near the point of tangency may determine whether a tangent line value is an underestimate or an overestimate of the corresponding function value.

العربية

فهم دائم (CHA-3): تسمح المشتقات لنا بحل مسائل العالم الحقيقي التي تتعلق بمعدلات التغير.

الهدف التعليمي CHA-3.F: تقريب قيمة على منحنى باستخدام معادلة المماس.

CHA-3.F.1 المماس هو تمثيل بياني لتقريب خطي محلي للدالة بالقرب من نقطة التماس.
CHA-3.F.2 بالنسبة لتقريب الخط المماس، قد يحدد سلوك الدالة بالقرب من نقطة التماس ما إذا كانت قيمة الخط المماس تمثل تقديراً أقل أو أعلى من القيمة المقابلة للدالة.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Local linearity and linearisation

Near a point of tangency, a smooth curve looks like its tangent line – this is local linearity 局部线性. So the tangent line gives a linear approximation 线性近似 (linearization) of the function near that point:

$$f(x) \approx L(x) = f(a) + f'(a)(x-a).$$

Use it to estimate $f$ at an $x$ close to $a$.

Over- or underestimate? The answer follows from concavity 凹凸性. If the graph is concave up near $a$ (it curves above its tangent), the tangent-line value is an underestimate 低估. If it is concave down, the tangent line lies above the curve, giving an overestimate 高估. Exam parts test this reasoning, so justify with the sign of $f''$.

العربية

الخطية المحلية والتقريب الخطي

قرب نقطة التماس، تبدو المنحنى الناعم وكأنه خط مماس له – هذا هو الخطية المحلية. لذلك يعطي خط المماس تقريباً خطياً (تقريباً خطياً) للدالة قرب تلك النقطة:

$$f(x) \approx L(x) = f(a) + f'(a)(x-a).$$

استخدمه لتقدير $f$ عند $x$ قريب من $a$.

تقدير زائد أو ناقص؟ يعتمد الجواب على التحدب. إذا كان المنحنى متحدباً للأعلى بالقرب من $a$ (ينحني فوق مماسه)، فإن قيمة المماس هي تقدير ناقص. وإذا كان متحدباً للأسفل، يقع المماس فوق المنحنى، مما يعطي تقدير زائد. تختبر أجزاء الامتحان هذا الاستنتاج، لذا برر بإشارة $f''$.

المماس هو تقريب خطي محلي؛ يحدد التحدب التقدير الزائد أو الناقص

Explore · ⁨استكشف⁩

Approximate a curve with its tangent line · ⁨تقريب منحنى بخط مماس له⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

Local linearity: near a point a smooth curve looks like its tangent line, so the tangent gives a good linear approximation of nearby values. · ⁨الخطية المحلية: بالقرب من نقطة ما، يبدو المنحنى السلس وكأنه خط مماس له، لذا يوفر المماس تقريباً خطياً جيداً للقيم القريبة.⁩

4.7

Using L'Hospital's Rule for Indeterminate Forms · ⁨استخدام قاعدة لوبيتاشل للأشكال غير المحددة⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-4): L'Hospital's Rule allows us to determine the limits of some indeterminate forms.

Learning Objective LIM-4.A: Determine limits of functions that result in indeterminate forms.

LIM-4.A.1 When the ratio of two functions tends to $\dfrac{0}{0}$ or $\dfrac{\infty}{\infty}$ in the limit, such forms are said to be indeterminate.
- Exclusion statement: There are many other indeterminate forms, such as $\infty - \infty$, for example, but these will not be assessed on either the AP Calculus AB or BC Exam. However, teachers may include these topics, if time permits.
LIM-4.A.2 Limits of the indeterminate forms $\dfrac{0}{0}$ or $\dfrac{\infty}{\infty}$ may be evaluated using L'Hospital's Rule.

العربية

الفهم الدائم (LIM-4): تسمح لنا قاعدة لوبيتال بتحديد نهايات بعض الأشكال غير المحددة.

هدف التعلم LIM-4.A: تحديد نهايات الدوال التي تؤدي إلى أشكال غير محددة.

LIM-4.A.1 عندما يميل النسبة بين دالتين إلى $\dfrac{0}{0}$ أو $\dfrac{\infty}{\infty}$ في النهاية، تُقال إن هذه الأشكال غير محددة.
- عبارة استبعاد: توجد العديد من الأشكال غير المحددة الأخرى، مثل $\infty - \infty$، على سبيل المثال، ولكن لن يتم تقييمها في امتحان AP Calculus AB أو BC. ومع ذلك، قد يتضمن المعلمون هذه المواضيع، إذا سمح الوقت بذلك.
LIM-4.A.2 يمكن تقييم نهايات الأشكال غير المحددة $\dfrac{0}{0}$ أو $\dfrac{\infty}{\infty}$ باستخدام قاعدة لوبيتال.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

When direct substitution in a quotient of limits gives the indeterminate form 未定式 $\dfrac{0}{0}$ or $\dfrac{\infty}{\infty}$, you may use L'Hospital's Rule 洛必达法则:

$$\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)},$$

provided the right-hand limit exists. Differentiate the top and bottom separately (this is not the quotient rule), then try the limit again. First confirm the form really is $\tfrac{0}{0}$ or $\tfrac{\infty}{\infty}$ – applying the rule to any other form is a mistake.

Worked example. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$ gives $\tfrac00$, so differentiate top and bottom: $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1}=1$. And $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x}$ is also $\tfrac00$; it becomes $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{2e^{2x}}{1}=2$.

العربية

عندما يعطي التعويض المباشر في حاصل قسمة حدود الشكل غير المحدد $\dfrac{0}{0}$ أو $\dfrac{\infty}{\infty}$، يمكنك استخدام قاعدة لوبيتال:

$$\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)},$$

بشرط أن يوجد الحد الأيمن. اشتق البسط والمقام بشكل منفصل (هذا ليس قاعدة القسمة)، ثم حاول الحد مرة أخرى. تأكد أولاً أن الشكل فعلاً $\tfrac{0}{0}$ أو $\tfrac{\infty}{\infty}$ – تطبيق القاعدة على أي شكل آخر هو خطأ.

مثال محلول. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$ يعطي $\tfrac00$، لذا اشتق البسط والمقام: $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1}=1$. و$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x}$ أيضاً $\tfrac00$؛ فيصبح $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{2e^{2x}}{1}=2$.

4.7

Exam tips · ⁨نصائح للامتحان⁩

English

In motion problems: velocity is the derivative of position, acceleration the derivative of velocity; speed increases when velocity and acceleration share a sign.
For related rates, differentiate the relating equation with respect to time, then substitute the given values last.
Use the tangent line for a linear approximation near a known point; it is accurate only close by.
Read the sign of a rate: positive means the quantities move together, negative means opposite.
Always state units and interpret the answer in context.

العربية

في مسائل الحركة: السرعة المتجهة هي مشتقة الموضع، والتسارع هو مشتقة السرعة؛ تزداد السرعة عندما تتشارك السرعة والتسارع إشارة.
بالنسبة لـ معدلات التغير المرتبطة، اشتق المعادلة المرتبطة بالنسبة لـ الزمن، ثم عوض بالقيم المعطاة في النهاية.
استخدم خط المماس لـ تقريب خطي قرب نقطة معروفة؛ إنه دقيق فقط بالقرب منها.
اقرأ إشارة المعدل: الموجب يعني أن الكميات تتحرك معاً، والسالب يعني عكس الاتجاه.
عيّن دائماً الوحدات وفسّر الإجابة في السياق.

Analytical Applications of Differentiation · ⁨التطبيقات التحليلية للاشتقاق⁩

Watch lesson · ⁨شاهد الدرس⁩

Open this topic on its own page · ⁨افتح هذا الموضوع في صفحة خاصة به⁩

5.1

Using the Mean Value Theorem

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-1): Existence theorems allow us to draw conclusions about a function's behavior on an interval without precisely locating that behavior.

Learning Objective FUN-1.B: Justify conclusions about functions by applying the Mean Value Theorem over an interval.

FUN-1.B.1 If a function $f$ is continuous over the interval $[a, b]$ and differentiable over the interval $(a, b)$, then the Mean Value Theorem guarantees a point within that open interval where the instantaneous rate of change equals the average rate of change over the interval.

العربية

الفهم الدائم (FUN-1): تسمح نظريات الوجود باستنتاجات حول سلوك الدالة على فترة دون تحديد موقع ذلك السلوك بدقة.

هدف التعلم FUN-1.B: تبرير الاستنتاجات حول الدوال عن طريق تطبيق نظرية القيمة المتوسطة على فترة.

FUN-1.B.1 إذا كانت الدالة $f$ متصلة على الفترة $[a, b]$ وقابلة للاشتقاق على الفترة $(a, b)$، فإن نظرية القيمة المتوسطة تضمن وجود نقطة داخل تلك الفترة المفتوحة حيث يساوي معدل التغير اللحظي معدل التغير المتوسط على الفترة.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

The Mean Value Theorem

The Mean Value Theorem 中值定理 (MVT) links the average rate of change to an instantaneous one:

If $f$ is continuous on $[a,b]$ and differentiable on $(a,b)$, then there is at least one point $c$ in $(a,b)$ where
$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

In words: somewhere inside the interval, the instantaneous rate equals the average rate. Geometrically, some tangent line is parallel to the line joining the endpoints.

The Mean Value Theorem: some tangent is parallel to the secant over the interval

Exam skill. Like the IVT, the MVT is an existence theorem, and questions ask you to justify. Full credit needs: (1) state $f$ is continuous on $[a,b]$ and differentiable on $(a,b)$; (2) compute the average rate $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$; (3) conclude "by the MVT there is a $c$ in $(a,b)$ with $f'(c)$ equal to that value." Both hypotheses must be named.

Worked example. For $f(x)=x^2$ on $[1,3]$ the average rate is $\dfrac{9-1}{2}=4$; setting $f'(c)=2c=4$ gives $c=2$, which lies in $(1,3)$ – the guaranteed point.

Explore · ⁨استكشف⁩

The Mean Value Theorem in action · ⁨تطبيق نظرية القيمة الوسطى⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

The Mean Value Theorem guarantees a point where the tangent is parallel to the secant across an interval — the instantaneous rate equals the average rate somewhere inside. · ⁨نظرية القيمة الوسطى تضمن وجود نقطة يكون فيها المماس موازياً للقطر القاطع عبر مجال — المعدل اللحظي يساوي المعدل المتوسط في مكان ما داخله.⁩

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
Mean Value Theorem/miːn ˈvæljuː ˈθɪərəm/	مبرهنة القيمة المتوسطة

5.2

Extreme Values, Global vs Local Extrema, and Critical Points

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-1): Existence theorems allow us to draw conclusions about a function's behavior on an interval without precisely locating that behavior.

Learning Objective FUN-1.C: Justify conclusions about functions by applying the Extreme Value Theorem.

FUN-1.C.1 If a function $f$ is continuous over the interval $(a, b)$, then the Extreme Value Theorem guarantees that $f$ has at least one minimum value and at least one maximum value on $[a, b]$.
FUN-1.C.2 A point on a function where the first derivative equals zero or fails to exist is a critical point of the function.
FUN-1.C.3 All local (relative) extrema occur at critical points of a function, though not all critical points are local extrema.

العربية

الفهم الدائم (FUN-1): تسمح نظريات الوجود باستنتاجات حول سلوك الدالة على فترة دون تحديد موقع ذلك السلوك بدقة.

هدف التعلم FUN-1.C: تبرير الاستنتاجات حول الدوال عن طريق تطبيق نظرية القيمة القصوى.

FUN-1.C.1 إذا كانت الدالة $f$ متصلة على الفترة $(a, b)$، فإن مبرهنة القيمة القصية تضمن أن $f$ لها قيمة صغرى واحدة على الأقل وقيمة عظمى واحدة على الأقل على $[a, b]$.
FUN-1.C.2 النقطة على دالة حيث تساوي المشتقة الأولى صفراً أو تفشل في الوجود هي نقطة حرجة للدالة.
FUN-1.C.3 جميع القيم القصوى المحلية (النسبية) تحدث عند النقاط الحرجة للدالة، على الرغم من أن ليس كل النقاط الحرجة هي قيم قصوى محلية.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

A mountain peak: extrema and critical points mark highest and lowest values

The Extreme Value Theorem 极值定理 (EVT) guarantees extremes exist: a function continuous on a closed interval $[a,b]$ attains both an absolute maximum and an absolute minimum on it.

At a maximum or minimum the derivative is zero

A critical point 临界点 is an interior point where $f'(x)=0$ or $f'(x)$ does not exist. All local (relative) extrema 局部极值 occur at critical points – but not every critical point is an extremum. So critical points are the candidates; you must test each.

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
Extreme Value Theorem/ekˈstriːm ˈvæljuː ˈθɪərəm/	مبرهنة القيمة القصوى
critical point/ˈkrɪtɪkl pɔɪnt/	نقطة حرجة
local (relative) extrema/ˈləʊkl ekˈstremə/	القيم القصوى المحلية (النسبية)

5.3

Where a Function Increases or Decreases

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.A: Justify conclusions about the behavior of a function based on the behavior of its derivatives.

FUN-4.A.1 The first derivative of a function can provide information about the function and its graph, including intervals where the function is increasing or decreasing.

العربية

الفهم الدائم (FUN-4): يمكن استخدام مشتقة الدالة لفهم بعض سلوك الدالة.

هدف التعلم FUN-4.A: تبرير الاستنتاجات حول سلوك الدالة بناءً على سلوك مشتقاتها.

FUN-4.A.1 يمكن للمشتقة الأولى للدالة توفير معلومات حول الدالة ومنحنىها، بما في ذلك الفترات التي تكون فيها الدالة متزايدة أو متناقصة.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

The first derivative tells you where $f$ rises or falls:

$f'(x) > 0$ on an interval $\Rightarrow$ $f$ is increasing 递增 there;
$f'(x) < 0$ $\Rightarrow$ $f$ is decreasing 递减.

On the exam, "find the intervals where $f$ is increasing" means: find the critical points, then test the sign of $f'$ between them, and justify with the sign of $f'$ (a stated reason, not just an interval).

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
increasing/ɪnˈkriːsɪŋ/	تزداد
decreasing/ˈdiːkriːsɪŋ/	تناقص

5.4

The First Derivative Test for Local Extrema

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.A: Justify conclusions about the behavior of a function based on the behavior of its derivatives.

FUN-4.A.2 The first derivative of a function can determine the location of relative (local) extrema of the function.

العربية

الفهم الدائم (FUN-4): يمكن استخدام مشتقة الدالة لفهم بعض سلوك الدالة.

هدف التعلم FUN-4.A: تبرير الاستنتاجات حول سلوك الدالة بناءً على سلوك مشتقاتها.

FUN-4.A.2 يمكن للمشتقة الأولى للدالة تحديد مواقع القيم القصوى المحلية (النسبية) للدالة.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

To classify a critical point $x=c$ as a local max, local min, or neither, check how $f'$ changes sign there:

$f'$ changes $+$ to $-$ at $c$ $\Rightarrow$ local maximum 极大值;
$f'$ changes $-$ to $+$ at $c$ $\Rightarrow$ local minimum 极小值;
$f'$ does not change sign $\Rightarrow$ neither.

Always state the sign change as your justification.

Worked example. For $f(x)=x^3-3x^2$, $f'(x)=3x(x-2)$ is zero at $x=0,2$. Signs give $+,-,+$, so $x=0$ is a local maximum ($f=0$) and $x=2$ a local minimum ($f=-4$).

The sign of f-prime sets where a function increases or decreases and locates its local extrema — Where $f' > 0$ the graph rises and where $f' < 0$ it falls; a local max sits where $f'$ turns $+$ to $-$, a local min where it turns $-$ to $+$.

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
local maximum/ˈləʊkl ˈmæksɪməm/	حد أقصى محلي
local minimum/ˈləʊkl ˈmɪnɪməm/	حد أدنى محلي

5.5

The Candidates Test for Absolute Extrema

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.A: Justify conclusions about the behavior of a function based on the behavior of its derivatives.

FUN-4.A.3 Absolute (global) extrema of a function on a closed interval can only occur at critical points or at endpoints.

العربية

الفهم الدائم (FUN-4): يمكن استخدام مشتقة الدالة لفهم بعض سلوك الدالة.

هدف التعلم FUN-4.A: تبرير الاستنتاجات حول سلوك الدالة بناءً على سلوك مشتقاتها.

FUN-4.A.3 القيم القصوى المطلقة (العالمية) للدالة على فترة مغلقة يمكن أن تحدث فقط عند النقاط الحرجة أو عند الأطراف.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

On a closed interval, absolute (global) extrema occur only at critical points or endpoints. The candidates test:

List all critical points in $[a,b]$ and the two endpoints.
Evaluate $f$ at each candidate.
The largest output is the absolute maximum; the smallest is the absolute minimum.

Show the table of values – the comparison is the argument.

5.6

Concavity and Points of Inflection

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.A: Justify conclusions about the behavior of a function based on the behavior of its derivatives.

FUN-4.A.4 The graph of a function is concave up (down) on an open interval if the function's derivative is increasing (decreasing) on that interval.
FUN-4.A.5 The second derivative of a function provides information about the function and its graph, including intervals of upward or downward concavity.
FUN-4.A.6 The second derivative of a function may be used to locate points of inflection for the graph of the original function.

العربية

الفهم الدائم (FUN-4): يمكن استخدام مشتقة الدالة لفهم بعض سلوك الدالة.

هدف التعلم FUN-4.A: تبرير الاستنتاجات حول سلوك الدالة بناءً على سلوك مشتقاتها.

FUN-4.A.4 يكون منحنى الدالة مقعراً لأعلى (لأسفل) على فترة مفتوحة إذا كانت مشتقة الدالة متزايدة (متناقصة) على تلك الفترة.
FUN-4.A.5 توفر المشتقة الثانية للدالة معلومات حول الدالة ومنحناها، بما في ذلك فترات التقعر لأعلى أو لأسفل.
FUN-4.A.6 يمكن استخدام المشتقة الثانية للدالة لتحديد نقاط الانعطاف لمنحنى الدالة الأصلية.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

The second derivative describes bending:

$f'' > 0$ $\Rightarrow$ $f$ is concave up 上凹 (curving like a cup; $f'$ is increasing);
$f'' < 0$ $\Rightarrow$ $f$ is concave down 下凹 ($f'$ is decreasing).

A point of inflection 拐点 is where concavity changes, i.e. where $f''$ changes sign (not merely where $f''=0$). Report its $x$-coordinate and justify with the sign change of $f''$.

Concavity comes from the sign of the second derivative; it flips at an inflection point

Explore · ⁨استكشف⁩

Find where concavity flips · ⁨إيجاد حيث تنعكس التقعر⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

Concavity is the sign of the second derivative: concave up where the curve holds water, concave down where it spills. A point of inflection is where it switches. · ⁨التقعر هو إشارة المشتقة الثانية: محدب للأعلى حيث يحفظ المنحنى الماء، ومحدب للأسفل حيث يسكبه. نقطة الانعطاف هي التي يتغير فيها التقعر.⁩

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
concave up/kɒnˈkeɪv ʌp/	محدب للأعلى
concave down/kɒnˈkeɪv daʊn/	محدب لأسفل
point of inflection/pɔɪnt ɒv ɪnˈflekʃn/	نقطة انعطاف

5.7

The Second Derivative Test for Extrema

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.A: Justify conclusions about the behavior of a function based on the behavior of its derivatives.

FUN-4.A.7 The second derivative of a function may determine whether a critical point is the location of a relative (local) maximum or minimum.
FUN-4.A.8 When a continuous function has only one critical point on an interval on its domain and the critical point corresponds to a relative (local) extremum of the function on the interval, then that critical point also corresponds to the absolute (global) extremum of the function on the interval.

العربية

الفهم الدائم (FUN-4): يمكن استخدام مشتقة الدالة لفهم بعض سلوك الدالة.

هدف التعلم FUN-4.A: تبرير الاستنتاجات حول سلوك الدالة بناءً على سلوك مشتقاتها.

