يتناول هذا المستند الموضوع 2: الرياضيات البحتة 2. يضيف القيمة المطلقة وجبر كثيرات الحدود، واللوغاريتمات والدالة الأسية، ومزيد من مثلثيات، وطرق جديدة للتفاضل والتكامل.
رياضيات بحتة 2
A-Level الرياضيات · الموضوع 2
12:32
رياضيات بحتة 2
في عام ألفين وواحد عشر، زلزال قبالة اليابان قُسِّم بتسعة على مقياس ريشتر. زلزال أصغر قد يُقيَّم بستة. فرق ثلاث نقاط فقط — ومع ذلك الأول…
سرد باللغة الإنجليزية · ترجمة مدمجة بالإنجليزية + الصينية
2.1
جبر
المنهج
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| فهم معنى $|x|$، ورسم بيانية $y = |ax + b|$ واستخدام علاقات مثل $|a| = |b| \iff a^2 = b^2$ و $|x - a| < b \iff a - b < x < a + b$ عند حل المعادلات والمتباينات | لا تشمل بيانيات $y = |f(x)|$ و $y = f(|x|)$ للدوال غير الخطية $f$. على سبيل المثال $|3x - 2| = |2x + 7|$، $2x + 5 < |x + 1|$ |
| قسمة كثير حدود من الدرجة لا تتجاوز 4 على كثير حدود خطي أو تربيعي، وتحديد الحاصل و الباقي (الذي قد يكون صفراً) | |
| استخدام نظرية العامل و نظرية الباقي. | على سبيل المثال لإيجاد العوامل والبقايا، وحل معادلات كثير الحدود أو تقييم المعاملات المجهولة. بما في ذلك عوامل من الشكل $(ax + b)$ حيث معامل $x$ ليس واحداً، بما في ذلك حساب البواقي. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
القيمة المطلقة
القيمة المطلقة $|x|$ هي مقدار العدد بدون إشارته، لذا $|x| \geqslant 0$ دائماً. رسم $y = |ax + b|$ يأخذ شكل "V" يرتد من محور $x$. قاعدتان مفيدتان لحل المعادلات والمتباينات هما
$$|a| = |b| \;\Leftrightarrow\; a^2 = b^2, \qquad |x - a| < b \;\Leftrightarrow\; a - b < x < a + b.$$
مثال محلول. حل $|3x + 8| < 9$.
باستخدام القاعدة الثانية مع كتابة المتباينة على شكل $-9 < 3x + 8 < 9$:
$$-9 < 3x + 8 < 9 \;\Rightarrow\; -17 < 3x < 1 \;\Rightarrow\; -\tfrac{17}{3} < x < \tfrac13.$$
قسمة كثيرات الحدود ونظريات العامل والباقي
كثير الحدود هو مجموع قوى $x$، مثل $2x^4 + 3x^2 - 5$. درجة كثير الحدود هي أعلى قوة. عند قسمة كثير حدود بآخر، تحصل على خارج قسمة وباقي.
- نظرية الباقي: الباقي عندما تقسم $p(x)$ على $(x - a)$ هو $p(a)$.
- نظرية العامل: $(x - a)$ هو عامل لـ $p(x)$ بالضبط عندما $p(a) = 0$.
مثال محلول. كثير الحدود $p(x) = 2x^4 + kx^3 + kx^2 + 17x + 18$ له عامل $(x + 2)$. أوجد $k$.
وفقاً لنظرية العامل $p(-2) = 0$:
$$2(16) + k(-8) + k(4) + 17(-2) + 18 = 0 \;\Rightarrow\; 16 - 4k = 0 \;\Rightarrow\; k = 4.$$
استكشف
دالة القيمة المطلقة
y = a|x − b| + c
تجعل القيمة المطلقة الشكل V. حرك رأسها باستخدام b و c؛ غيّر مدى انحدار أذرعها باستخدام a.