FUN-4.A.7 قد تحدد المشتقة الثانية للدالة ما إذا كانت النقطة الحرجة موقعاً لقيمة قصوى محلية (نسبية) عظمى أو صغرى.
FUN-4.A.8 عندما تحتوي دالة متصلة على نقطة حرجة واحدة فقط على فترة من مجالها وتناظر تلك النقطة الحرجة قيمة قصوى محلية (نسبية) للدالة على الفترة، فإن تلك النقطة الحرجة تناظر أيضاً القيمة القصوى المطلقة (العالمية) للدالة على الفترة.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

An alternative way to classify a critical point $c$ where $f'(c)=0$:

$f''(c) > 0$ $\Rightarrow$ concave up $\Rightarrow$ local minimum;
$f''(c) < 0$ $\Rightarrow$ concave down $\Rightarrow$ local maximum;
$f''(c) = 0$ $\Rightarrow$ the test is inconclusive – fall back on the first derivative test.

Special case: if a continuous function has only one critical point on an interval and it is a local extremum, that point is also the absolute extremum there.

5.8

Sketching a Function and Its Derivative

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.A: Justify conclusions about the behavior of a function based on the behavior of its derivatives.

FUN-4.A.9 Key features of functions and their derivatives can be identified and related to their graphical, numerical, and analytical representations.
FUN-4.A.10 Graphical, numerical, and analytical information from $f'$ and $f''$ can be used to predict and explain the behavior of $f$.

العربية

الفهم الدائم (FUN-4): يمكن استخدام مشتقة الدالة لفهم بعض سلوك الدالة.

هدف التعلم FUN-4.A: تبرير الاستنتاجات حول سلوك الدالة بناءً على سلوك مشتقاتها.

FUN-4.A.9 يمكن تحديد الخصائص الرئيسية للدوال ومشتقاتها وربطها بتمثيلاتها البيانية والعددية والتحليلية.
FUN-4.A.10 يمكن استخدام المعلومات البيانية والعددية والتحليلية من $f'$ و $f''$ للتنبؤ بتصرف $f$ وشرحه.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

Key features of $f$, $f'$, and $f''$ mirror each other. To sketch or read graphs:

$f$ increasing $\Leftrightarrow$ $f'$ above the axis; $f$ has a local max $\Leftrightarrow$ $f'$ crosses from $+$ to $-$.
$f$ concave up $\Leftrightarrow$ $f'$ increasing $\Leftrightarrow$ $f''$ above the axis; $f$ has an inflection point $\Leftrightarrow$ $f'$ has a local extremum $\Leftrightarrow$ $f''$ crosses zero.

5.9

Connecting $f$, $f'$, and $f''$

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.A: Justify conclusions about the behavior of a function based on the behavior of its derivatives.

FUN-4.A.11 Key features of the graphs of $f$, $f'$, and $f''$ are related to one another.

العربية

الفهم الدائم (FUN-4): يمكن استخدام مشتقة الدالة لفهم بعض سلوك الدالة.

هدف التعلم FUN-4.A: تبرير الاستنتاجات حول سلوك الدالة بناءً على سلوك مشتقاتها.

FUN-4.A.11 ترتبط الخصائص الرئيسية لـ $f$، و$f'$، و$f''$ ببعضها البعض.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

This is the skill of reading one graph to describe another. A very common exam setup gives the graph of $f'$ and asks about $f$: where is $f$ increasing (where $f'>0$), where are $f$'s extrema (where $f'$ crosses zero, with a sign change), where is $f$ concave up (where $f'$ is increasing). Answer questions about $f$ using the height and slope of the $f'$ graph.

Explore · ⁨استكشف⁩

Read slope and bend off the graph · ⁨قراءة الميل والانحناء من الرسم البياني⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

Where $f'>0$ the function rises; where $f''>0$ it bends upward. Slide the tangent to connect the shape of $f$ to the signs of its first and second derivatives. · ⁨حيثما $f'>0$ تتزايد الدالة؛ حيثما $f''>0$ تنحني لأعلى. اسحب المماس لربط شكل $f$ بإشارات مشتقاتها الأولى والثانية.⁩

5.10

Introduction to Optimization Problems

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.B: Calculate minimum and maximum values in applied contexts or analysis of functions.

FUN-4.B.1 The derivative can be used to solve optimization problems; that is, finding a minimum or maximum value of a function on a given interval.

العربية

الفهم الدائم (FUN-4): يمكن استخدام مشتقة الدالة لفهم بعض سلوك الدالة.

هدف التعلم FUN-4.B: حساب القيم الصغرى والعلى في السياقات التطبيقية أو تحليل الدوال.

FUN-4.B.1 يمكن استخدام المشتقة لحل مسائل التحسين؛ أي إيجاد قيمة صغرى أو عظمى لدالة على فترة معينة.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

Optimisation: the best box

Optimization 最优化 uses the derivative to find the largest or smallest value of a quantity on an interval. It is the candidates/derivative-test machinery applied to a real goal.

Fenced enclosures: optimization finds the dimensions that maximise area for a fixed fence length

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
Optimization/ˌɒptɪmaɪˈzeɪʃn/	التحسين

5.11

Solving Optimization Problems

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.C: Interpret minimum and maximum values calculated in applied contexts.

FUN-4.C.1 Minimum and maximum values of a function take on specific meanings in applied contexts.

العربية

الفهم الدائم (FUN-4): يمكن استخدام مشتقة الدالة لفهم بعض سلوك الدالة.

هدف التعلم FUN-4.C: تفسير القيم الصغرى والعلى المحسوبة في السياقات التطبيقية.

FUN-4.C.1 للقيم الصغرى والعلى للدالة معاني محددة في السياقات التطبيقية.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

A dependable procedure:

Write the quantity to optimize as a function of one variable (use a constraint equation to eliminate extras).
State the interval of allowed inputs.
Find critical points ($f'=0$ or undefined) and test them (first- or second-derivative test, or candidates test if the interval is closed).
Answer the question asked, with units and interpretation in context – the maximum area, the minimum cost, etc.

Worked example. With $100\ \text{m}$ of fence for a rectangular pen against a wall (only three sides fenced), let the ends be $x$ and the far side $y=100-2x$. The area $A(x)=x(100-2x)=100x-2x^2$ has $A'(x)=100-4x=0$ at $x=25$; since $A''=-4<0$ this is the maximum, giving $y=50$ and $A=1250\ \text{m}^2$.

5.12

Exploring Behaviors of Implicit Relations

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.D: Determine critical points of implicit relations.

FUN-4.D.1 A point on an implicit relation where the first derivative equals zero or does not exist is a critical point of the function.

Learning Objective FUN-4.E: Justify conclusions about the behavior of an implicitly defined function based on evidence from its derivatives.

FUN-4.E.1 Applications of derivatives can be extended to implicitly defined functions.
FUN-4.E.2 Second derivatives involving implicit differentiation may be relations of $x$, $y$, and $\dfrac{dy}{dx}$.

العربية

الفهم الدائم (FUN-4): يمكن استخدام مشتقة الدالة لفهم بعض سلوك الدالة.

هدف التعلم FUN-4.D: تحديد النقاط الحرجة للعلاقات الضمنية.

FUN-4.D.1 النقطة على علاقة ضمنية حيث تساوي المشتقة الأولى صفراً أو لا توجد، هي نقطة حرجة للدالة.

هدف التعلم FUN-4.E: تبرير الاستنتاجات حول سلوك الدالة المعرفة ضمنياً بناءً على الأدلة من مشتقاتها.

FUN-4.E.1 يمكن توسيع تطبيقات المشتقات لتشمل الدوال المعرفة ضمنياً.
FUN-4.E.2 المشتقات الثانية التي تتضمن الاشتقاق الضمني قد تكون علاقات لـ $x$، $y$، و $\dfrac{dy}{dx}$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

All of this extends to implicitly defined relations. A critical point of an implicit relation is where $\dfrac{dy}{dx}=0$ (horizontal tangent) or is undefined (vertical tangent). Because $\dfrac{dy}{dx}$ is usually a relation in $x$ and $y$, and the second derivative involves $x$, $y$, and $\dfrac{dy}{dx}$, substitute your first-derivative expression back in when finding $\dfrac{d^2y}{dx^2}$, then reason about concavity from its sign.

5.12

Exam tips

$f'>0$ means increasing, $f'<0$ decreasing; candidates for extrema are where $f'=0$ or is undefined.
Classify a critical point with the first-derivative sign change or the second-derivative test ($f''>0$ minimum, $f''<0$ maximum).
$f''>0$ is concave up, $f''<0$ concave down; a point of inflection is where concavity changes ($f''$ changes sign).
For an absolute extremum on a closed interval, also check the endpoints.
Justify every conclusion by citing the sign of $f'$ or $f''$ — the exam demands the reasoning, not just the answer.

Integration and Accumulation of Change · ⁨التكامل وتراكم التغيير⁩

Watch lesson · ⁨شاهد الدرس⁩

Open this topic on its own page · ⁨افتح هذا الموضوع في صفحة خاصة به⁩

6.1

Exploring Accumulations of Change · ⁨استكشاف تراكم التغيير⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.A: Interpret the meaning of areas associated with the graph of a rate of change in context.

CHA-4.A.1 The area of the region between the graph of a rate of change function and the $x$ axis gives the accumulation of change.
CHA-4.A.2 In some cases, accumulation of change can be evaluated by using geometry.
CHA-4.A.3 If a rate of change is positive (negative) over an interval, then the accumulated change is positive (negative).
CHA-4.A.4 The unit for the area of a region defined by rate of change is the unit for the rate of change multiplied by the unit for the independent variable.

العربية

الفهم الدائم (CHA-4): التكاملات المحددة تتيح لنا حل المسائل المتعلقة بتراكم التغير على فترة.

هدف التعلم CHA-4.A: تفسير معنى المساحات المرتبطة بمنحنى معدل التغير في السياق.

CHA-4.A.1 مساحة المنطقة بين منحنى دالة معدل التغير ومحور $x$ تعطي تراكم التغير.
CHA-4.A.2 في بعض الحالات، يمكن حساب تراكم التغير باستخدام الهندسة.
CHA-4.A.3 إذا كان معدل التغير موجباً (سالباً) على فترة، فإن التغير المجمع يكون موجباً (سالباً).
CHA-4.A.4 وحدة قياس مساحة منطقة محددة بمعدل تغير هي وحدة معدل التغير مضروبة في وحدة المتغير المستقل.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Where a derivative measures a rate, an integral 积分 measures an accumulation 累积 – a total built up from a rate. If a rate of change acts over an interval, the area between its graph and the axis gives the net accumulated change. This "area = total change" idea is the foundation of integral calculus.

العربية

خزان ماء: التكامل يُراكم التغيير – الحجم الكلي من معدل التدفق

حيماقياس المشتقة معدلاً، يقيس التكامل تراكماً – إجمالاً مبنى من معدل. إذا عمل معدل تغير على فترة، فإن المساحة بين منحناه والمحور تعطي صافي التغير المتراكم. فكرة "المساحة = التغير الكلي" هي أساس حساب التفاضل والتكامل.

6.2

Approximating Areas with Riemann Sums · ⁨تقريب المساحات بجمع ريمان⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-5): Definite integrals can be approximated using geometric and numerical methods.

Learning Objective LIM-5.A: Approximate a definite integral using geometric and numerical methods.

LIM-5.A.1 Definite integrals can be approximated for functions that are represented graphically, numerically, analytically, and verbally.
LIM-5.A.2 Definite integrals can be approximated using a left Riemann sum, a right Riemann sum, a midpoint Riemann sum, or a trapezoidal sum; approximations can be computed using either uniform or nonuniform partitions.
LIM-5.A.3 Definite integrals can be approximated using numerical methods, with or without technology.
LIM-5.A.4 Depending on the behavior of a function, it may be possible to determine whether an approximation for a definite integral is an underestimate or overestimate for the value of the definite integral.

العربية

الفهم الدائم (LIM-5): يمكن تقريب التكاملات المحددة باستخدام طرق هندسية ورقمية.

هدف التعلم LIM-5.A: تقريب تكامل محدد باستخدام طرق هندسية ورقمية.

LIM-5.A.1 يمكن تقريب التكاملات المحددة للدوال التي يتم تمثيلها بيانياً، رقمياً، تحليلياً، ولفظياً.
LIM-5.A.2 يمكن تقريب التكاملات المحددة باستخدام مجموع ريمان الأيسر، أو مجموع ريمان الأيمن، أو مجموع ريمان النقطة الوسطى، أو مجموع شبه المنحرف؛ ويمكن حساب التقديرات باستخدام تقسيمات منتظمة أو غير منتظمة.
LIM-5.A.3 يمكن تقريب التكاملات المحددة باستخدام طرق رقمية، مع أو بدون استخدام التكنولوجيا.
LIM-5.A.4 اعتماداً على سلوك الدالة، قد يكون من الممكن تحديد ما إذا كان تقدير للتكامل المحدد هو低估 (تقدير منخفض جداً) أو overestimate (تقدير مرتفع جداً) للقيمة الفعلية للتكامل المحدد.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

The integral as area (Riemann sums)

Trapezoidal sums approximate area

A Riemann sum 黎曼和 estimates the area under a curve by adding the areas of thin rectangles. Split $[a,b]$ into subintervals and use the function's height at the left endpoint, right endpoint, or midpoint of each. A trapezoidal sum 梯形法 uses trapezoids instead, averaging the two endpoint heights – usually more accurate. With more, thinner rectangles the estimate improves.

Exam skill: be able to compute left, right, midpoint, and trapezoidal estimates from a table or graph, and state whether each over- or under-estimates based on whether the function is increasing/decreasing or concave up/down.

العربية

التكامل كمساحة (جمع ريمان)

مجموع الشذوذات يقارب المساحة

مجموع ريمان يقدر المساحة تحت المنحنى بجمع مساحات مستطيلات رفيعة. قسّم $[a,b]$ إلى فترات جزئية واستخدم ارتفاع الدالة عند نقطة النهاية اليمنى أو الوسطى لكل منها. مجموع شبه المنحرف يستخدم شبه منحرف بدلاً من ذلك، بمتوسط ارتفاعي نقطتي النهاية – عادة أكثر دقة. مع المزيد من المستطيلات الأرق يتحسن التقدير.

مجموع ريمان يقترب من المساحة تحت المنحنى بالمستطيلات

شرائح بعرض h تقترب من المساحة تحت المنحنى

مهارة امتحان: أن تكون قادراً على حساب تقديرات اليمين واليسار والوسط وشبه المنحرف من جدول أو رسم بياني، وإخبار ما إذا كان كل تقدير زائداً أو ناقصاً بناءً على ما إذا كانت الدالة متزايدة/متناقصة أو محدبة للأعلى/للأسفل.

Explore · ⁨استكشف⁩

Approximate area with rectangles · ⁨تقريب المساحة بالمستطيلات⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

A Riemann sum approximates the area under a curve with rectangles. Add more, thinner rectangles and the estimate converges to the exact definite integral. · ⁨مجموع ريمان يقارب المساحة تحت المنحنى باستخدام المستطيلات. أضف المزيد من المستطيلات الرقيقة وتتقارب التقديرات نحو التكامل المحدد الدقيق.⁩

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
Riemann sum/ˈriːmən sʌm/	مجموع ريمان
trapezoidal sum/ˈtræpɪzɔɪdl sʌm/	مجموع شبه المنحرف
definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/	تكامل محدد

6.3

Riemann Sums, Summation Notation, and Definite Integral Notation · ⁨مجاميع ريمان، رموز المجموع، وتعبير التكامل المحدد⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-5): Definite integrals can be approximated using geometric and numerical methods.

Learning Objective LIM-5.B: Interpret the limiting case of the Riemann sum as a definite integral.

LIM-5.B.1 The limit of an approximating Riemann sum can be interpreted as a definite integral.
LIM-5.B.2 A Riemann sum, which requires a partition of an interval $I$, is the sum of products, each of which is the value of the function at a point in a subinterval multiplied by the length of that subinterval of the partition.

Learning Objective LIM-5.C: Represent the limiting case of the Riemann sum as a definite integral.

LIM-5.C.1 The definite integral of a continuous function $f$ over the interval $[a, b]$, denoted by $\int_{a}^{b} f(x)\,dx$, is the limit of Riemann sums as the widths of the subintervals approach 0. That is, $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\Delta x_i$, where $n$ is the number of subintervals, $\Delta x_i$ is the width of the $i$th subinterval, and $x_i^*$ is a value in the $i$th subinterval.
LIM-5.C.2 A definite integral can be translated into the limit of a related Riemann sum, and the limit of a Riemann sum can be written as a definite integral.

العربية

الفهم الدائم (LIM-5): يمكن تقريب التكاملات المحددة باستخدام طرق هندسية ورقمية.

هدف التعلم LIM-5.B: تفسير الحالة الحدية لمجموع ريمان كتكامل محدد.

LIM-5.B.1 يمكن تفسير نهاية مجموع ريمان التقريبي كتكامل محدد.
LIM-5.B.2 مجموع ريمان، الذي يتطلب تقسيم فترة $I$، هو مجموع حاصل ضرب كل منها قيمة الدالة عند نقطة في فترة جزئية مضروبة في طول تلك الفترة الجزئية من التقسيم.

هدف التعلم LIM-5.C: تمثيل الحالة الحدية لمجموع ريمان كتكامل محدد.

LIM-5.C.1 التكامل المحدود لدالة مستمرة $f$ على الفترة $[a, b]$، والذي يُرمز له بـ $\int_{a}^{b} f(x)\,dx$، هو نهاية مجموع ريمان عندما تقترب أعرض الفروع الجزئية من 0. أي، $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\Delta x_i$، حيث $n$ هو عدد الفروع الجزئية، و$\Delta x_i$ هو عرض الفرع الجزئي رقم $i$، و$x_i^*$ هو قيمة داخل الفرع الجزئي رقم $i$.
LIM-5.C.2 يمكن ترجمة التكامل المحدد إلى نهاية مجموع رومان مرتبط به، ويمكن كتابة نهاية مجموع رومان كتكامل محدد.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Writing a Riemann sum with summation notation $\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x$ and letting the number of rectangles grow without bound gives the exact area – the definite integral 定积分:

$$\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x.$$

The integral is the limit of Riemann sums; $a$ and $b$ are the limits of integration.

العربية

كتابة مجموع ريمان بـ رمز المجموع $\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x$ والسماح لعدد المستطيلات بالنمو بلا حدود يعطي المساحة الدقيقة – وهي التكامل المحدد:

$$\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x.$$

التكامل هو نهاية مجاميع ريمان؛ $a$ و$b$ هما حدود التكامل.

6.4

The Fundamental Theorem of Calculus and Accumulation Functions · ⁨نظرية التفاضل والتكامل الأساسية ودوال التراكم⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-5): The Fundamental Theorem of Calculus connects differentiation and integration.

Learning Objective FUN-5.A: Represent accumulation functions using definite integrals.

FUN-5.A.1 The definite integral can be used to define new functions.
- Illustrative examples for FUN-5.A.1: $f(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2}\,dt$.
FUN-5.A.2 If $f$ is a continuous function on an interval containing $a$, then $\dfrac{d}{dx}\left( \int_{a}^{x} f(t)\,dt \right) = f(x)$, where $x$ is in the interval.

العربية

الفهم الدائم (FUN-5): تربط نظرية التفاضل والتكامل الأساسية بين الاشتقاق والتكامل.

هدف التعلم FUN-5.A: تمثيل دوال التراكم باستخدام التكاملات المحددة.

FUN-5.A.1 يمكن استخدام التكامل المحدد لتعريف دوال جديدة.
- أمثلة توضيحية لـ FUN-5.A.1: $f(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2}\,dt$.
FUN-5.A.2 إذا كانت $f$ دالة مستمرة على فترة تحتوي على $a$، فإن $\dfrac{d}{dx}\left( \int_{a}^{x} f(t)\,dt \right) = f(x)$، حيث $x$ تقع في الفترة.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

The Fundamental Theorem of Calculus

An accumulation function 累积函数 $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ gives the accumulated area from $a$ up to $x$. The Fundamental Theorem of Calculus (FTC) 微积分基本定理 says its derivative is the integrand:

$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x).$$

Differentiation and integration are inverse operations. With a variable upper limit and the chain rule, $\dfrac{d}{dx}\int_a^{u(x)} f(t)\,dt=f(u(x))\,u'(x)$.

العربية

النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل

دالة تراكم $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ تعطي المساحة المتراكمة من $a$ حتى $x$. ينص نظرية حساب التفاضل والتكامل الأساسية (FTC) على أن مشتقتها هي دالة التكامل:

$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x).$$

الاشتقاق والتكامل عمليتان عكسيتان. مع حد علوي متغير وقاعدة السلسلة، $\dfrac{d}{dx}\int_a^{u(x)} f(t)\,dt=f(u(x))\,u'(x)$.

دالة التراكم تضيف المساحة ذات الإشارة؛ تنص النظرية على أن مشتقتها هي f

Explore · ⁨استكشف⁩

Accumulate area as an integral · ⁨تراكم المساحة كتكامل⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

An accumulation function $\int_a^x f(t)\,dt$ builds up signed area as $x$ moves. The Fundamental Theorem says its derivative is just $f(x)$. · ⁨دالة التراكم $\int_a^x f(t)\,dt$ تبني مساحة موقعة كلما تحرك $x$. النظرية الأساسية تنص على أن مشتقتها هي ببساطة $f(x)$.⁩

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
accumulation/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn/	تجميع
accumulation function/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn ˈfʌŋkʃn/	دالة التراكم
Fundamental Theorem of Calculus (FTC)/ˌfʌndəˈmentl ˈθɪərəm ɒv ˈkælkjʊləs/	نظرية حساب التفاضل والتكامل الأساسية (FTC)
antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/	مشتق عكسي
indefinite integral/ɪnˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/	التكامل غير المحدد

6.5

Interpreting the Behavior of Accumulation Functions · ⁨تفسير سلوك دوال التراكم⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-5): The Fundamental Theorem of Calculus connects differentiation and integration.

Learning Objective FUN-5.A: Represent accumulation functions using definite integrals.

FUN-5.A.3 Graphical, numerical, analytical, and verbal representations of a function $f$ provide information about the function $g$ defined as $g(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$.

العربية

الفهم الدائم (FUN-5): تربط نظرية التفاضل والتكامل الأساسية بين الاشتقاق والتكامل.

هدف التعلم FUN-5.A: تمثيل دوال التراكم باستخدام التكاملات المحددة.

FUN-5.A.3 التمثيلات البيانية والرقمية والتحليلية واللفظية للدالة $f$ توفر معلومات عن الدالة $g$ المعرفة كـ $g(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Because $g'(x)=f(x)$, the graph of $f$ tells you everything about $g$: $g$ increases where $f>0$, decreases where $f<0$, has extrema where $f$ crosses zero, and is concave up where $f$ is increasing. Reading these connections off a graph of $f$ is a classic free-response task.

العربية

بما أن $g'(x)=f(x)$، يخبرك منحنى $f$ بكل شيء عن $g$: $g$ يزداد حيث $f>0$، يتناقص حيث $f<0$، له أقصائيات حيث $f$ يقطع الصفر، وهو متحدب للأعلى حيث $f$ متزايد. قراءة هذه الروابط من رسم بياني لـ $f$ مهمة كلاسيكية ذات إجابة حرة.

6.6

Applying Properties of Definite Integrals · ⁨تطبيق خصائص التكاملات المحددة⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.A: Calculate a definite integral using areas and properties of definite integrals.

FUN-6.A.1 In some cases, a definite integral can be evaluated by using geometry and the connection between the definite integral and area.
FUN-6.A.2 Properties of definite integrals include the integral of a constant times a function, the integral of the sum of two functions, reversal of limits of integration, and the integral of a function over adjacent intervals.
FUN-6.A.3 The definition of the definite integral may be extended to functions with removable or jump discontinuities.

العربية

الفهم الدائم (FUN-6): إدراك الفرص لتطبيق معرفة الهندسة والقواعد الرياضية يمكن أن يبسط عملية التكامل.

هدف التعلم FUN-6.A: حساب تكامل محدد باستخدام المساحات وخصائص التكاملات المحددة.

FUN-6.A.1 في بعض الحالات، يمكن تقييم التكامل المحدد باستخدام الهندسة والارتباط بين التكامل المحدد والمساحة.
FUN-6.A.2 تشمل خصائص التكاملات المحددة: تكامل ثابت مضروباً في دالة، وتكامل مجموع دالتين، وعكس حدود التكامل، وتكامل دالة على فترات مجاورة.
FUN-6.A.3 يمكن توسيع تعريف التكامل المحدد للدوال ذات الانقطاعات القابلة للإزالة أو القفز.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Definite integrals obey useful rules: reversing the limits negates the value ($\int_b^a=-\int_a^b$), an integral over a zero-width interval is $0$, they add over adjacent intervals ($\int_a^c=\int_a^b+\int_b^c$), and constants factor out. Use these to combine or split given integral values.

العربية

التكاملات المحددة تخضع لقواعد مفيدة: عكس الحدود يلغي القيمة ($\int_b^a=-\int_a^b$)، تكامل على فترة صفرية العرض هو $0$، تُضاف على فترات متجاورة ($\int_a^c=\int_a^b+\int_b^c$)، والثوابت تخرج كعامل مشترك. استخدم هذه لدمج أو فصل قيم التكامل المعطاة.

6.7

The Fundamental Theorem of Calculus and Definite Integrals · ⁨نظرية حساب التفاضل والتكامل الأساسية والتكاملات المحددة⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.B: Evaluate definite integrals analytically using the Fundamental Theorem of Calculus.

FUN-6.B.1 An antiderivative of a function $f$ is a function $g$ whose derivative is $f$.
FUN-6.B.2 If a function $f$ is continuous on an interval containing $a$, the function defined by $F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$ is an antiderivative of $f$ for $x$ in the interval.
FUN-6.B.3 If $f$ is continuous on the interval $[a, b]$ and $F$ is an antiderivative of $f$, then $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.

العربية

الفهم الدائم (FUN-6): إدراك الفرص لتطبيق معرفة الهندسة والقواعد الرياضية يمكن أن يبسط عملية التكامل.

هدف التعلم FUN-6.B: تقييم التكاملات المحددة تحليلاً باستخدام نظرية التفاضل والتكامل الأساسية.

FUN-6.B.1 الدالة العكسية للاشتقاق (Antiderivative) للدالة $f$ هي دالة $g$ يكون اشتقاقها $f$.
FUN-6.B.2 إذا كانت الدالة $f$ متصلة على فترة تحتوي على $a$، فإن الدالة المعرّفة بـ $F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$ تمثل دالة عكسية للاشتقاق لـ $f$ لكل $x$ في الفترة.
FUN-6.B.3 إذا كانت $f$ متصلة على الفترة $[a, b]$ وكانت $F$ دالة عكسية للاشتقاق لـ $f$، فإن $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

The evaluation form of the FTC computes a definite integral from an antiderivative 原函数 $F$ (where $F'=f$):

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

So integrating a rate of change over $[a,b]$ gives the net change in the quantity – the single most-used result in the course.

Worked example. $\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,dx$: an antiderivative is $F(x)=x^2+x$, so the value is $F(3)-F(1)=12-2=10$.

العربية

صيغة التقييم لنظرية حساب التفاضل والتكاملة الأساسية تحسب تكاملاً محدداً من مشتقة عكسية $F$ (حيث $F'=f$):

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

إذن تكامل معدل تغير على $[a,b]$ يعطي الصافي في الكمية – النتيجة الأكثر استخداماً في المقرر.

مثال محلول. $\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,dx$: مشتقة عكسية هي $F(x)=x^2+x$، لذا القيمة هي $F(3)-F(1)=12-2=10$.

تكامل محدود هو المساحة الموقعة بين المنحنى ومحور x

6.8

Finding Antiderivatives and Indefinite Integrals · ⁨إيجاد المشتقات العكسية والتكاملات غير المحددة⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.C: Determine antiderivatives of functions and indefinite integrals, using knowledge of derivatives.

FUN-6.C.1 $\int f(x)\,dx$ is an indefinite integral of the function $f$ and can be expressed as $\int f(x)\,dx = F(x) + C$, where $F'(x) = f(x)$ and $C$ is any constant.
FUN-6.C.2 Differentiation rules provide the foundation for finding antiderivatives.
FUN-6.C.3 Many functions do not have closed-form antiderivatives.

العربية

الفهم الدائم (FUN-6): إدراك الفرص لتطبيق معرفة الهندسة والقواعد الرياضية يمكن أن يبسط عملية التكامل.

هدف التعلم FUN-6.C: تحديد الدوال العكسية للاشتقاق والتكاملات غير المحددة باستخدام معرفة الاشتقاقات.

FUN-6.C.1 $\int f(x)\,dx$ هو تكامل غير محدد للدالة $f$ ويمكن التعبير عنه كـ $\int f(x)\,dx = F(x) + C$، حيث $F'(x) = f(x)$ و $C$ أي ثابت.
FUN-6.C.2 قواعد الاشتقاق توفر الأساس لإيجاد الدوال العكسية للاشتقاق.
FUN-6.C.3 لا تملك العديد من الدوال دوالاً عكسية للاشتقاق بصيغة مغلقة.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

An indefinite integral 不定积分 $\int f(x)\,dx=F(x)+C$ is the family of all antiderivatives (hence the constant of integration $C$). Reverse each derivative rule: the power rule becomes $\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ (for $n\neq-1$), with $\int \frac1x\,dx=\ln|x|+C$, and the antiderivatives of $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, and $\sec^2 x$ come straight from their derivatives.

العربية

التكامل غير المحدد $\int f(x)\,dx=F(x)+C$ هو عائلة جميع المشتقات العكسية (ولهذا ثابت التكامل $C$). عكس كل قاعدة اشتقاق: قاعدة القوة تصبح $\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ (لـ $n\neq-1$)، مع $\int \frac1x\,dx=\ln|x|+C$، ومشتقات عكسية لـ $e^x$، $\sin x$، $\cos x$، و$\sec^2 x$ تأتي مباشرة من مشتقاتها.

6.9

Integrating Using Substitution · ⁨التكامل بالتعويض⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.D: For integrands requiring substitution or rearrangements into equivalent forms: (a) Determine indefinite integrals. (b) Evaluate definite integrals.

FUN-6.D.1 Substitution of variables is a technique for finding antiderivatives.
FUN-6.D.2 For a definite integral, substitution of variables requires corresponding changes to the limits of integration.

العربية

الفهم الدائم (FUN-6): إدراك الفرص لتطبيق معرفة الهندسة والقواعد الرياضية يمكن أن يبسط عملية التكامل.

هدف التعلم FUN-6.D: بالنسبة للمكاملات التي تتطلب تعويضاً أو إعادة ترتيباً إلى صيغ مكافئة: (أ) تحديد التكاملات غير المحددة. (ب) تقييم التكاملات المحددة.

FUN-6.D.1 تعويض المتغيرات هو تقنية لإيجاد الدوال العكسية للاشتقاق.
FUN-6.D.2 بالنسبة للتكامل المحدد، يتطلب تعويض المتغيرات تغييرات مقابلة في حدود التكامل.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

u-substitution 换元积分 reverses the chain rule: choose $u=g(x)$ so that $g'(x)$ also appears, turning $\int f(g(x))g'(x)\,dx$ into $\int f(u)\,du$. Remember to convert $dx$ to $du$ and, for a definite integral, either change the limits to $u$-values or convert back to $x$ at the end.

العربية

التعويض (u-substitution) يعكس قاعدة السلسلة: اختر $u=g(x)$ بحيث يظهر $g'(x)$ أيضًا، مما يحول $\int f(g(x))g'(x)\,dx$ إلى $\int f(u)\,du$. تذكر تحويل $dx$ إلى $du$، وفي حالة التكامل المحدد، قم إما بتغيير الحدود إلى قيم $u$ أو أعد التحويل إلى $x$ في النهاية.

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
u-substitution/juː ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/	تعويض u
Integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/	التكامل بالتجزئة
Partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/	الكسور الجزئية

6.10

Integrating Using Long Division and Completing the Square · ⁨التكامل باستخدام القسمة الطويلة وإكمال المربع⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.D: For integrands requiring substitution or rearrangements into equivalent forms: (a) Determine indefinite integrals. (b) Evaluate definite integrals.

FUN-6.D.3 Techniques for finding antiderivatives include rearrangements into equivalent forms, such as long division and completing the square.

العربية

الفهم الدائم (FUN-6): إدراك الفرص لتطبيق معرفة الهندسة والقواعد الرياضية يمكن أن يبسط عملية التكامل.

FUN-6.D.3 تقنيات إيجاد المشتقات العكسية تشمل إعادة الترتيب إلى أشكال مكافئة، مثل القسمة المطولة وإكمال المربع.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

When a rational integrand is "top-heavy" (numerator degree $\ge$ denominator degree), long division rewrites it as a polynomial plus a proper fraction you can integrate. Completing the square in a denominator turns it into a form like $u^2+a^2$, leading to an arctangent antiderivative $\frac1a\arctan\frac{u}{a}+C$.

العربية

عندما يكون دالة التكامل الكسرية "ثقيلة من الأعلى" (درجة البسط $\ge$ درجة المقام)، فإن القسمة الطويلة تعيد كتابتها كمجموع كثير حدود وكسر صحيح يمكن تكامله. إكمال المربع في المقام يحوله إلى شكل مثل $u^2+a^2$، مما يؤدي إلى تكامل عكسي للظل (arctangent) $\frac1a\arctan\frac{u}{a}+C$.

6.11

Integrating Using Integration by Parts · ⁨التكامل باستخدام التكامل بالتجزئة⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.E: For integrands requiring integration by parts: (a) Determine indefinite integrals. BC ONLY (b) Evaluate definite integrals. BC ONLY

FUN-6.E.1 Integration by parts is a technique for finding antiderivatives. BC ONLY

العربية

الفهم الدائم (FUN-6): إدراك الفرص لتطبيق معرفة الهندسة والقواعد الرياضية يمكن أن يبسط عملية التكامل.

هدف التعلم FUN-6.E: بالنسبة للمكاملات التي تتطلب التكامل بالتجزئة: (أ) تحديد التكاملات غير المحددة. BC فقط (ب) تقييم التكاملات المحددة. BC فقط

FUN-6.E.1 التكامل بالتجزئة هو تقنية لإيجاد المشتقات العكسية. BC فقط

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Integration by parts 分部积分 reverses the product rule:

$$\int u\,dv = uv-\int v\,du.$$

Choose $u$ to simplify when differentiated and $dv$ to be easy to integrate (the LIATE guide: logs, inverse-trig, algebraic, trig, exponential). It handles products like $\int x e^x\,dx$ and $\int x\ln x\,dx$, sometimes applied twice.

Worked example. For $\int x e^x\,dx$, choose $u=x$ ($du=dx$) and $dv=e^x\,dx$ ($v=e^x$):

$$\int x e^x\,dx = x e^x-\int e^x\,dx = x e^x - e^x + C = e^x(x-1)+C.$$

العربية

التكامل بالتجزئة يعكس قاعدة الضرب:

$$\int u\,dv = uv-\int v\,du.$$

اختر $u$ لتبسيطها عند الاشتقاق و $dv$ لتكون سهلة التكامل (دليل LIATE: اللوغاريتمات، الدوال المثلثية العكسية، الجبرية، المثلثية، الأسية). يتعامل مع ضربيات مثل $\int x e^x\,dx$ و $\int x\ln x\,dx$، وقد يُطبق أحيانًا مرتين.

مثال محلول. بالنسبة لـ $\int x e^x\,dx$، اختر $u=x$ ($du=dx$) و $dv=e^x\,dx$ ($v=e^x$):

$$\int x e^x\,dx = x e^x-\int e^x\,dx = x e^x - e^x + C = e^x(x-1)+C.$$

6.12

Integrating Using Linear Partial Fractions · ⁨التكامل باستخدام الكسور الجزئية الخطية⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.F: For integrands requiring integration by linear partial fractions: (a) Determine indefinite integrals. BC ONLY (b) Evaluate definite integrals. BC ONLY

FUN-6.F.1 Some rational functions can be decomposed into sums of ratios of linear, nonrepeating factors to which basic integration techniques can be applied. BC ONLY

العربية

الفهم الدائم (FUN-6): إدراك الفرص لتطبيق معرفة الهندسة والقواعد الرياضية يمكن أن يبسط عملية التكامل.

هدف التعلم FUN-6.F: بالنسبة للمكاملات التي تتطلب التكامل بالكسور الجزئية الخطية: (أ) تحديد التكاملات غير المحددة. BC فقط (ب) تقييم التكاملات المحددة. BC فقط

FUN-6.F.1 يمكن تحليل بعض الدوال الكسرية إلى مجاميع لنسوات عوامل خطية غير مكررة يمكن تطبيق تقنيات التكامل الأساسية عليها. BC فقط

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Partial fractions 部分分式 split a rational function with a factorable denominator into a sum of simpler fractions:

$$\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b},$$

each of which integrates to a logarithm. This technique is essential for the logistic differential equation in the next unit.

العربية

الكسور الجزئية تقسم دالة كسرية ذات مقام قابل للتحليل إلى مجموع كسور أبسط:

$$\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b},$$

كل منها يتكامل إلى لوغاريتم. هذه التقنية ضرورية للمعادلة التفاضلية اللوجستية في الوحدة التالية.

6.13

Evaluating Improper Integrals · ⁨حساب التكاملات غير المنتظمة⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-6): The use of limits allows us to show that the areas of unbounded regions may be finite.

Learning Objective LIM-6.A: Evaluate an improper integral or determine that the integral diverges. BC ONLY

LIM-6.A.1 An improper integral is an integral that has one or both limits infinite or has an integrand that is unbounded in the interval of integration. BC ONLY
LIM-6.A.2 Improper integrals can be determined using limits of definite integrals. BC ONLY

العربية

فهم دائم (LIM-6): يسمح استخدام النهايات لنا بإثبات أن مساحات المناطق غير المحدودة قد تكون محدودة.

هدف التعلم LIM-6.A: تقييم تكامل غير صحيح أو تحديد أن التكامل يتباعد. BC فقط

LIM-6.A.1 التكامل غير المنطوق هو تكامل له حد أو كلا الحدين لا نهائي، أو يكون الدالة المُكاملة غير محدودة في فترة التكامل. BC فقط
LIM-6.A.2 يمكن حساب التكاملات غير المنطوقة باستخدام حدود التكاملات المحددة. BC فقط

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Improper integrals: converge or diverge

An improper integral 反常积分 has an infinite limit of integration or an infinite discontinuity in the integrand. Evaluate it as a limit: $\int_a^\infty f\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f\,dx$. If the limit is a finite number the integral converges 收敛; otherwise it diverges 发散.

Worked example. $\displaystyle\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^b=\lim_{b\to\infty}\left(1-\frac1b\right)=1$, so it converges to $1$. By contrast $\int_1^\infty \frac1x\,dx$ gives $\lim_{b\to\infty}\ln b=\infty$ and diverges – the same integrand-shape can go either way.

العربية

التكاملات غير المنتظمة: تتقارب أو تتباعد

التكامل غير المنتظم له حدود تكامل لا نهائية أو انقطاع لا نهائي في دالة التكامل. احسبه كـ نهاية: $\int_a^\infty f\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f\,dx$. إذا كانت النهاية عددًا محدودًا، فإن التكامل يتقارب؛ وإلا فهو يتباعد.

مثال محلول. $\displaystyle\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^b=\lim_{b\to\infty}\left(1-\frac1b\right)=1$، لذا فهو يتقارب إلى $1$. بالمقابل، $\int_1^\infty \frac1x\,dx$ يعطي $\lim_{b\to\infty}\ln b=\infty$ ويتباعد – نفس شكل دالة التكامل قد يسير في أي من الاتجاهين.

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
integral/ˈɪntɪɡrəl/	التكامل
improper integral/ɪmˈprɒpə ˈɪntɪɡrəl/	التكامل غير الصحيح
converges/kənˈvɜːdʒɪz/	تتقارب
diverges/daɪˈvɜːdʒɪz/	تتباعد

6.14

Selecting Techniques for Antidifferentiation · ⁨اختيار التقنيات للاشتقاق العكسي⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

This topic is intended to focus on the skill of selecting an appropriate procedure for antidifferentiation. Students should be given opportunities to practice when and how to apply all learning objectives relating to antidifferentiation.

العربية

هذا الموضوع موجه للتركيز على مهارة اختيار إجراء مناسب للاشتقاق العكسي. يجب إعطاء الطلاب فرصاً للتدريب على متى وكيف تطبيق جميع أهداف التعلم المتعلقة بالاشتقاق العكسي.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

The BC exam expects you to recognize which method fits: basic rules, substitution (a chain-rule pattern), by parts (a product), partial fractions (a factorable rational), or long division/completing the square. Being able to look at an integral and pick the right tool quickly is itself a tested skill.

العربية

يتوقع امتحان BC أن تتعرف على الطريقة المناسبة: القواعد الأساسية، التعويض (نمط قاعدة السلسلة)، بالتجزئة (ضرب)، الكسور الجزئية (كسر قابل للتحليل)، أو القسمة الطويلة/إكمال المربع. القدرة على النظر إلى تكامل واختيار الأداة الصحيحة بسرعة هي مهارة يتم اختبارها بحد ذاتها.

6.14

Exam tips · ⁨نصائح للامتحان⁩

English

Integration is antidifferentiation; use the power rule $\int x^n\,dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ and don't forget the $+C$.
The Fundamental Theorem links the two: $\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$, and $\tfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$.
Approximate a definite integral with Riemann sums or the trapezoidal rule from a table of values.
A definite integral is a signed area (below the axis counts negative); split at sign changes for total area.
Use u-substitution and remember to change the limits (or back-substitute) accordingly.

العربية

التكامل هو اشتقاق عكسي؛ استخدم قاعدة القوة $\int x^n\,dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ ولا تنسَ الـ $+C$.
النظرية الأساسية تربط الاثنين: $\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$، و$\tfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$.
قدّر تكاملاً محدداً باستخدام مجمعات ريمان أو قاعدة شبه المنحرف من جدول قيم.
التكامل المحدود هو مساحة موقعة (تحت المحور يُحسب سالباً)؛ قسّم عند تغيرات الإشارة للحصول على المساحة الكلية.
استخدم تعويض u-Remember وتذكر تغيير الحدود (أو التعويض العكسي) وفقاً لذلك.

Differential Equations · ⁨المعادلات التفاضلية⁩

Watch lesson · ⁨شاهد الدرس⁩

Open this topic on its own page · ⁨افتح هذا الموضوع في صفحة خاصة به⁩

7.1

Modeling Situations with Differential Equations

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.A: Interpret verbal statements of problems as differential equations involving a derivative expression.

FUN-7.A.1 Differential equations relate a function of an independent variable and the function's derivatives.

العربية

الفهم الدائم (FUN-7): حل المعادلات التفاضلية يتيح لنا تحديد الدلات وتطوير النماذج.

هدف التعلم FUN-7.A: تفسير العبارات اللفظية للمسائل كمعادلات تفاضلية تتضمن تعبير اشتقاقي.

FUN-7.A.1 تربط المعادلات التفاضلية بين دالة لمتغير مستقل ومشتقات تلك الدالة.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

A differential equation 微分方程 relates a function to its derivatives. Many real situations are described by a rate: "the population grows at a rate proportional to its size" becomes $\dfrac{dP}{dt}=kP$. Setting up the equation from a verbal description – identifying what changes and what it is proportional to – is the first skill.

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/	معادلة تفاضلية

7.2

Verifying Solutions for Differential Equations

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.B: Verify solutions to differential equations.

FUN-7.B.1 Derivatives can be used to verify that a function is a solution to a given differential equation.
FUN-7.B.2 There may be infinitely many general solutions to a differential equation.

العربية

الفهم الدائم (FUN-7): حل المعادلات التفاضلية يتيح لنا تحديد الدلات وتطوير النماذج.

هدف التعلم FUN-7.B: التحقق من حلول المعادلات التفاضلية.

FUN-7.B.1 يمكن استخدام المشتقات للتحقق من أن الدالة هي حل لمعادلة تفاضلية معينة.
FUN-7.B.2 قد تكون هناك عدد لا حصر له من الحلول العامة للمعادلة التفاضلية.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

A solution is a function that satisfies the equation. To verify a proposed solution, differentiate it and substitute into the equation, checking that both sides agree. A general solution contains a constant $C$; a particular solution fixes $C$ from a condition.

7.3

Sketching Slope Fields

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.C: Estimate solutions to differential equations.

FUN-7.C.1 A slope field is a graphical representation of a differential equation on a finite set of points in the plane.
FUN-7.C.2 Slope fields provide information about the behavior of solutions to first-order differential equations.

العربية

الفهم الدائم (FUN-7): حل المعادلات التفاضلية يتيح لنا تحديد الدلات وتطوير النماذج.

هدف التعلم FUN-7.C: تقدير حلول المعادلات التفاضلية.

FUN-7.C.1 حقل الميل هو تمثيل بياني للمعادلة التفاضلية على مجموعة محدودة من النقاط في المستوى.
FUN-7.C.2 توفر حقول الميل معلومات حول سلوك حلول المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

Slope fields & solution curves

A slope field 斜率场 draws a short line segment at many points, each with the slope $\dfrac{dy}{dx}$ the equation gives there. It pictures the family of solution curves without solving. To sketch one, evaluate the right-hand side at each grid point and draw a segment of that slope.

A slope field shows the gradient everywhere; solution curves follow it

Explore · ⁨استكشف⁩

Read a differential equation as a slope field · ⁨قراءة المعادلة التفاضلية كمجال للميل⁩

A slope field draws the slope $dy/dx$ at each point. A solution curve threads through, always tangent to the little segments — you can sketch it by following the flow. · ⁨مجال الميل يرسم الميل $dy/dx$ عند كل نقطة. تمر منحنى الحل عبره، دائماً مماساً للأجزاء الصغيرة — يمكنك رسمه باتباع التدفق.⁩

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
slope field/sləʊp fiːld/	مجال الميل

7.4

Reasoning Using Slope Fields

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.C: Estimate solutions to differential equations.

FUN-7.C.3 Solutions to differential equations are functions or families of functions.

العربية

الفهم الدائم (FUN-7): حل المعادلات التفاضلية يتيح لنا تحديد الدلات وتطوير النماذج.

هدف التعلم FUN-7.C: تقدير حلول المعادلات التفاضلية.

FUN-7.C.3 حلول المعادلات التفاضلية هي دوال أو عائلات من الدوال.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

A solution curve follows the segments like a boat following a current. From a slope field you can sketch the particular solution through a given point, describe long-run behavior, and locate where solutions level off (slopes near zero) – reasoning about solutions purely from the picture.

7.5

Approximating Solutions Using Euler's Method

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.C: Estimate solutions to differential equations.

FUN-7.C.4 Euler's method provides a procedure for approximating a solution to a differential equation or a point on a solution curve. BC ONLY

العربية

الفهم الدائم (FUN-7): حل المعادلات التفاضلية يتيح لنا تحديد الدلات وتطوير النماذج.

هدف التعلم FUN-7.C: تقدير حلول المعادلات التفاضلية.

FUN-7.C.4 توفر طريقة أويلر إجراءً لتقريب حل لمعادلة تفاضلية أو نقطة على منحنى الحل. BC فقط

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

Euler's method

Euler's method 欧拉方法 approximates a solution numerically by stepping along the slope field. Starting from a known point, take a small step $\Delta x$ and update:

$$y_{\text{new}}=y_{\text{old}}+\frac{dy}{dx}\cdot\Delta x.$$

Repeat for each step. Smaller steps give a better approximation. (This is a BC-only technique.)

Exam skill: be able to carry out two or three Euler steps by hand from a table, and know that Euler's method under- or over-estimates depending on the solution's concavity.

Worked example. Approximate $y(1)$ for $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$, with step $\Delta x=0.5$. Step 1: slope at $(0,1)$ is $0+1=1$, so $y(0.5)\approx 1+1(0.5)=1.5$. Step 2: slope at $(0.5,1.5)$ is $0.5+1.5=2$, so $y(1)\approx 1.5+2(0.5)=2.5$.

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
Euler's method/ˈɔɪləz ˈmeθəd/	طريقة أويلر

7.6

Finding General Solutions Using Separation of Variables

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.D: Determine general solutions to differential equations.

FUN-7.D.1 Some differential equations can be solved by separation of variables.
FUN-7.D.2 Antidifferentiation can be used to find general solutions to differential equations.

العربية

الفهم الدائم (FUN-7): حل المعادلات التفاضلية يتيح لنا تحديد الدلات وتطوير النماذج.

هدف التعلم FUN-7.D: تحديد الحلول العامة للمعادلات التفاضلية.

FUN-7.D.1 يمكن حل بعض المعادلات التفاضلية عن طريق فصل المتغيرات.
FUN-7.D.2 يمكن استخدام التكامل العكسي لإيجاد الحلول العامة للمعادلات التفاضلية.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

E. coli under a microscope: differential equations model exponential growth

A separable 可分离 differential equation can be written with all the $y$'s on one side and all the $x$'s on the other, then integrated:

$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)\ \Rightarrow\ \int\frac{dy}{h(y)}=\int g(x)\,dx.$$

This produces the general solution (with a $+C$), the main analytic method for solving differential equations in this course.

Worked example. Solve $\dfrac{dy}{dx}=xy$ with $y(0)=2$. Separating, $\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx$ gives $\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C$, so $y=Ae^{x^2/2}$. The condition $y(0)=2$ gives $A=2$, so $y=2e^{x^2/2}$.

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
separable/ˈsepərəbl/	قابل للفصل

7.7

Finding Particular Solutions Using Initial Conditions

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.E: Determine particular solutions to differential equations.

FUN-7.E.1 A general solution may describe infinitely many solutions to a differential equation. There is only one particular solution passing through a given point.
FUN-7.E.2 The function $F$ defined by $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$ is a particular solution to the differential equation $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$, satisfying $F(a) = y_0$.
FUN-7.E.3 Solutions to differential equations may be subject to domain restrictions.

العربية

الفهم الدائم (FUN-7): حل المعادلات التفاضلية يتيح لنا تحديد الدلات وتطوير النماذج.

هدف التعلم FUN-7.E: تحديد الحلول الخاصة للمعادلات التفاضلية.

FUN-7.E.1 قد تصف الحل العام عدداً لا حصر له من الحلول للمعادلة التفاضلية. يوجد حل خاص واحد فقط يمر بنقطة معينة.
FUN-7.E.2 الدالة $F$ المعرفة بـ $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$ هي حل خاص للمعادلة التفاضلية $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$، وتحقق $F(a) = y_0$.
FUN-7.E.3 قد تخضع حلول المعادلات التفاضلية لقيود على مجال التعريف.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

An initial condition 初始条件 (a known point, e.g. $y(0)=5$) pins down the constant $C$. Solve for the general solution, substitute the condition to find $C$, then write the particular solution. Watch the domain – a particular solution is valid only on the interval containing the initial point.

The constant gives a family of curves; an initial condition picks out one

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/	الشرط الابتدائي

7.8

Exponential Models with Differential Equations

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.F: Interpret the meaning of a differential equation and its variables in context.

FUN-7.F.1 Specific applications of finding general and particular solutions to differential equations include motion along a line and exponential growth and decay.
FUN-7.F.2 The model for exponential growth and decay that arises from the statement "The rate of change of a quantity is proportional to the size of the quantity" is $\dfrac{dy}{dt} = ky$.

Learning Objective FUN-7.G: Determine general and particular solutions for problems involving differential equations in context.

FUN-7.G.1 The exponential growth and decay model, $\dfrac{dy}{dt} = ky$, with initial condition $y = y_0$ when $t = 0$, has solutions of the form $y = y_0 e^{kt}$.

العربية

الفهم الدائم (FUN-7): حل المعادلات التفاضلية يتيح لنا تحديد الدلات وتطوير النماذج.

هدف التعلم FUN-7.F: تفسير معنى المعادلة التفاضلية ومتغيراتها في السياق.

FUN-7.F.1 تشمل التطبيقات المحددة لإيجاد الحلول العامة والخاصة للمعادلات التفاضلية الحركة على خط مستقيم والنمو والتحلل الأسي.
FUN-7.F.2 النموذج للنمو والتحلل الأسي الذي ينشأ من عبارة "معدل تغير كمية ما يتناسب مع حجم تلك الكمية" هو $\dfrac{dy}{dt} = ky$.

هدف التعلم FUN-7.G: تحديد الحلول العامة والخاصة لمسائل تتعلق بالمعادلات التفاضلية في سياق معين.

FUN-7.G.1 نموذج النمو والتحلل الأسي، $\dfrac{dy}{dt} = ky$، مع الشرط الابتدائي $y = y_0$ عندما $t = 0$، له حلول من الشكل $y = y_0 e^{kt}$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

Exponential vs logistic growth

The equation $\dfrac{dy}{dt}=ky$ says the rate of change is proportional to the amount – giving exponential growth or decay 指数增长. Separating variables yields

$$y=y_0 e^{kt},$$

with $k>0$ for growth and $k<0$ for decay. This models unrestricted population growth, radioactive decay, and continuously compounded interest.

A cooling cup of coffee: Newton's law of cooling is a classic differential equation model

Explore · ⁨استكشف⁩

An exponential growth/decay model · ⁨نموذج نمو/اضمحلال أسي⁩

y = a·e^(bx) + c

The equation $dy/dt=ky$ has exponential solutions: quantity changes at a rate proportional to itself, giving unbounded growth ($k>0$) or decay to zero ($k<0$). · ⁨المعادلة $dy/dt=ky$ لها حلول أسية: تتغير الكمية بمعدل متناسب مع ذاتها، مما يعطي نمواً غير محدود ($k>0$) أو اضمحلالاً نحو الصفر ($k<0$).⁩

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
exponential growth or decay/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ ɔː dɪˈkeɪ/	نمو أو تحلل أسي

7.9

Logistic Models with Differential Equations

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.H: Interpret the meaning of the logistic growth model in context. BC ONLY

FUN-7.H.1 The model for logistic growth that arises from the statement "The rate of change of a quantity is jointly proportional to the size of the quantity and the difference between the quantity and the carrying capacity" is $\dfrac{dy}{dt} = ky(a - y)$. BC ONLY
FUN-7.H.2 The logistic differential equation and initial conditions can be interpreted without solving the differential equation. BC ONLY
FUN-7.H.3 The limiting value (carrying capacity) of a logistic differential equation as the independent variable approaches infinity can be determined using the logistic growth model and initial conditions. BC ONLY
FUN-7.H.4 The value of the dependent variable in a logistic differential equation at the point when it is changing fastest can be determined using the logistic growth model and initial conditions. BC ONLY

العربية

الفهم الدائم (FUN-7): حل المعادلات التفاضلية يتيح لنا تحديد الدلات وتطوير النماذج.

الهدف التعليمي FUN-7.H: تفسير معنى النموذج اللوجستي للنمو في السياق. BC فقط

FUN-7.H.1 النموذج الخاص بالنمو اللوجستي الذي ينشأ عن عبارة "معدل تغير كمية ما يتناسب طردياً مع حجم تلك الكمية ومع الفرق بين هذه الكومة والسعة الاستيعابية" هو $\dfrac{dy}{dt} = ky(a - y)$. BC فقط
FUN-7.H.2 يمكن تفسير المعادلة التفاضلية اللوجستية والشروط الابتدائية دون حل المعادلة التفاضلية. BC فقط
FUN-7.H.3 يمكن تحديد القيمة النهاية (السعة الاستيعابية) للمعادلة التفاضلية اللوجستية عندما يقترب المتغير المستقل من اللانهاية باستخدام نموذج النمو اللوجستي والشروط الابتدائية. BC فقط
FUN-7.H.4 يمكن تحديد قيمة المتغير التابع في المعادلة التفاضلية اللوجستية عند النقطة التي تتغير فيها بأسرع معدل باستخدام نموذج النمو اللوجستي والشروط الابتدائية. BC فقط

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

Real growth is limited by resources, so the logistic model 逻辑斯蒂模型 adds a carrying capacity 环境容纳量 $L$:

$$\frac{dP}{dt}=kP\!\left(1-\frac{P}{L}\right).$$

Growth is nearly exponential when $P$ is small, slows as $P$ approaches $L$, and stops at $P=L$. Key BC facts: the population levels off at $L$ ($\lim_{t\to\infty}P=L$), and it grows fastest when $P=\tfrac{L}{2}$ (the inflection point of the S-shaped curve). You are expected to read $L$ and the fastest-growth value directly from the equation.

Worked example. For $\dfrac{dP}{dt}=0.05\,P\!\left(1-\dfrac{P}{2000}\right)$, the carrying capacity is $L=2000$ (the population levels off there), and growth is fastest when $P=\dfrac{L}{2}=1000$ – both read straight off the equation, no solving needed.

The logistic model grows fastest at P=L/2 and levels off at the carrying capacity L

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
logistic model/ləˈdʒɪstɪk ˈmɒdl/	نموذج لوجستي
carrying capacity/ˈkæriɪŋ kəˈpæsɪti/	السعة الحاملة

7.9

Exam tips

Solve a separable equation by getting all $y$ on one side and all $x$ on the other, then integrating both sides (add $+C$ once).
Use the initial condition to find $C$ (a particular solution).
Sketch or read a slope field: the little segments show $\tfrac{dy}{dx}$ at each point, and a solution curve follows them.
Recognise exponential models $\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$ (growth/decay).
A differential equation gives the slope — you must integrate to recover the function.

Applications of Integration · ⁨تطبيقات التكامل⁩

Watch lesson · ⁨شاهد الدرس⁩

Open this topic on its own page · ⁨افتح هذا الموضوع في صفحة خاصة به⁩

8.1

Finding the Average Value of a Function on an Interval · ⁨إيجاد القيمة المتوسطة لدالة على فترة⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.B: Determine the average value of a function using definite integrals.

CHA-4.B.1 The average value of a continuous function $f$ over an interval $[a, b]$ is $\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$.

العربية

الفهم الدائم (CHA-4): التكاملات المحددة تتيح لنا حل المسائل المتعلقة بتراكم التغير على فترة.

هدف التعلم CHA-4.B: تحديد القيمة المتوسطة لدالة باستخدام التكاملات المحددة.

CHA-4.B.1 القيمة المتوسطة للدالة المتصلة $f$ على الفترة $[a, b]$ هي $\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

The average value 平均值 of $f$ over $[a,b]$ is the integral divided by the width:

$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

It is the constant height a rectangle would need to have the same area as the region under $f$. Do not confuse this with the average rate of change (which uses the derivative).

Worked example. The average value of $f(x)=x^2$ on $[0,3]$ is $\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx=\dfrac13\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3=\dfrac13(9)=3$.

العربية

القيمة المتوسطة لـ $f$ فوق $[a,b]$ هي التكامل مقسوماً على العرض:

$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

إنها الارتفاع الثابت الذي يجب أن يمتلكه مستطيل ليكون له نفس مساحة المنطقة تحت $f$. لا تخلط بين هذا والمتوسط معدل التغير (والذي يستخدم المشتقة).

مثال محلول. القيمة المتوسطة لـ $f(x)=x^2$ على $[0,3]$ هي $\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx=\dfrac13\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3=\dfrac13(9)=3$.

Explore · ⁨استكشف⁩

The average value of a function · ⁨القيمة المتوسطة لدالة ما⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

The average value of $f$ on $[a,b]$ is its integral divided by the width — the constant height whose rectangle has the same area as under the curve. · ⁨القيمة المتوسطة لـ $f$ على $[a,b]$ هي تكاملها مقسوماً على العرض — الارتفاع الثابت الذي له مستطيل بنفس المساحة تحت المنحنى.⁩

8.2

Connecting Position, Velocity, and Acceleration Using Integrals · ⁨ربط الموضع، السرعة، والتسارع باستخدام التكاملات⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.C: Determine values for positions and rates of change using definite integrals in problems involving rectilinear motion.

CHA-4.C.1 For a particle in rectilinear motion over an interval of time, the definite integral of velocity represents the particle's displacement over the interval of time, and the definite integral of speed represents the particle's total distance traveled over the interval of time.

العربية

الفهم الدائم (CHA-4): التكاملات المحددة تتيح لنا حل المسائل المتعلقة بتراكم التغير على فترة.

هدف التعلم CHA-4.C: تحديد قيم الموضع ومعدلات التغير باستخدام التكامل المحدود في المسائل المتعلقة بالحركة المستقيمة.

CHA-4.C.1 بالنسبة لجسيم في حركة مستقيمة على مدى فترة زمنية، يمثل التكامل المحدود للسرعة إزاحة الجسيم خلال تلك الفترة الزمنية، ويمثل التكامل المحدود للسرعة الكلية المسافة الإجمالية التي قطعها الجسيم خلال فترة زمنية.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

For straight-line motion, integration reverses differentiation:

$$v(t)=\int a(t)\,dt,\qquad s(t)=\int v(t)\,dt.$$

Two key distinctions: displacement 位移 is $\int_a^b v\,dt$ (net change in position), while total distance 总路程 is $\int_a^b |v|\,dt$ (splitting where $v$ changes sign). Speed is $|v|$.

العربية

للحركة في خط مستقيم، يعكس التكامل الاشتقاق:

$$v(t)=\int a(t)\,dt,\qquad s(t)=\int v(t)\,dt.$$

تميزان رئيسيان: الإزاحة هي $\int_a^b v\,dt$ (التغير الصافي في الموضع)، بينما المسافة الكلية هي $\int_a^b |v|\,dt$ (تقسيم حيث $v$ يغير إشارته). السرعة هي $|v|$.

8.3

Using Accumulation Functions and Definite Integrals in Applied Contexts · ⁨استخدام دوال التراكم والتكاملات المحددة في سياقات تطبيقية⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.D: Interpret the meaning of a definite integral in accumulation problems.

CHA-4.D.1 A function defined as an integral represents an accumulation of a rate of change.
CHA-4.D.2 The definite integral of the rate of change of a quantity over an interval gives the net change of that quantity over that interval.

Learning Objective CHA-4.E: Determine net change using definite integrals in applied contexts.

CHA-4.E.1 The definite integral can be used to express information about accumulation and net change in many applied contexts.

العربية

الفهم الدائم (CHA-4): التكاملات المحددة تتيح لنا حل المسائل المتعلقة بتراكم التغير على فترة.

هدف التعلم CHA-4.D: تفسير معنى التكامل المحدود في مسائل التراكم.

CHA-4.D.1 الدالة المعرفة كتكامل تمثل تراكمًا لمعدل تغير.
CHA-4.D.2 يعطي التكامل المحدود لمعدل تغير كمية ما خلال فترة زمنية التغير الصافي لتلك الكمية خلال تلك الفترة.

هدف التعلم CHA-4.E: تحديد التغير الصافي باستخدام التكاملات المحدودة في السياقات التطبيقية.

CHA-4.E.1 يمكن استخدام التكامل المحدود للتعبير عن معلومات حول التراكم والتغير الصافي في العديد من السياقات التطبيقية.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

When a rate is given (flow rate, sales per day), the definite integral gives the accumulated total, and $\int_a^b R(t)\,dt$ carries the units of $R$ times time. A common setup: initial amount $+\int(\text{rate in}-\text{rate out})\,dt$ gives the amount at a later time. Always interpret the answer in context, with units.

العربية

عندما يتم إعطاء معدل (معدل التدفق، المبيعات اليومية)، يعطي التكامل المحدد المجموع التراكمي، وتحمل $\int_a^b R(t)\,dt$ وحدات $R$ مضروبة في الوقت. إعداد شائع: الكمية الأولية $+\int(\text{rate in}-\text{rate out})\,dt$ تعطي الكمية في وقت لاحق. always interpret the answer in context, with units. Always interpret the answer في السياق، مع الوحدات.

8.4

Finding the Area Between Curves Expressed as Functions of x · ⁨إيجاد المساحة بين منحنيات معبرة بدوال x⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.1 Areas of regions in the plane can be calculated with definite integrals.

العربية

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.A: حساب المساحات في المستوى باستخدام التكامل المحدود.

CHA-5.A.1 يمكن حساب مساحات المناطق في المستوى باستخدام التكاملات المحدودة.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

The area between $y=f(x)$ (top) and $y=g(x)$ (bottom) from $a$ to $b$ is

$$\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx.$$

Find the intersection points for the limits, and always subtract top minus bottom.

Worked example. Between $y=x$ and $y=x^2$ (crossing at $x=0,1$, with $y=x$ on top), the area is $\displaystyle\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac16$.

العربية

صانع الفخار يشكل وعاء: أحجام الدوران تدور منطقة مستوية حول محور

المساحة بين $y=f(x)$ (الأعلى) و$y=g(x)$ (الأسفل) من $a$ إلى $b$ هي

$$\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx.$$

أوجد نقاط التقاطع للحدود، وطرح دائماً الأعلى ناقص الأسفل.

المساحة بين منحنيين هي تكامل الأعلى ناقص الأسفل

مثال محلول. بين $y=x$ و$y=x^2$ (يتقاطعان عند $x=0,1$، مع $y=x$ في الأعلى)، المساحة هي $\displaystyle\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac16$.

8.5

Finding the Area Between Curves Expressed as Functions of y · ⁨إيجاد المساحة بين منحنيات معربة بدوال y⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.2 Areas of regions in the plane can be calculated using functions of either $x$ or $y$.

العربية

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.A: حساب المساحات في المستوى باستخدام التكامل المحدود.

CHA-5.A.2 يمكن حساب مساحات المناطق في المستوى باستخدام دوال إما $x$ أو $y$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

When curves are easier to describe as $x=f(y)$, integrate with respect to $y$ instead, using right minus left:

$$\int_c^d\big(f_{\text{right}}(y)-g_{\text{left}}(y)\big)\,dy.$$

Choosing to integrate in $y$ can avoid splitting the region into several pieces.

العربية

عندما تكون المنحنيات أسهل في الوصف كـ $x=f(y)$، قم بالتكامل بالنسبة لـ $y$ بدلاً من ذلك، باستخدام اليمين ناقص اليسار:

$$\int_c^d\big(f_{\text{right}}(y)-g_{\text{left}}(y)\big)\,dy.$$

اختيار التكامل بالنسبة لـ $y$ قد يتجنب تقسيم المنطقة إلى عدة أجزاء.

8.6

Finding the Area Between Curves That Intersect More Than Twice · ⁨إيجاد المساحة بين منحنيات تتقاطع أكثر من مرتين⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.3 Areas of certain regions in the plane may be calculated using a sum of two or more definite integrals or by evaluating a definite integral of the absolute value of the difference of two functions.

العربية

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.A: حساب المساحات في المستوى باستخدام التكامل المحدود.

CHA-5.A.3 قد تُحسب مساحات بعض المناطق في المستوى باستخدام مجموع تكاملين محددين أو أكثر، أو عن طريق تقييم تكامل محدد لقيمة مطلقة الفرق بين دالتين.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

If two curves cross several times, the top and bottom switch. Split the region at each intersection and integrate each piece with the correct top-minus-bottom (or use $\int|f-g|$), then add the pieces.

العربية

إذا تضافرت منحنيان، فإن الأعلى والأسفل يتبدلان. قسم المنطقة عند كل نقطة تقاطع وأعد تكامل كل جزء مع الأعلى ناقص الأسفل الصحيح (أو استخدم $\int|f-g|$)، ثم اجمع الأجزاء.

8.7

Volumes with Cross Sections: Squares and Rectangles · ⁨الحجوم بأقسام عرضية: مربعات ومستطيلات⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.B: Calculate volumes of solids with known cross sections using definite integrals.

CHA-5.B.1 Volumes of solids with square and rectangular cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.

العربية

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.B: حساب حجوم الأجسام الصلبة ذات المقاطع العرضية المعلومة باستخدام التكاملات المحدودة.

CHA-5.B.1 يمكن إيجاد حجوم الأجسام الصلبة ذات المقاطع العرضية المربعة والمستطيلة باستخدام التكاملات المحدودة وقوانين مساحة هذه الأشكال.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

If a solid's cross sections 横截面 perpendicular to the $x$-axis are squares or rectangles, integrate their area. With side length equal to the distance between two curves, a square cross section gives

$$V=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)^2\,dx.$$

The method is always "integrate the cross-sectional area."

العربية

إذا كانت المقاطع العرضية لجسم ما عمودية على محور $x$ مربعات أو مستطيلات، فأعد تكامل مساحتها. مع طول ضلع يساوي المسافة بين منحنيين، يعطي المقطع العرضي المربع

$$V=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)^2\,dx.$$

الطريقة دائماً "إعادة تكامل مساحة المقطع العرضي".

8.8

Volumes with Cross Sections: Triangles and Semicircles · ⁨الحجوم مع المقاطع العرضية: المثلثات والأقواس النصفية⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.B: Calculate volumes of solids with known cross sections using definite integrals.

CHA-5.B.2 Volumes of solids with triangular cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.
CHA-5.B.3 Volumes of solids with semicircular and other geometrically defined cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.
- Illustrative examples for CHA-5.B.3:
  - The volume of a funnel whose cross sections are circles can be found using the area formula for a circle and definite integrals (see 2016 AB Exam FRQ #5(b)).
  - The volume of a solid whose cross sectional area is defined using a function can be found using the known area function and a definite integral (see 2009 AB Exam FRQ #4(c)).

العربية

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.B: حساب حجوم الأجسام الصلبة ذات المقاطع العرضية المعلومة باستخدام التكاملات المحدودة.

CHA-5.B.2 يمكن إيجاد حجوم الأجسام الصلبة ذات المقاطع العرضية المثلثة باستخدام التكاملات المحددة وقوانين مساحة هذه الأشكال.
CHA-5.B.3 يمكن إيجاد حجوم الأجسام الصلبة ذات المقاطع العرضية الدائرية النصفية والأشكال الهندسية الأخرى المعرّفة باستخدام التكاملات المحدودة وقوانين مساحة هذه الأشكال.
- أمثلة توضيحية لـ CHA-5.B3:
  - يمكن إيجاد حجم قمع تكون مقاطعه العرضية دوائر باستخدام صيغة مساحة الدائرة والتكاملات المحدودة (انظر 2016 امتحان AB FRQ #5(b)).
  - يمكن إيجاد حجم جسم صلب تكون مساحته المقطعية معرفة بدالة باستخدام دالة المساحة المعروفة والتكامل المحدود (انظر 2009 امتحان AB FRQ #4(c)).

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Same idea, different area formula: for equilateral-triangle cross sections use $A=\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$, and for semicircular ones $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$ (with $s$ the distance between the curves). Substitute the area formula and integrate.

العربية

نفس الفكرة، صيغة مساحة مختلفة: للمقاطع العرضية المثلثية المتساوية الأضلاع استخدم $A=\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$، وللمقطع الدائري النصف دائري $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$ (حيث $s$ هي المسافة بين المنحنيين). عوض بصيغة المساحة وأعد التكامل.

8.9

Volume with Disc Method: Revolving Around the x- or y-Axis · ⁨الحجم بطريقة الأقراص: دوران حول محور x أو y⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.1 Volumes of solids of revolution around the $x$- or $y$-axis may be found by using definite integrals with the disc method.

العربية

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.C: حساب أحجام الأجسام الناتجة عن الدوران باستخدام التكاملات المحددة.

CHA-5.C.1 يمكن إيجاد حجوم أجسام الدوران حول محور $x$ أو محور $y$ باستخدام التكاملات المحدودة بطريقة القرص.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Solids of revolution: the disc method

Revolving a region around an axis makes a solid whose cross sections are discs. The disc method 圆盘法 integrates $\pi(\text{radius})^2$:

$$V=\pi\int_a^b \big(R(x)\big)^2\,dx,$$

where the radius $R$ is the distance from the curve to the axis. Use $dy$ when revolving around the $y$-axis.

Worked example. Revolving the region under $y=\sqrt{x}$ from $0$ to $4$ about the $x$-axis gives discs of radius $\sqrt{x}$: $V=\pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=8\pi$.

العربية

أجسام الدوران: طريقة الأقراص

دوران منطقة حول محور يجعل جسماً تتقاطع معه أقراص. طريقة الأقراص تدمج $\pi(\text{radius})^2$:

$$V=\pi\int_a^b \big(R(x)\big)^2\,dx,$$

حيث نصف القطر $R$ هو المسافة من المنحنى إلى المحور. استخدم $dy$ عند الدوران حول محور $y$.

طريقة الأقراص: دوران y=f(x) حول المحور ينشئ أقراصاً بنصف قطر f(x)

مثال محلول. دوران المنطقة تحت $y=\sqrt{x}$ من $0$ إلى $4$ حول محور $x$ يعطي أقراصاً بنصف قطر $\sqrt{x}$: $V=\pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=8\pi$.

8.10

Volume with Disc Method: Revolving Around Other Axes · ⁨الحجم بطريقة الأقراص: دوران حول محاور أخرى⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.2 Volumes of solids of revolution around any horizontal or vertical line in the plane may be found by using definite integrals with the disc method.

العربية

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.C: حساب أحجام الأجسام الناتجة عن الدوران باستخدام التكاملات المحددة.

CHA-5.C.2 يمكن إيجاد أحجام الأجسام الناتجة عن الدوران حول أي خط أفقي أو عمودي في المستوى باستخدام التكاملات المحددة بطريقة الأقراص.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

When the axis of revolution is a horizontal or vertical line like $y=k$ (not an axis), the radius adjusts: $R=|f(x)-k|$. Set up the radius as the distance from the curve to that line, then integrate $\pi R^2$ as before.

العربية

عندما يكون محور الدوران خطاً أفقياً أو عمودياً مثل $y=k$ (وليس محوراً)، فإن نصف القطر يتكيف: $R=|f(x)-k|$. حدد نصف القطر كمسافة من المنحنى إلى ذلك الخط، ثم أعد تكامل $\pi R^2$ كما سبق.

8.11

Volume with Washer Method: Revolving Around the x- or y-Axis · ⁨الحجم بطريقة الحلقات: دوران حول محور x أو y⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.3 Volumes of solids of revolution around the $x$- or $y$-axis whose cross sections are ring shaped may be found using definite integrals with the washer method.

العربية

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.C: حساب أحجام الأجسام الناتجة عن الدوران باستخدام التكاملات المحددة.

CHA-5.C.3 يمكن إيجاد أحجام الأجسام الناتجة عن الدوران حول محور $x$ أو $y$ ذات المقاطع العرضية على شكل حلقات باستخدام التكاملات المحددة بطريقة الحلقات.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Volume by the washer method

If the region does not touch the axis, revolving leaves a hole, so cross sections are washers (rings). The washer method 垫圈法 subtracts the inner disc:

$$V=\pi\int_a^b\Big(R_{\text{outer}}^2-R_{\text{inner}}^2\Big)\,dx.$$

Identify the outer and inner radii as distances from each curve to the axis.

العربية

الحجم باستخدام طريقة الحلقات

إذا لم تلمس المنطقة المحور، فإن الدوران يترك ثقباً، لذا تكون المقاطع العرضية حلقات. طريقة الحلقات تطرح القرص الداخلي:

$$V=\pi\int_a^b\Big(R_{\text{outer}}^2-R_{\text{inner}}^2\Big)\,dx.$$

حدد نصف القطر الخارجي والداخلي كمسافات من كل منحنى إلى المحور.

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
average value/ˈævrɪdʒ ˈvæljuː/	القيمة المتوسطة
displacement/dɪˈspleɪsmənt/	إزاحة
total distance/ˈtəʊtl ˈdɪstəns/	المسافة الكلية
cross sections/krɒs ˈsekʃnz/	المقاطع العرضية
disc method/dɪsk ˈmeθəd/	طريقة القرص
washer method/ˈwɒʃə ˈmeθəd/	طريقة الخاتم
arc length/ɑːk leŋθ/	طول القوس

8.12

Volume with Washer Method: Revolving Around Other Axes · ⁨الحجم بطريقة الحلقات: دوران حول محاور أخرى⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.4 Volumes of solids of revolution around any horizontal or vertical line whose cross sections are ring shaped may be found using definite integrals with the washer method.

العربية

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.C: حساب أحجام الأجسام الناتجة عن الدوران باستخدام التكاملات المحددة.

CHA-5.C.4 يمكن إيجاد أحجام الأجسام الناتجة عن الدوران حول أي خط أفقي أو عمودي ذات المقاطع العرضية على شكل حلقات باستخدام التكاملات المحددة بطريقة الحلقات.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

As with discs, revolving around a line $y=k$ or $x=k$ shifts both radii – each becomes the distance from its curve to that line. Sketch the region and the axis, label $R_{\text{outer}}$ and $R_{\text{inner}}$, then integrate the difference of squares.

العربية

كما في الأقراص، الدوران حول خط $y=k$ أو $x=k$ يزيح كلا نصفي القطر – يصبح كل منهما المسافة من منحناه إلى ذلك الخط. ارسم المنطقة والمحور، وعلّم $R_{\text{outer}}$ و$R_{\text{inner}}$، ثم أعد تكامل الفرق بين المربعات.

8.13

The Arc Length of a Smooth Curve and Distance Traveled · ⁨طول القوس لمنحنى أملس والمسافة المقطوعة⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-6): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in length over an interval.

Learning Objective CHA-6.A: Determine the length of a curve in the plane defined by a function, using a definite integral. BC ONLY

CHA-6.A.1 The length of a planar curve defined by a function can be calculated using a definite integral. BC ONLY

العربية

الفهم الدائم (CHA-6): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتجميع التغير في الطول عبر فترة ما.

الهدف التعليمي CHA-6.A: تحديد طول منحنى في المستوى مُعرف بدالة، باستخدام تكامل محدد. BC فقط

CHA-6.A.1 يمكن حساب طول منحنى مستوٍ مُعرف بدالة باستخدام تكامل محدد. BC فقط

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

The arc length 弧长 of $y=f(x)$ from $a$ to $b$ is

$$L=\int_a^b\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx.$$

This BC-only formula comes from summing tiny hypotenuses $\sqrt{dx^2+dy^2}$. The same idea gives the distance a particle travels along a curved path.

Worked example. Find the arc length of $y=\tfrac{2}{3}x^{3/2}$ from $x=0$ to $x=3$. Here $f'(x)=x^{1/2}$, so $1+(f')^2=1+x$ and

$$L=\int_0^3\sqrt{1+x}\,dx=\left[\tfrac{2}{3}(1+x)^{3/2}\right]_0^3=\tfrac{2}{3}(8-1)=\tfrac{14}{3}.$$

العربية

طول القوس لـ $y=f(x)$ من $a$ إلى $b$ هو

$$L=\int_a^b\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx.$$

هذه الصيغة الخاصة بـ BC تأتي من جمع الأوتار الصغيرة $\sqrt{dx^2+dy^2}$. نفس الفكرة تعطي المسافة التي يقطعها جسيم على مسار منحني.

مثال محلول. أوجد طول القوس لـ $y=\tfrac{2}{3}x^{3/2}$ من $x=0$ إلى $x=3$. هنا $f'(x)=x^{1/2}$، لذا $1+(f')^2=1+x$ و

$$L=\int_0^3\sqrt{1+x}\,dx=\left[\tfrac{2}{3}(1+x)^{3/2}\right]_0^3=\tfrac{2}{3}(8-1)=\tfrac{14}{3}.$$

جسر Golden Gate وكابلاته الرئيسية sweeping — يعلق الكابل الرئيسي للجسر كمنحنى أملس؛ يعطي التكامل طوله الدقيق

8.13

Exam tips · ⁨نصائح للامتحان⁩

English

Area between curves is $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — find the intersection points for the limits and keep top minus bottom.
For a volume of revolution, add up disc/washer cross-sections of area $\pi r^2$ (or $\pi(R^2-r^2)$).
The average value of $f$ on $[a,b]$ is $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
Accumulated change is $\int$ of a rate: total = initial value $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
Integration means "adding up infinitely many tiny pieces" — set up the integrand as one thin slice.

العربية

المساحة بين المنحنيات هي $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — أوجد نقاط التقاطع للحدود واحفظ (الأعلى ناقص الأسفل).
لحجم الدوران، اجمع المقاطع العرضية للأقراص/الحلقات ذات المساحة $\pi r^2$ (أو $\pi(R^2-r^2)$).
القيمة المتوسطة لـ $f$ على $[a,b]$ هي $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
التغير المتراكم هو $\int$ لمعدل: المجموع = القيمة الابتدائية $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
التكامل يعني "جمع عدد لا نهائي من القطع الصغيرة" — ضع دالة التكامل كشريحة رقيقة واحدة.

Parametric Equations, Polar Coordinates, and Vector-Valued Functions · ⁨المعادلات البارامترية والإحداثيات القطرية والدوال ذات القيم المتجهة⁩

Watch lesson · ⁨شاهد الدرس⁩

Open this topic on its own page · ⁨افتح هذا الموضوع في صفحة خاصة به⁩

9.1

Defining and Differentiating Parametric Equations · ⁨تعريف واشتقاق المعادلات البارامترية⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-3): Derivatives allow us to solve real-world problems involving rates of change.

Learning Objective CHA-3.G: Calculate derivatives of parametric functions. BC ONLY

CHA-3.G.1 Methods for calculating derivatives of real-valued functions can be extended to parametric functions. BC ONLY
CHA-3.G.2 For a curve defined parametrically, the value of $\dfrac{dy}{dx}$ at a point on the curve is the slope of the line tangent to the curve at that point. $\dfrac{dy}{dx}$, the slope of the line tangent to a curve defined using parametric equations, can be determined by dividing $\dfrac{dy}{dt}$ by $\dfrac{dx}{dt}$, provided $\dfrac{dx}{dt}$ does not equal zero. BC ONLY

العربية

فهم دائم (CHA-3): تسمح المشتقات لنا بحل مسائل العالم الحقيقي التي تتعلق بمعدلات التغير.

الهدف التعليمي CHA-3.G: حساب مشتقات الدوال البارامترية. BC فقط

CHA-3.G.1 يمكن توسيع طرق حساب مشتقات الدوال ذات القيم الحقيقية لتشمل الدوال البارامترية. BC فقط
CHA-3.G.2 بالنسبة لمنحنى مُعرف بارامترياً، فإن قيمة $\dfrac{dy}{dx}$ عند نقطة على المنحنى هي ميل الخط المماس للمنحنى عند تلك النقطة. $\dfrac{dy}{dx}$، وهو ميل الخط المماس لمنحنى مُعرف بمعادلات بارامترية، يمكن تحديده بقسمة $\dfrac{dy}{dt}$ على $\dfrac{dx}{dt}$، شريطة أن لا يساوي $\dfrac{dx}{dt}$ الصفر. BC فقط

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Parametric equations 参数方程 give $x$ and $y$ each as functions of a parameter $t$ (often time): $x=x(t)$, $y=y(t)$. They trace a curve that need not be a function of $x$. The slope of the curve is found with the chain rule:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}\qquad(dx/dt\neq0).$$

Worked example. For $x=t^2$, $y=t^3-t$, find the slope at $t=2$. Here $\dfrac{dx}{dt}=2t$ and $\dfrac{dy}{dt}=3t^2-1$, so $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2-1}{2t}$; at $t=2$ this is $\dfrac{11}{4}$.

العربية

المحطة الفضائية الدولية في المدار: المعادلات البارامترية تصف الموضع كدالة للزمن

المعادلات البارامترية تُعطي $x$ و$y$ كلتاهما كدوال في معامل $t$ (غالباً الوقت): $x=x(t)$، $y=y(t)$. هي ترسم منحنى قد لا يكون دالة لـ$x$. يُحسب ميل المنحنى باستخدام قاعدة السلسلة:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}\qquad(dx/dt\neq0).$$

مثال محلول. بالنسبة لـ$x=t^2$، $y=t^3-t$، أوجد الميل عند $t=2$. هنا $\dfrac{dx}{dt}=2t$ و$\dfrac{dy}{dt}=3t^2-1$، إذن $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2-1}{2t}$؛ عند $t=2$ يكون هذا $\dfrac{11}{4}$.

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
Parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/	المعادلات البارامترية
vector-valued function/ˈvektə ˈvæljuːd ˈfʌŋkʃn/	الدالة ذات القيم المتجهية
Polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/	الإحداثيات القطبية

9.2

Second Derivatives of Parametric Equations · ⁨المشتقات الثانية للمعادلات البارامترية⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-3): Derivatives allow us to solve real-world problems involving rates of change.

Learning Objective CHA-3.G: Calculate derivatives of parametric functions. BC ONLY

CHA-3.G.3 $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$ can be calculated by dividing $\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)$ by $\dfrac{dx}{dt}$. BC ONLY

العربية

فهم دائم (CHA-3): تسمح المشتقات لنا بحل مسائل العالم الحقيقي التي تتعلق بمعدلات التغير.

الهدف التعليمي CHA-3.G: حساب مشتقات الدوال البارامترية. BC فقط

CHA-3.G.3 يمكن حساب $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$ بقسمة $\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)$ على $\dfrac{dx}{dt}$. BC فقط

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

The second derivative is not $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$. Instead, differentiate the first derivative with respect to $t$, then divide by $dx/dt$ again:

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{dx/dt}.$$

Use it to test concavity of a parametric curve.

العربية

المشتقة الثانية ليست $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$. بدلاً من ذلك، اشتق المشتقة الأولى بالنسبة لـ$t$، ثم اقسم على $dx/dt$ مرة أخرى:

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{dx/dt}.$$

استخدمها لاختبار تقعر منحنى بارامتري.

9.3

Finding Arc Lengths of Curves Given by Parametric Equations · ⁨إيجاد أطوال أقواس المنحنيات المعطاة بالمعادلات البارامترية⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-6): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in length over an interval.

Learning Objective CHA-6.B: Determine the length of a curve in the plane defined by parametric functions, using a definite integral. BC ONLY

CHA-6.B.1 The length of a parametrically defined curve can be calculated using a definite integral. BC ONLY

العربية

الفهم الدائم (CHA-6): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتجميع التغير في الطول عبر فترة ما.

الهدف التعليمي CHA-6.B: تحديد طول منحنى في المستوى مُعرف بدوال بارامترية، باستخدام تكامل محدد. BC فقط

CHA-6.B.1 يمكن حساب طول منحنى مُعرف بارامترياً باستخدام تكامل محدد. BC فقط

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

The length of a parametric curve for $t$ from $a$ to $b$ is

$$L=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt.$$

This is the parametric version of arc length – summing tiny hypotenuses $\sqrt{dx^2+dy^2}$ over the parameter.

العربية

طول المنحنى البارامتري لـ$t$ من $a$ إلى $b$ هو

$$L=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt.$$

هذا هو نسخة الطول البارامتري – جمع الأوتار الصغيرة $\sqrt{dx^2+dy^2}$ عبر المعامل.

9.4

Defining and Differentiating Vector-Valued Functions · ⁨تعريف وتفاضل الدوال ذات القيم المتجهة⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-3): Derivatives allow us to solve real-world problems involving rates of change.

Learning Objective CHA-3.H: Calculate derivatives of vector-valued functions. BC ONLY

CHA-3.H.1 Methods for calculating derivatives of real-valued functions can be extended to vector-valued functions. BC ONLY

العربية

فهم دائم (CHA-3): تسمح المشتقات لنا بحل مسائل العالم الحقيقي التي تتعلق بمعدلات التغير.

الهدف التعليمي CHA-3.H: حساب مشتقات الدوال ذات القيم المتجهية. BC فقط

CHA-3.H.1 يمكن توسيع طرق حساب مشتقات الدوال ذات القيم الحقيقية لتشمل الدوال ذات القيم المتجهية. BC فقط

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

A vector-valued function 向量值函数 $\vec{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$ gives a position vector for each $t$. Differentiate component-wise: the velocity is $\vec{v}(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$ and the acceleration is $\vec{a}(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$. The speed is the magnitude $|\vec{v}|=\sqrt{x'^2+y'^2}$.

العربية

الدالة ذات القيمة المتجهة $\vec{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$ تعطي متجه موقع لكل $t$. اشتق مركباً بمركب: السرعة هي $\vec{v}(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$ والتسارع هو $\vec{a}(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$. السرعة القياسية هي المقدار $|\vec{v}|=\sqrt{x'^2+y'^2}$.

خط موجه بالمتجهات: ابدأ من a، ثم انزلق بمقدار t من الاتجاه b — خط ذو قيمة متجهة: ابدأ من a، ثم انزلق بمقدار t من الاتجاه b

Explore · ⁨استكشف⁩

Add vector-valued components · ⁨إضافة مركبات القيم الشعاعية⁩

A vector-valued function packs an $x(t)$ and $y(t)$ into one vector. Differentiating each component gives the velocity vector, tangent to the path. · ⁨الدالة ذات القيم الشعاعية تجمع بين $x(t)$ و$y(t)$ في شعاع واحد. اشتقاق كل مركب يعطي شعاع السرعة، المماس للمسار.⁩

9.5

Integrating Vector-Valued Functions · ⁨تكامل الدوال ذات القيم المتجهة⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-8): Solving an initial value problem allows us to determine an expression for the position of a particle moving in the plane.

Learning Objective FUN-8.A: Determine a particular solution given a rate vector and initial conditions. BC ONLY

FUN-8.A.1 Methods for calculating integrals of real-valued functions can be extended to parametric or vector-valued functions. BC ONLY

العربية

الفهم الدائم (FUN-8): حل مسألة القيمة الابتدائية يسمح لنا بإيجاد تعبير لموضع جسيم يتحرك في المستوى.

الهدف التعليمي FUN-8.A: تحديد حل خاص موضح بمقدار متجه ومعايير ابتدائية. BC فقط

FUN-8.A.1 يمكن توسيع طرق حساب تكاملات الدوال ذات القيم الحقيقية لتشمل الدوال البارامترية أو ذات القيم المتجهية. BC فقط

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Integrate a vector function component by component. Given acceleration or velocity plus an initial condition, integrate each component and use the condition to find the constants – recovering velocity from acceleration, or position from velocity.

العربية

كامل الدالة المتجهة مركباً بمركب. مع إعطاء التسارع أو السرعة بالإضافة إلى شرط ابتدائي، قم بتكامل كل مركب واستخدم الشرط لإيجاد الثوابت – استعادة السرعة من التسارع، أو الموقع من السرعة.

9.6

Solving Motion Problems Using Parametric and Vector-Valued Functions · ⁨حل مسائل الحركة باستخدام المعادلات البارامترية والدوال ذات القيم المتجهة⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-8): Solving an initial value problem allows us to determine an expression for the position of a particle moving in the plane.

Learning Objective FUN-8.B: Determine values for positions and rates of change in problems involving planar motion. BC ONLY

FUN-8.B.1 Derivatives can be used to determine velocity, speed, and acceleration for a particle moving along a curve in the plane defined using parametric or vector-valued functions. BC ONLY
FUN-8.B.2 For a particle in planar motion over an interval of time, the definite integral of the velocity vector represents the particle's displacement (net change in position) over the interval of time, from which we might determine its position. The definite integral of speed represents the particle's total distance traveled over the interval of time. BC ONLY

العربية

الفهم الدائم (FUN-8): حل مسألة القيمة الابتدائية يسمح لنا بإيجاد تعبير لموضع جسيم يتحرك في المستوى.

الهدف التعليمي FUN-8.B: تحديد قيم للمواقع ومعدلات التغير في المسائل المتعلقة بالحركة المستوية. BC فقط

FUN-8.B.1 يمكن استخدام المشتقات لتحديد السرعة والمقدار والتسارع لجسيم يتحرك على منحنى في المستوى مُعرف بدوال بارامترية أو ذات قيمة متجهية. BC فقط
FUN-8.B.2 بالنسبة لجسيم في حركة مستوية خلال فترة زمنية، يمثل التكامل المحدد للمتجه المُمثل للسرعة إزاحة الجسيم (التغير الصافي في الموقع) خلال الفترة الزمنية، ومنه قد نحدد موقعه. بينما يمثل التكامل المحدد للمقدار المسافة الكلية المقطوعة من قبل الجسيم خلال الفترة الزمنية. BC فقط

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

For a particle moving in a plane: position is $\langle x(t),y(t)\rangle$, velocity and acceleration are its derivatives, speed is $|\vec v|$, and the distance traveled over $[a,b]$ is

$$\int_a^b\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt.$$

Exam skill: these plane-motion problems appear on the BC free-response nearly every year – be fluent finding speed, the position at a later time (initial point plus the integral of velocity), and total distance.

Worked example. A particle has position $\langle t^2,\ t^3-t\rangle$. Its velocity is $\langle 2t,\ 3t^2-1\rangle$, so at $t=1$ the velocity is $\langle 2,\ 2\rangle$ and the speed is $\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$. Its position at $t=2$ is $\langle 4,\ 6\rangle$.

العربية

لجسيم يتحرك في مستوى: الموقع هو $\langle x(t),y(t)\rangle$، والسرعة والتسارع هما مشتقاته، والسرعة القياسية هي $|\vec v|$، والمسافة المقطوعة خلال $[a,b]$ هي

$$\int_a^b\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt.$$

مهارة الامتحان: تظهر هذه المسائل عن حركة المستوى في سؤال الاستجابة الحرة BC تقريباً كل عام – كن ماهراً في إيجاد السرعة، والموقع في وقت لاحق (النقطة الابتدائية زائد تكامل السرعة)، والمسافة الكلية.

مثال محلول. جسيم له موقع $\langle t^2,\ t^3-t\rangle$. سرعته هي $\langle 2t,\ 3t^2-1\rangle$، لذا عند $t=1$ تكون السرعة $\langle 2,\ 2\rangle$ والسرعة القياسية هي $\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$. موقعه عند $t=2$ هو $\langle 4,\ 6\rangle$.

9.7

Defining Polar Coordinates and Differentiating in Polar Form · ⁨تعريف الإحداثيات القطبية والتفاضل بالصيغة القطبية⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.G: Calculate derivatives of functions written in polar coordinates. BC ONLY

FUN-3.G.1 Methods for calculating derivatives of real-valued functions can be extended to functions in polar coordinates. BC ONLY
FUN-3.G.2 For a curve given by a polar equation $r = f(\theta)$, derivatives of $r$, $x$, and $y$ with respect to $\theta$, and first and second derivatives of $y$ with respect to $x$ can provide information about the curve. BC ONLY

العربية

فهم دائم (FUN-3): إدراك الفرص لتطبيق قواعد الاشتقاق يمكن أن يبسط عملية الاشتقاق.

الهدف التعليمي FUN-3.G: حساب مشتقات الدوال المكتوبة بالإحداثيات القطبية. BC فقط

FUN-3.G.1 يمكن توسيع طرق حساب مشتقات الدوال ذات القيم الحقيقية لتشمل الدوال في الإحداثيات القطبية. BC فقط
FUN-3.G.2 لمنحنى معطى بمعادلة قطرية $r = f(\theta)$، يمكن للمشتقات الأولى لـ $r$، $x$، و$y$ بالنسبة لـ $\theta$، والمشتقات الأولى والثانية لـ $y$ بالنسبة لـ $x$ تقديم معلومات حول المنحنى. BC فقط

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Tracing a polar curve

Polar coordinates 极坐标 locate a point by its distance $r$ from the origin and angle $\theta$: convert with $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$. A polar curve $r=f(\theta)$ is a parametric curve in $\theta$, so its slope is

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta},\quad\text{with } x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta.$$

العربية

تتبع منحنى قطبي

الإحداثيات القطبية تحدد نقطة عن طريق مسافتها $r$ من الأصل وزاويتها $\theta$: حول باستخدام $x=r\cos\theta$، $y=r\sin\theta$. المنحنى القطبي $r=f(\theta)$ هو منحنى بارامتري في $\theta$، لذا فإن ميله هو

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta},\quad\text{with } x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta.$$

الإحداثيات القطبية تعطي نقطة عن طريق مسافتها r وزاوية theta

Explore · ⁨استكشف⁩

Plot a polar curve · ⁨رسم منحنى قطبي⁩

In polar coordinates a point is a distance $r$ at angle $\theta$. Letting $r$ depend on $\theta$ traces curves like this cardioid. · ⁨في الإحداثيات القطبية، تكون النقطة على بُعد $r$ بزاوية $\theta$. جعل $r$ يعتمد على $\theta$ يرسم منحنيات مثل هذه القلبية.⁩

9.8

Finding the Area of a Polar Region · ⁨إيجاد مساحة منطقة قطبية⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.D: Calculate areas of regions defined by polar curves using definite integrals. BC ONLY

CHA-5.D.1 The concept of calculating areas in rectangular coordinates can be extended to polar coordinates. BC ONLY

العربية

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

الهدف التعليمي CHA-5.D: حساب مساحات المناطق المُعرفة بالمنحنيات القطبية باستخدام التكاملات المحددة. BC فقط

CHA-5.D.1 يمكن توسيع مفهوم حساب المساحات في الإحداثيات الديكارتية لتشمل الإحداثيات القطبية. BC فقط

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

The area swept out by a polar curve $r=f(\theta)$ from $\alpha$ to $\beta$ is

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta \big(f(\theta)\big)^2\,d\theta.$$

The region is a "fan" of thin triangular sectors; choosing the correct $\theta$-limits (where the curve starts and finishes tracing the region) is the main challenge.

Worked example. Find the area of one petal of the rose $r=2\sin(2\theta)$ (traced for $\theta$ from $0$ to $\tfrac{\pi}{2}$). Using $\sin^2 u=\tfrac12(1-\cos 2u)$,

$$A=\frac12\int_0^{\pi/2}(2\sin 2\theta)^2\,d\theta=\int_0^{\pi/2}(1-\cos 4\theta)\,d\theta=\left[\theta-\tfrac{\sin 4\theta}{4}\right]_0^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}.$$

العربية

المساحة الممسوحة بواسطة منحنى قطبي $r=f(\theta)$ من $\alpha$ إلى $\beta$ هي

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta \big(f(\theta)\big)^2\,d\theta.$$

المنطقة عبارة عن "مروحة" من القطاعات المثلثية الرقيقة؛ اختيار حدود $\theta$ الصحيحة (حيث يبدأ المنحنى وينتهي في تتبع المنطقة) هو التحدي الرئيسي.

مثال محلول. أوجد مساحة بتلة واحدة من الوردة $r=2\sin(2\theta)$ (تُتبع لـ$\theta$ من $0$ إلى $\tfrac{\pi}{2}$). باستخدام $\sin^2 u=\tfrac12(1-\cos 2u)$،

$$A=\frac12\int_0^{\pi/2}(2\sin 2\theta)^2\,d\theta=\int_0^{\pi/2}(1-\cos 4\theta)\,d\theta=\left[\theta-\tfrac{\sin 4\theta}{4}\right]_0^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}.$$

مساحة المنطقة القطبية تُمسوح كنصف تكامل r تربيع d theta — المنطقة المظللة هي مروحة من القطاعات الرقيقة الممسوحة من $\alpha$ إلى $\beta$؛ كل منها له مساحة $\tfrac12 r^2\,d\theta$، لذا المجموع الكلي هو $\tfrac12\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta$.

9.9

Finding the Area of the Region Bounded by Two Polar Curves · ⁨إيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنين قطبيين⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.D: Calculate areas of regions defined by polar curves using definite integrals. BC ONLY

CHA-5.D.2 Areas of regions bounded by polar curves can be calculated with definite integrals. BC ONLY

العربية

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

الهدف التعليمي CHA-5.D: حساب مساحات المناطق المُعرفة بالمنحنيات القطبية باستخدام التكاملات المحددة. BC فقط

CHA-5.D.2 يمكن حساب مساحات المناطق المحصورة بالمنحنيات القطبية باستخدام التكاملات المحددة. BC فقط

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

For the area between an outer curve $r_1$ and an inner curve $r_2$, subtract the sectors:

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta\big(r_1^2-r_2^2\big)\,d\theta.$$

Find the intersection angles first (set $r_1=r_2$), and be careful which curve is outer over each interval – they can swap.

العربية

بالنسبة للمساحة بين منحنى خارجي $r_1$ ومنحنى داخلي $r_2$، اطرح القطاعات:

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta\big(r_1^2-r_2^2\big)\,d\theta.$$

أوجد زوايا التقاطع أولاً (ضع $r_1=r_2$)، وكنت حذراً فيما يتعلق بالمنحنى الخارجي فوق كل فترة – يمكن أن يتبادلا.

9.9

Exam tips · ⁨نصائح للامتحان⁩

English

For parametric curves, $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/dt}{dx/dt}$; speed is $\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}$.
A vector-valued function carries the same information — differentiate/integrate it component by component.
In polar, convert with $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$; area swept is $\tfrac12\int r^2\,d\theta$.
Watch the direction of tracing (the sign of $dx/dt$) and set correct $\theta$-limits for polar area.
Eliminate the parameter to recover the ordinary $y$-vs-$x$ shape when it helps.

العربية

بالنسبة للمنحنيات البارامترية، $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/dt}{dx/dt}$؛ السرعة القياسية هي $\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}$.
الدالة ذات القيمة المتجهة تحمل نفس المعلومات – اشتق/تكامل مركباً بمركب.
في القطبية، حوّل باستخدام $x=r\cos\theta$، $y=r\sin\theta$؛ المساحة الممسوحة هي $\tfrac12\int r^2\,d\theta$.
راقب اتجاه التتبع (إشارة $dx/dt$) وضع حدود $\theta$ صحيحة لمساحة قطبية.
أزل المعامل لاستعادة الشكل العادي لـ$y$ مقابل$x$ عندما يساعد ذلك.

Infinite Sequences and Series · ⁨متتاليات وسلاسل لا نهائية⁩

Watch lesson · ⁨شاهد الدرس⁩

Open this topic on its own page · ⁨افتح هذا الموضوع في صفحة خاصة به⁩

10.1

Defining Convergent and Divergent Infinite Series · ⁨تعريف المتسلسلات اللانهائية المتقاربة والمتباعدة⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-7): Applying limits may allow us to determine the finite sum of infinitely many terms.

Learning Objective LIM-7.A: Determine whether a series converges or diverges. BC ONLY

LIM-7.A.1 The $n$th partial sum is defined as the sum of the first $n$ terms of a series. BC ONLY
LIM-7.A.2 An infinite series of numbers converges to a real number $S$ (or has sum $S$), if and only if the limit of its sequence of partial sums exists and equals $S$. BC ONLY

العربية

فهم دائم (LIM-7): تطبيق النهايات قد يسمح لنا بحساب المجموع المحدد لعدد لا نهائي من الحدود.

هدف التعلم LIM-7.A: تحديد ما إذا كانت المتسلسلة متقاربة أم متباعدة. لأجل BC فقط

LIM-7.A.1 يُعرّف الحد الجزئي $n$ بأنه مجموع أول $n$ حدود من المتسلسلة. لأجل BC فقط
LIM-7.A.2 تتقارب متسلسلة عددية إلى عدد حقيقي $S$ (أو يكون لها مجموع $S$)، إذا وفقط إذا كانت نهاية متتالية حدودها الجزئية موجودة وتساوي $S$. لأجل BC فقط

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

An infinite series 无穷级数 adds infinitely many terms, $\sum_{n=1}^\infty a_n$. Its value is defined as the limit of the partial sums 部分和 $S_N=a_1+a_2+\cdots+a_N$. If $S_N$ approaches a finite number $L$, the series converges 收敛 to $L$; otherwise it diverges 发散. Every convergence question is really a question about the limit of the partial sums.

العربية

دميات ماتروشكا متداخلة: متسلسلة لانهائية تستمر في إضافة حدود — بعضها يتقارب وبعضها يتباعد

المتسلسلة اللانهائية تضيف عدداً لا نهائياً من الحدود، $\sum_{n=1}^\infty a_n$. قيمتها معرفة sebagai limit of the المجم الجزئية $S_N=a_1+a_2+\cdots+a_N$. إذا كان $S_N$ يقترب من عدد محدود $L$، فإن المتسلسلة تتقارب نحو $L$؛ وإلا فهي تتباعد. كل سؤال تقارب هو في الواقع سؤال عن حد المجم الجزئية.

المجم الجزئية لمتسلسلة هندسية متقاربة تصعد نحو a على واحد ناقص r — بالنسبة للمتسلسلة الهندسية بـ$a=1,\ r=\tfrac12$، المجم الجزئية $S_1,S_2,S_3,\dots$ تصعد نحو الحد $\dfrac{a}{1-r}=2$ – هذا الحد هو قيمة المتسلسلة.

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
infinite series/ˈɪnfɪnət ˈsɪəriːz/	السلاسل اللانهائية
partial sums/ˈpɑːʃl sʌmz/	المجاميع الجزئية
converges/kənˈvɜːdʒɪz/	تتقارب
diverges/daɪˈvɜːdʒɪz/	تتباعد
geometric series/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsɪəriːz/	متسلسلة هندسية
integral test/ˈɪntɪɡrəl test/	اختبار التكامل
harmonic series/hɑːˈmɒnɪk ˈsɪəriːz/	السلسلة التوافقية
Direct comparison/daɪˈrekt kəmˈpærɪsn/	المقارنة المباشرة
Limit comparison/ˈlɪmɪt kəmˈpærɪsn/	مقارنة الحدود
alternating series/ˈɔːltəneɪtɪŋ ˈsɪəriːz/	السلسلة المتناوبة
ratio test/ˈreɪʃɪəʊ test/	اختبار النسبة
converges absolutely/kənˈvɜːdʒɪz ˌæbsəˈluːtli/	متقارب مطلقاً
converges conditionally/kənˈvɜːdʒɪz kənˈdɪʃənəli/	متقارب بشكل مشروط

10.2

Working with Geometric Series · ⁨العمل مع المتسلسلات الهندسية⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-7): Applying limits may allow us to determine the finite sum of infinitely many terms.

Learning Objective LIM-7.A: Determine whether a series converges or diverges. BC ONLY

LIM-7.A.3 A geometric series is a series with a constant ratio between successive terms. BC ONLY
LIM-7.A.4 If $a$ is a real number and $r$ is a real number such that $|r| < 1$, then the geometric series $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \dfrac{a}{1-r}$. BC ONLY

العربية

فهم دائم (LIM-7): تطبيق النهايات قد يسمح لنا بحساب المجموع المحدد لعدد لا نهائي من الحدود.

هدف التعلم LIM-7.A: تحديد ما إذا كانت المتسلسلة متقاربة أم متباعدة. لأجل BC فقط

LIM-7.A.3 المتسلسلة الهندسية هي متسلسلة يكون فيها نسبة ثابتة بين الحدود المتتالية. BC فقط
LIM-7.A.4 إذا كان $a$ عدداً حقيقياً و$r$ عدداً حقيقياً بحيث $|r| < 1$، فإن المتسلسلة الهندسية $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \dfrac{a}{1-r}$. BC فقط

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Geometric series & convergence

A geometric series 几何级数 $\sum ar^{n}$ has a constant ratio $r$ between terms. It converges exactly when $|r|<1$, and then

$$\sum_{n=0}^\infty ar^n=\frac{a}{1-r}.$$

This is the one series whose sum you can find exactly, and it underlies power series later in the unit.

Worked example. Sum $3+\tfrac32+\tfrac34+\tfrac38+\cdots$. Here $a=3$ and $r=\tfrac12$ (with $|r|<1$), so the sum is $\dfrac{a}{1-r}=\dfrac{3}{1-\tfrac12}=6$.

العربية

متسلسلة هندسية & تقارب

المتسلسلة الهندسية $\sum ar^{n}$ لها نسبة ثابتة $r$ بين الحدود. تتقارب بالضبط عندما $|r|<1$، وحينها

$$\sum_{n=0}^\infty ar^n=\frac{a}{1-r}.$$

هذه هي المتسلسلة الوحيدة التي يمكنك إيجاد مجموعها بدقة، وهي أساس متسلسلات القوى لاحقاً في الوحدة.

مثال محلول. اجمع $3+\tfrac32+\tfrac34+\tfrac38+\cdots$. هنا $a=3$ و$r=\tfrac12$ (مع $|r|<1$)، لذا المجموع هو $\dfrac{a}{1-r}=\dfrac{3}{1-\tfrac12}=6$.

متتالية هندسية تضرب في نفس النسبة في كل خطوة

Explore · ⁨استكشف⁩

When a geometric series converges · ⁨متى تتقارب متسلسلة هندسية⁩

A geometric series $\sum ar^n$ converges only when $|r|<1$, summing to $\frac{a}{1-r}$. Change the ratio and watch the partial sums settle or blow up. · ⁨متسلسلة هندسية $\sum ar^n$ تتقارب فقط عندما $|r|<1$، وتجمع لتصبح $\frac{a}{1-r}$. غيّر النسبة وشاهد كيف تستقر المجاميع الجزئية أو تنفجر.⁩

10.3

The nth Term Test for Divergence · ⁨اختبار الحد النوني للتباعد⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-7): Applying limits may allow us to determine the finite sum of infinitely many terms.

Learning Objective LIM-7.A: Determine whether a series converges or diverges. BC ONLY

LIM-7.A.5 The $n$th term test is a test for divergence of a series. BC ONLY

العربية

فهم دائم (LIM-7): تطبيق النهايات قد يسمح لنا بحساب المجموع المحدد لعدد لا نهائي من الحدود.

هدف التعلم LIM-7.A: تحديد ما إذا كانت المتسلسلة متقاربة أم متباعدة. لأجل BC فقط

LIM-7.A.5 اختبار الحد الـ $n$ هو اختبار للتباعد المتسلسل. BC فقط

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

If the terms do not shrink to zero, the sum cannot settle: if $\lim_{n\to\infty}a_n\neq0$, the series diverges. This is only a test for divergence – if the terms do go to zero, the test is inconclusive (the series may still diverge, like the harmonic series). Always check this quick test first.

العربية

إذا لم تتناقص الحدود إلى الصفر، فإن المجموع لا يستقر: إذا $\lim_{n\to\infty}a_n\neq0$، فإن المتسلسلة متباعدة. هذا اختبار لـ التباعد فقط – إذا كانت الحدود تتجه إلى الصفر، يكون الاختبار غير حاسم (قد لا تزال المتسلسلة متباعدة، مثل المتسلسلة التوافقية). تحقق دائمًا من هذا الاختبار السريع أولاً.

10.4

Integral Test for Convergence · ⁨اختبار التكامل للتقارب⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-7): Applying limits may allow us to determine the finite sum of infinitely many terms.

Learning Objective LIM-7.A: Determine whether a series converges or diverges. BC ONLY

LIM-7.A.6 The integral test is a method to determine whether a series converges or diverges. BC ONLY

العربية

فهم دائم (LIM-7): تطبيق النهايات قد يسمح لنا بحساب المجموع المحدد لعدد لا نهائي من الحدود.

هدف التعلم LIM-7.A: تحديد ما إذا كانت المتسلسلة متقاربة أم متباعدة. لأجل BC فقط

LIM-7.A.6 اختبار التكامل هو طريقة لتحديد ما إذا كانت المتسلسلة تتقارب أم تتباعد. BC فقط

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

If $a_n=f(n)$ for a positive, decreasing, continuous $f$, then $\sum a_n$ and $\int_1^\infty f(x)\,dx$ both converge or both diverge. The integral test 积分判别法 turns a series question into an improper-integral question, and it is what proves the p-series rule below.

العربية

إذا $a_n=f(n)$ لدالة موجبة، متناقصة، ومتصلة $f$، فإن $\sum a_n$ و$\int_1^\infty f(x)\,dx$ يتقاربان معًا أو يتباعدان معًا. يحول اختبار التكامل مسألة المتسلسلة إلى مسألة تكامل غير معتدل، وهو ما يثبت قاعدة متسلسلات p أدناه.

10.5

Harmonic Series and p-Series · ⁨المتسلسلة التوافقية ومتسلسلات p⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-7): Applying limits may allow us to determine the finite sum of infinitely many terms.

Learning Objective LIM-7.A: Determine whether a series converges or diverges. BC ONLY

LIM-7.A.7 In addition to geometric series, common series of numbers include the harmonic series, the alternating harmonic series, and $p$-series. BC ONLY

العربية

فهم دائم (LIM-7): تطبيق النهايات قد يسمح لنا بحساب المجموع المحدد لعدد لا نهائي من الحدود.

هدف التعلم LIM-7.A: تحديد ما إذا كانت المتسلسلة متقاربة أم متباعدة. لأجل BC فقط

LIM-7.A.7 بالإضافة إلى المتسلسلات الهندسية، تشمل المتسلسلات العددية الشائعة المتسلسلة التوافقية، والمتسلسلة التوافقية المتناوبة، ومتسلسلات $p$. BC فقط

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

A p-series $\sum \dfrac{1}{n^p}$ converges if $p>1$ and diverges if $p\le1$. The special case $p=1$, $\sum\dfrac1n$, is the harmonic series 调和级数 – it diverges even though its terms go to zero (a famous, must-know fact). The p-series family is the standard yardstick for comparison tests.

العربية

متسلسلة p $\sum \dfrac{1}{n^p}$ تتقارب إذا $p>1$ وتتباعد إذا $p\le1$. الحالة الخاصة $p=1$، $\sum\dfrac1n$، هي المتسلسلة التوافقية – وهي متباعدة على الرغم من أن حدودها تؤول إلى الصفر (حقيقة مشهورة يجب معرفتها). عائلات متسلسلات p هي المقياس القياسي للاختبارات المقارنة.

10.6

Comparison Tests for Convergence · ⁨اختبارات المقارنة للتقارب⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-7): Applying limits may allow us to determine the finite sum of infinitely many terms.

Learning Objective LIM-7.A: Determine whether a series converges or diverges. BC ONLY

LIM-7.A.8 The comparison test is a method to determine whether a series converges or diverges. BC ONLY
LIM-7.A.9 The limit comparison test is a method to determine whether a series converges or diverges. BC ONLY

العربية

فهم دائم (LIM-7): تطبيق النهايات قد يسمح لنا بحساب المجموع المحدد لعدد لا نهائي من الحدود.

هدف التعلم LIM-7.A: تحديد ما إذا كانت المتسلسلة متقاربة أم متباعدة. لأجل BC فقط

LIM-7.A.8 اختبار المقارنة هو طريقة لتحديد ما إذا كانت المتسلسلة تتقارب أم تتباعد. BC فقط
LIM-7.A.9 اختبار المقارنة الحدي هو طريقة لتحديد ما إذا كانت المتسلسلة تتقارب أم تتباعد. BC فقط

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Compare an unfamiliar series to a known one (a p-series or geometric series):

Direct comparison 直接比较: if $0\le a_n\le b_n$ and $\sum b_n$ converges, so does $\sum a_n$; if $a_n\ge b_n\ge0$ and $\sum b_n$ diverges, so does $\sum a_n$.
Limit comparison 极限比较: if $\lim\dfrac{a_n}{b_n}$ is a finite positive number, the two series do the same thing. This is easier when the terms only behave like a known series.

العربية

قارن متسلسلة غير مألوفة بأخرى معروفة (متسلسلة p أو متسلسلة هندسية):

المقارنة المباشرة: إذا $0\le a_n\le b_n$ و$\sum b_n$ تتقارب، فإن $\sum a_n$ تتقارب أيضًا؛ إذا $a_n\ge b_n\ge0$ و$\sum b_n$ تتباعد، فإن $\sum a_n$ تتباعد أيضًا.
المقارنة بالحدود: إذا $\lim\dfrac{a_n}{b_n}$ هو عدد محدود وموجب، فإن المتسلسلتين تفعلان نفس الشيء. هذا أسهل عندما تكون الحدود تتصرف فقط مثل متسلسلة معروفة.

10.7

Alternating Series Test for Convergence · ⁨اختبار المتسلسلة المتناوبة للتقارب⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-7): Applying limits may allow us to determine the finite sum of infinitely many terms.

Learning Objective LIM-7.A: Determine whether a series converges or diverges. BC ONLY

LIM-7.A.10 The alternating series test is a method to determine whether an alternating series converges. BC ONLY

العربية

فهم دائم (LIM-7): تطبيق النهايات قد يسمح لنا بحساب المجموع المحدد لعدد لا نهائي من الحدود.

هدف التعلم LIM-7.A: تحديد ما إذا كانت المتسلسلة متقاربة أم متباعدة. لأجل BC فقط

LIM-7.A.10 اختبار المتسلسلة المتناوبة هو طريقة لتحديد ما إذا كانت المتسلسلة المتناوبة تتقارب. BC فقط

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

An alternating series 交错级数 has terms that switch sign, $\sum(-1)^n b_n$. It converges if the $b_n$ are positive, decreasing, and $\lim b_n=0$. This lets series like $\sum\dfrac{(-1)^n}{n}$ converge even though the same terms without the signs (the harmonic series) diverge.

العربية

المتسلسلة المتناوبة لها حدود تتغير إشارتها، $\sum(-1)^n b_n$. تتقارب إذا كانت $b_n$ موجبة، متناقصة، و$\lim b_n=0$. هذا يسمح لمتسلسلات مثل $\sum\dfrac{(-1)^n}{n}$ بالتقارب على الرغم من أن نفس الحدود بدون الإشارات (المتسلسلة التوافقية) تتباعد.

10.8

Ratio Test for Convergence · ⁨اختبار النسبة للتقارب⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-7): Applying limits may allow us to determine the finite sum of infinitely many terms.

Learning Objective LIM-7.A: Determine whether a series converges or diverges. BC ONLY

LIM-7.A.11 The ratio test is a method to determine whether a series of numbers converges or diverges. BC ONLY
- Exclusion statement: The nth term test for divergence, and the integral test, comparison test, limit comparison test, alternating series test, and ratio test for convergence are assessed on the AP Calculus BC Exam. Other methods are not assessed on the exam. However, teachers may include additional methods in the course, if time permits.

العربية

فهم دائم (LIM-7): تطبيق النهايات قد يسمح لنا بحساب المجموع المحدد لعدد لا نهائي من الحدود.

هدف التعلم LIM-7.A: تحديد ما إذا كانت المتسلسلة متقاربة أم متباعدة. لأجل BC فقط

LIM-7.A.11 اختبار النسبة هو طريقة لتحديد ما إذا كانت متسلسلة أعداد تتقارب أم تتباعد. BC فقط
- عبارة الاستبعاد: يُختبر اختبار الحد النوني للتباعد، واختبار التكامل، واختبار المقارنة، واختبار المقارنة الحدي، واختبار المتسلسلة المتناوبة، واختبار النسبة للتقارب في امتحان AP Calculus BC. لا يتم اختبار طرق أخرى في الامتحان. ومع ذلك، قد يضيف المعلمون طرقاً إضافية إلى المنهج الدراسي، إذا سمح الوقت بذلك.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

The ratio test 比值判别法 examines $L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|$:

$L<1$: the series converges absolutely;
$L>1$: it diverges;
$L=1$: inconclusive.

It is the go-to test for series with factorials or $n$th powers, and it is exactly how you find the radius of convergence of a power series.

Worked example. Test $\displaystyle\sum \frac{n}{2^n}$. The ratio is $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{n+1}{2^{n+1}}\cdot\dfrac{2^n}{n}=\dfrac{n+1}{2n}\to\dfrac12<1$, so the series converges.

العربية

يفحص اختبار النسبة $L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|$:

$L<1$: المتسلسلة تتقارب مطلقاً;
$L>1$: هي متباعدة;
$L=1$: غير حاسم.

هو الاختبار المفضل للمتسلسلات ذات العوامل أو الأسس $n$th، وهو بالضبط الطريقة التي تجد بها نصف قطر تقارب متسلسلة القوى.

مثال محلول. اختبر $\displaystyle\sum \frac{n}{2^n}$. النسبة هي $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{n+1}{2^{n+1}}\cdot\dfrac{2^n}{n}=\dfrac{n+1}{2n}\to\dfrac12<1$، لذا فإن المتسلسلة تتقارب.

10.9

Determining Absolute or Conditional Convergence · ⁨تحديد التقارب المطلق أو الشرطي⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-7): Applying limits may allow us to determine the finite sum of infinitely many terms.

Learning Objective LIM-7.A: Determine whether a series converges or diverges. BC ONLY

LIM-7.A.12 A series may be absolutely convergent, conditionally convergent, or divergent. BC ONLY
LIM-7.A.13 If a series converges absolutely, then it converges. BC ONLY
LIM-7.A.14 If a series converges absolutely, then any series obtained from it by regrouping or rearranging the terms has the same value. BC ONLY

العربية

فهم دائم (LIM-7): تطبيق النهايات قد يسمح لنا بحساب المجموع المحدد لعدد لا نهائي من الحدود.

هدف التعلم LIM-7.A: تحديد ما إذا كانت المتسلسلة متقاربة أم متباعدة. لأجل BC فقط

LIM-7.A.12 قد تكون المتسلسلة متقاربة مطلقاً، أو متقاربة شرطياً، أو متباعدة. BC فقط
LIM-7.A.13 إذا كانت المتسلسلة متقاربة مطلقاً، فإنها تتقارب. BC فقط
LIM-7.A.14 إذا كانت المتسلسلة متقاربة مطلقاً، فإن أي متسلسلة يتم الحصول عليها منها بإعادة تجميع أو إعادة ترتيب الحدود لها نفس القيمة. BC فقط

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

A series converges absolutely 绝对收敛 if $\sum|a_n|$ converges. It converges conditionally 条件收敛 if $\sum a_n$ converges but $\sum|a_n|$ diverges (the classic example is $\sum\dfrac{(-1)^n}{n}$). Absolute convergence is the stronger property; conditional convergence relies on the cancellation of signs.

العربية

تتقارب المتسلسلة تقارباً مطلقاً إذا $\sum|a_n|$ تتقارب. تتقارب تقارباً شرطياً إذا $\sum a_n$ تتقارب لكن $\sum|a_n|$ تتباعد (المثال الكلاسيكي هو $\sum\dfrac{(-1)^n}{n}$). التقارب المطلق هو الخاصية الأقوى؛ يعتمد التقارب الشرطي على إلغاء الإشارات.

10.10

Alternating Series Error Bound · ⁨حد خطأ المتسلسلة المتناوبة⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-7): Applying limits may allow us to determine the finite sum of infinitely many terms.

Learning Objective LIM-7.B: Approximate the sum of a series. BC ONLY

LIM-7.B.1 If an alternating series converges by the alternating series test, then the alternating series error bound can be used to bound how far a partial sum is from the value of the infinite series. BC ONLY

العربية

فهم دائم (LIM-7): تطبيق النهايات قد يسمح لنا بحساب المجموع المحدد لعدد لا نهائي من الحدود.

هدف التعلم LIM-7.B: تقريب مجموع متسلسلة. لأجل BC فقط

LIM-7.B.1 إذا كانت متسلسلة متناوبة متقاربة باختبار المتسلسلة المتناوبة، فيمكن استخدام حد خطأ المتسلسلة المتناوبة لتحديد مقدار انحراف حد جزئي عن قيمة المتسلسلة اللانهائية. لأجل BC فقط

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

For a convergent alternating series, the error in stopping at the $N$th partial sum is no larger than the first omitted term:

$$|S-S_N|\le b_{N+1}.$$

This simple, powerful bound lets you say how many terms guarantee a desired accuracy.

العربية

بالنسبة لـ متسلسلة متناوبة متقاربة، يكون الخطأ في التوقف عند المجموع الجزئي $N$ لا يتجاوز الحد الأول المستبعد:

$$|S-S_N|\le b_{N+1}.$$

يسمح لك هذا الحد البسيط والقوي بقول عدد الحدود التي تضمن دقة مطلوبة.

10.11

Finding Taylor Polynomial Approximations of Functions · ⁨إيجاد تقريبيات كثيرات حدود تايلور للدوال⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-8): Power series allow us to represent associated functions on an appropriate interval.

Learning Objective LIM-8.A: Represent a function at a point as a Taylor polynomial. BC ONLY

LIM-8.A.1 The coefficient of the $n$th degree term in a Taylor polynomial for a function $f$ centered at $x = a$ is $\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}$. BC ONLY
LIM-8.A.2 In many cases, as the degree of a Taylor polynomial increases, the $n$th degree polynomial will approach the original function over some interval. BC ONLY

Learning Objective LIM-8.B: Approximate function values using a Taylor polynomial. BC ONLY

LIM-8.B.1 Taylor polynomials for a function $f$ centered at $x = a$ can be used to approximate function values of $f$ near $x = a$. BC ONLY

العربية

فهم دائم (LIM-8): تسمح متسلسلات القوى بتمثيل الدوال المرتبطة بها على فترة مناسبة.

هدف التعلم LIM-8.A: تمثيل دالة عند نقطة كمتعدد حدود تايلور. لأجل BC فقط

LIM-8.A.1 معامل الحد من الدرجة $n$ في متعدد حدود تايلور لدالة $f$ مركزه $x = a$ هو $\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}$. لأجل BC فقط
LIM-8.A.2 في العديد من الحالات، كلما زاد درجة متعدد حدود تايلور، اقترب متعدد حدود الدرجة $n$ من الدالة الأصلية على مدى فترة معينة. لأجل BC فقط

هدف التعلم LIM-8.B: تقريب قيم الدالة باستخدام متعدد حدود تايلور. لأجل BC فقط

LIM-8.B.1 يمكن استخدام متعددات حدود تايلور لدالة $f$ مركزها $x = a$ لتقريب قيم الدالة لـ $f$ القريبة من $x = a$. لأجل BC فقط

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Taylor series approximation

A Taylor polynomial 泰勒多项式 approximates a function near a center $x=a$ using its derivatives there:

$$P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k.$$

Each added term matches one more derivative, so the polynomial hugs the curve more closely near $a$. Centered at $a=0$ it is a Maclaurin polynomial.

Exam skill: be able to build a Taylor polynomial from a table of derivative values and use it to estimate a function value.

العربية

تقريب متسلسلة تايلور

كثير حدود تايلور يقرب دالة بالقرب من مركز $x=a$ باستخدام مشتقاتها هناك:

$$P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k.$$

كل حد مضاف يطابق مشتقة إضافية، لذا يعانق كثير الحدود المنحنى بشكل أقرب靠近 $a$. يتمركز عند $a=0$، فهو كثير حدود ماكلورين.

كثيرات حدود تايلور لـ sin x تعانق المنحنى بشكل أكبر كلما زاد الدرجة — كثيرات حدود ماكلورين لـ $\sin x$ – $T_1=x$، $T_3$، $T_5$ – كل منها يطابق مشتقة إضافية عند $0$، لذا يعانق كل منها $\sin x$ على نطاق أوسع قبل الانفصال.

مهارة الامتحان: أن تكون قادراً على بناء كثير حدود تايلور من جدول قيم المشتقات واستخدامه لتقدير قيمة الدالة.

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
Taylor polynomial/ˈteɪlə ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/	كثير حدود تايلور
Lagrange error bound/ˈlæɡreɪndʒ ˈerə baʊnd/	حد خطأ لاغرانج
power series/ˈpaʊə ˈsɪəriːz/	متسلسلة القوى
radius of convergence/ˈreɪdɪəs ɒv kənˈvɜːdʒəns/	نصف قطر التقارب
interval of convergence/ˈɪntəvl ɒv kənˈvɜːdʒəns/	فترة التقارب

10.12

Lagrange Error Bound · ⁨حد خطأ لاغرانج⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-8): Power series allow us to represent associated functions on an appropriate interval.

Learning Objective LIM-8.C: Determine the error bound associated with a Taylor polynomial approximation. BC ONLY

LIM-8.C.1 The Lagrange error bound can be used to determine a maximum interval for the error of a Taylor polynomial approximation to a function. BC ONLY
LIM-8.C.2 In some situations, the alternating series error bound can be used to bound the error of a Taylor polynomial approximation to the value of a function. BC ONLY

العربية

فهم دائم (LIM-8): تسمح متسلسلات القوى بتمثيل الدوال المرتبطة بها على فترة مناسبة.

هدف التعلم LIM-8.C: تحديد حد الخطأ المرتبط بتقريب متعدد حدود تايلور. لأجل BC فقط

LIM-8.C.1 يمكن استخدام حد خطأ لاغرانج لتحديد الحد الأقصى لفترة الخطأ في تقريب متعدد حدود تايلور لدالة ما. لأجل BC فقط
LIM-8.C.2 في بعض الحالات، يمكن استخدام حد خطأ المتسلسلة المتناوبة لتحديد حد خطأ تقريب متعدد حدود تايلور لقيمة دالة ما. لأجل BC فقط

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

The Lagrange error bound 拉格朗日误差界 bounds how far a Taylor polynomial can be from the true value:

$$|R_n(x)|\le\frac{\max\big|f^{(n+1)}(z)\big|}{(n+1)!}\,|x-a|^{\,n+1}.$$

You bound the $(n+1)$th derivative on the interval, then compute – the standard way to prove a Taylor estimate is accurate enough.

العربية

حد خطأ لاغرانج يحدد مدى ابتعاد كثير حدود تايلور عن القيمة الحقيقية:

$$|R_n(x)|\le\frac{\max\big|f^{(n+1)}(z)\big|}{(n+1)!}\,|x-a|^{\,n+1}.$$

تحدها $(n+1)$th المشتقة على الفترة، ثم احسب – الطريقة القياسية لإثبات أن تقدير تايلور دقيق بما يكفي.

10.13

Radius and Interval of Convergence of Power Series · ⁨نصف قطر وفترتا تقارب متسلسلة القوى⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-8): Power series allow us to represent associated functions on an appropriate interval.

Learning Objective LIM-8.D: Determine the radius of convergence and interval of convergence for a power series. BC ONLY

LIM-8.D.1 A power series is a series of the form $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-r)^n$, where $n$ is a non-negative integer, $\{a_n\}$ is a sequence of real numbers, and $r$ is a real number. BC ONLY
LIM-8.D.2 If a power series converges, it either converges at a single point or has an interval of convergence. BC ONLY
LIM-8.D.3 The ratio test can be used to determine the radius of convergence of a power series. BC ONLY
LIM-8.D.4 The radius of convergence of a power series can be used to identify an open interval on which the series converges, but it is necessary to test both endpoints of the interval to determine the interval of convergence. BC ONLY
LIM-8.D.5 If a power series has a positive radius of convergence, then the power series is the Taylor series of the function to which it converges over the open interval. BC ONLY
LIM-8.D.6 The radius of convergence of a power series obtained by term-by-term differentiation or term-by-term integration is the same as the radius of convergence of the original power series. BC ONLY

العربية

فهم دائم (LIM-8): تسمح متسلسلات القوى بتمثيل الدوال المرتبطة بها على فترة مناسبة.

هدف التعلم LIM-8.D: تحديد نصف قطر التقارب ومجال تقارب متسلسلة القوى. BC فقط

LIM-8.D.1 متسلسلة القوى هي متسلسلة من الشكل $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-r)^n$، حيث $n$ عدد صحيح غير سالب، و$\{a_n\}$ متتالية من الأعداد الحقيقية، و$r$ عدد حقيقي. BC فقط
LIM-8.D.2 إذا كانت متسلسلة قوى متقاربة، فإنها إما تتقارب عند نقطة واحدة أو يكون لها مجال تقارب. BC فقط
LIM-8.D.3 يمكن استخدام اختبار النسبة لتحديد نصف قطر تقارب متسلسلة القوى. BC فقط
LIM-8.D.4 يمكن استخدام نصف قطر تقارب متسلسلة القوى لتحديد مجال مفتوح تتقارب فيه المتسلسلة، ولكن من الضروري اختبار طرفي المجال معاً لتحديد مجال التقارب. BC فقط
LIM-8.D.5 إذا كانت متسلسلة قوى لها نصف قطر تقارب موجب، فإن متسلسلة القوى تمثل متسلسلة تايلور للدالة التي تتقارب إليها على المجال المفتوح. BC فقط
LIM-8.D.6 نصف قطر تقارب متسلسلة قوى تم الحصول عليها عن طريق الاشتقاق أو التكامل حدًا بحد هو نفسه نصف قطر تقارب متسلسلة القوى الأصلية. BC فقط

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

A power series 幂级数 $\sum c_n(x-a)^n$ converges for $x$ within a radius of convergence 收敛半径 $R$ of the center $a$. Find $R$ with the ratio test. Then test the two endpoints separately (the ratio test is inconclusive there) to state the full interval of convergence 收敛区间 – including or excluding each endpoint.

Worked example. Find the radius of convergence of $\displaystyle\sum \frac{x^n}{n}$. The ratio test gives $\left|\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\cdot\dfrac{n}{x^n}\right|=|x|\dfrac{n}{n+1}\to|x|$, which is $<1$ when $|x|<1$, so $R=1$. Testing the endpoints, $x=-1$ gives the convergent alternating harmonic series and $x=1$ the divergent harmonic series, so the interval is $[-1,1)$.

العربية

تتقارب متسلسلة القوى $\sum c_n(x-a)^n$ لـ $x$ داخل نصف قطر التقارب $R$ من المركز $a$. أوجد $R$ باستخدام اختبار النسبة. ثم اختبر النقطتين الطرفيتين منفصلتين (اختبار النسبة غير حاسم هناك) لتحديد فترة التقارب الكاملة – مع تضمين أو استبعاد كل نقطة طرفية.

مثال محلول. أوجد نصف قطر تقارب $\displaystyle\sum \frac{x^n}{n}$. يعطي اختبار النسبة $\left|\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\cdot\dfrac{n}{x^n}\right|=|x|\dfrac{n}{n+1}\to|x|$، وهو $<1$ عندما $|x|<1$، لذا $R=1$. عند اختبار النقاط الطرفية، $x=-1$ يعطي المتسلسلة التوافقية المتناوبة المتقاربة و$x=1$ المتسلسلة التوافقية المتباعدة، لذا الفترة هي $[-1,1)$.

10.14

Finding Taylor or Maclaurin Series for a Function · ⁨إيجاد متسلسلة تايلور أو ماكلورين لدالة⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-8): Power series allow us to represent associated functions on an appropriate interval.

Learning Objective LIM-8.E: Represent a function as a Taylor series or a Maclaurin series. BC ONLY

LIM-8.E.1 A Taylor polynomial for $f(x)$ is a partial sum of the Taylor series for $f(x)$. BC ONLY

Learning Objective LIM-8.F: Interpret Taylor series and Maclaurin series. BC ONLY

LIM-8.F.1 The Maclaurin series for $\dfrac{1}{1-x}$ is a geometric series. BC ONLY
LIM-8.F.2 The Maclaurin series for $\sin x$, $\cos x$, and $e^x$ provides the foundation for constructing the Maclaurin series for other functions. BC ONLY

العربية

فهم دائم (LIM-8): تسمح متسلسلات القوى بتمثيل الدوال المرتبطة بها على فترة مناسبة.

هدف التعلم LIM-8.E: تمثيل دالة كمتسلسلة تايلور أو متسلسلة ماكلورين. BC فقط

LIM-8.E.1 كثير حدود تايلور لـ $f(x)$ هو مجموع جزئي لمتسلسلة تايلور لـ $f(x)$. BC فقط

هدف التعلم LIM-8.F: تفسير متسلسلات تايلور وماكلورين. BC فقط

LIM-8.F.1 متسلسلة ماكلورين لـ $\dfrac{1}{1-x}$ هي متسلسلة هندسية. BC فقط
LIM-8.F.2 متسلسلات ماكلورين لـ $\sin x$ و$\cos x$ و$e^x$ توفر الأساس لبناء متسلسلات ماكلورين لدوال أخرى. BC فقط

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Extending a Taylor polynomial to infinitely many terms gives a Taylor (or Maclaurin) series. Memorize the key Maclaurin series:

$$e^x=\sum\frac{x^n}{n!},\quad \sin x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad \cos x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!},\quad \frac{1}{1-x}=\sum x^n.$$

New series come from manipulating these – substituting, differentiating, integrating, or multiplying.

Worked example. Find the Maclaurin series for $e^{x^2}$. Substitute $x^2$ for $x$ in $e^x=\sum\dfrac{x^n}{n!}$:

$$e^{x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x^2)^n}{n!}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\cdots,$$

which converges for all $x$. This substitution trick is far faster than differentiating $e^{x^2}$ six times.

العربية

تمديد كثير حدود تايلور إلى عدد لا نهائي من الحدود يعطي متسلسلة تايلور (أو ماكلورين). احفظ متسلسلات ماكلورين الرئيسية:

$$e^x=\sum\frac{x^n}{n!},\quad \sin x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad \cos x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!},\quad \frac{1}{1-x}=\sum x^n.$$

تأتي المتسلسلات الجديدة من التلاعب بهذه – التعويض، الاشتقاق، التكامل، أو الضرب.

مثال محلول. أوجد متسلسلة ماكلورين لـ $e^{x^2}$. عوض $x^2$ لـ $x$ في $e^x=\sum\dfrac{x^n}{n!}$:

$$e^{x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x^2)^n}{n!}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\cdots,$$

التي تتقارب لجميع $x$. هذه الحيلة التعويضية أسرع بكثير من اشتقاق $e^{x^2}$ ست مرات.

كل حد ماكلورين إضافي يعانق الدالة على نطاق أوسع

Explore · ⁨استكشف⁩

The function a Taylor series approximates · ⁨الدالة التي تقر بها متسلسلة تايلور⁩

y = asin(bx + c) + d

A Taylor series builds a function from its derivatives at a point; more terms hug the curve (here $\sin x$) over a wider range. · ⁨متسلسلة تايلور تبني دالة من مشتقاتها عند نقطة؛ semakin many terms hugging the curve (here $\sin x$) over a wider range.⁩

10.15

Representing Functions as Power Series · ⁨تمثيل الدوال كمتسلسلة قوى⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-8): Power series allow us to represent associated functions on an appropriate interval.

Learning Objective LIM-8.G: Represent a given function as a power series. BC ONLY

LIM-8.G.1 Using a known series, a power series for a given function can be derived using operations such as term-by-term differentiation or term-by-term integration, and by various methods (e.g., algebraic processes, substitutions, or using properties of geometric series). BC ONLY

العربية

فهم دائم (LIM-8): تسمح متسلسلات القوى بتمثيل الدوال المرتبطة بها على فترة مناسبة.

هدف التعلم LIM-8.G: تمثيل دالة معطاة كمتسلسلة قوى. BC فقط

LIM-8.G.1 باستخدام متسلسلة معلومة، يمكن اشتقاق متسلسلة قوى لدالة معينة باستخدام عمليات مثل الاشتقاق أو التكامل حدًا بحد، وبطرق مختلفة (مثل العمليات الجبرية، التعويضات، أو استخدام خصائص المتسلسلات الهندسية). BC فقط

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Because a power series can be differentiated and integrated term by term (within its radius), you can build new series from known ones – e.g. integrate the geometric series for $\dfrac{1}{1-x}$ to get the series for $-\ln(1-x)=\sum_{n\ge 1}\dfrac{x^n}{n}$, or substitute $-x^2$ to get the series for $\dfrac{1}{1+x^2}$. Representing a function as a power series lets you approximate values and integrals that have no elementary antiderivative.

Exam skill: the BC series free-response usually asks you to derive a new Maclaurin series from a known one, find its interval of convergence, and use the alternating-series or Lagrange bound to estimate the error – the capstone skills of the course.

العربية

نظرًا لأن المتسلسلة القوى يمكن تفاضلها وتكاملها حدًا بحد (ضمن نصف قطرها)، يمكنك بناء متسلسلات جديدة من المتسلسلات المعروفة – مثلاً، تكامل المتسلسلة الهندسية لـ $\dfrac{1}{1-x}$ للحصول على متسلسلة لـ $-\ln(1-x)=\sum_{n\ge 1}\dfrac{x^n}{n}$، أو التعويض بـ $-x^2$ للحصول على متسلسلة لـ $\dfrac{1}{1+x^2}$. تمثيل دالة كمتسلسلة قوى يتيح لك تقريب القيم والتكاملات التي لا تحتوي على مشتقات عكسية ابتدائية.

مهارة الامتحان: عادةً ما يطلب سؤال الاستجابة الحرة لمتسلسلات BC اشتقاق متسلسلة ماكلورين جديدة من متسلسلة معروفة، وإيجاد فترة تقاربها، واستخدام حد المتسلسلة المتناوبة أو لاغرانج لتقدير الخطأ – مهارات الذروة في المقرر.

10.15

Exam tips · ⁨نصائح للامتحان⁩

English

Test a series for convergence with the right tool: geometric ($|r|<1$, sum $\tfrac{a}{1-r}$), $n$th-term, ratio, integral, comparison, or alternating-series test.
A geometric infinite sum converges only when $|r|<1$; otherwise it diverges.
Build a Taylor/Maclaurin series to approximate a function; more terms give a better fit near the centre.
Know the standard Maclaurin series for $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, and $\tfrac{1}{1-x}$.
Find the radius/interval of convergence with the ratio test, then check the endpoints separately.

العربية

اختبر متسلسلة ما إذا كانت متقاربة باستخدام الأداة المناسبة: هندسية ($|r|<1$، مجموع $\tfrac{a}{1-r}$)، اختبار الحد النوني $n$، النسبي، التكامل، المقارنة، أو متسلسلة إشارية.
متسلسلة هندسية لانهائية تتقارب فقط عندما $|r|<1$؛ وإلا فإنها تتباعد.
بنية متسلسلة تايلور/ماكلورين لتقريب دالة؛ فكلما زادت الحدود كان التقريب أفضل قرب المركز.
تعرف على متسلسلات ماكلورين القياسية لـ $e^x$، $\sin x$، $\cos x$، و$\tfrac{1}{1-x}$.
أوجد نصف قطر/فترة التقارب باستخدام اختبار النسبة، ثم افحص الأطراف بشكل منفصل.