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| Pure Mathematics/pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | الرياضيات البحتة |
| logarithms/ˈlɒɡərɪθəmz/ | اللوغاريتمات |
| exponential function/ˌekspəˈnenʃl ˈfʌŋkʃn/ | دالة أسية |
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | المقياس |
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | كثيرة حدود |
| degree/dɪˈɡriː/ | الدرجة |
| quotient/ˈkwəʊʃənt/ | المقام |
| remainder/rɪˈmeɪndə/ | الباقي |
| remainder theorem/rɪˈmeɪndə ˈθɪərəm/ | نظرية الباقي |
| factor theorem/ˈfæktə ˈθɪərəm/ | نظرية العامل |
| indices/ˈɪndɪsiːz/ | الأسس |
| laws of logarithms/lɔːz ɒv ˈlɒɡərɪθəmz/ | قوانين اللوغاريتمات |
| natural logarithm/ˈnætʃərəl ˈlɒɡərɪθəm/ | اللوغاريتم الطبيعي |
| linear form/ˈlɪnɪə fɔːm/ | الصيغة الخطية |
2.2
الدوال اللوغاريتمية والأسية
المنهج
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| فهم العلاقة بين اللوغاريتمات و الأسس، واستخدام قواعد اللوغاريتمات (باستثناء تغيير الأساس) | |
| فهم تعريف وخصائص $e^x$ و $\ln x$، بما في ذلك علاقتهما كـ دوال عكسية وبيانياتهما | بما في ذلك معرفة بيانية $y = e^{kx}$ لكل من القيم الموجبة والسالبة لـ $k$. |
| استخدام اللوغاريتمات لحل المعادلات والمتباينات التي يظهر فيها المجهول في الأسس | على سبيل المثال $2^x < 5$، $3 \times 2^{3x-1} < 5$، $3^{x+1} = 4^{2x-1}$ |
| استخدم اللوغاريتمات لتحويل علاقة معطاة إلى صيغة خطية، ومن ثم تحديد الثوابت المجهولة عن طريق النظر في الميل و/أو المقطع. | مثل: $y = kx^n$ يعطي $\ln y = \ln k + n \ln x$ وهو خطي بالنسبة لـ $\ln x$ و $\ln y$ $y = k(a^x)$ يعطي $\ln y = \ln k + x \ln a$ وهو خطي بالنسبة لـ $x$ و $\ln y$. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
اللوغاريتم يجيب عن سؤال "أي قوة؟". إذا $a^x = y$ فإن $x = \log_a y$. اللوغاريتمات والأسس (القوى) أفكار عكسية. قوانين اللوغاريتمات هي
$$\log(mn) = \log m + \log n, \qquad \log\!\frac{m}{n} = \log m - \log n, \qquad \log(m^k) = k\log m.$$
الدالة الأسية $e^x$ واللوغاريتم الطبيعي $\ln x$ دوال عكسية، لذا $\ln(e^x) = x$ و $e^{\ln x} = x$. عندما يكون المجهول في القوة، خذ اللوغاريتم للطرفين.
مثال محلول. حل $4^x < 0.05$.
$$4^x < 0.05 \;\Rightarrow\; x\ln 4 < \ln 0.05 \;\Rightarrow\; x < \frac{\ln 0.05}{\ln 4} = -2.16 \ (\text{3 أرقام معنوية}).$$
الشكل الخطي: علاقة مثل $y = Ax^n$ تصبح خطاً مستقيماً إذا أخذت اللوغاريتمات: $\ln y = \ln A + n\ln x$. رسم $\ln y$ مقابل $\ln x$ يعطي خطاً بميل $n$ وتقاطع $\ln A$، لذا يمكنك إيجاد الثوابت المجهولة.
استكشف
النمو الأسي
y = a·bˣ
غيّر القاعدة b: عندما b > 1 ينمو المنحنى، وعندما 0 < b < 1 يتلاشى — ويمر دائماً عبر (0, a).
2.3
حساب المثلثات
المنهج
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| فهم العلاقة بين دوال القاطع، التمام القاطع و التمام الظل وجيب التمام وجيب الظل، واستخدام خصائص ورسوم بيانية للدوال المثلثية الستة زوايا ذات أي مقدار | |
| استخدام المتطابقات المثلثية لتبسيط وتقييم العبارات بدقة، وفي سياق حل المعادلات، واختيار متطابقة أو متطابقات مناسبة للسياق، موضحاً الإلمام بالتحديد باستخدام: – $\sec^2 \theta \equiv 1 + \tan^2 \theta$ و $\csc^2 \theta \equiv 1 + \cot^2 \theta$ – مفكوكات $\sin(A \pm B)$، $\cos(A \pm B)$ و $\tan(A \pm B)$ – الصيغ الخاصة بـ $\sin 2A$، $\cos 2A$ و $\tan 2A$ – تعبير $a \sin \theta + b \cos \theta$ بالصيغ $R \sin(\theta \pm \alpha)$ و $R \cos(\theta \pm \alpha)$. | مثال: تبسيط $\cos(x - 30^\circ) - 3 \sin(x - 60^\circ)$. مثال: حل $\tan \theta + \cot \theta = 4$، $2 \sec^2 \theta - \tan \theta = 5$، $3 \cos \theta + 2 \sin \theta = 1$. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
هناك ثلاث دوال أخرى، كل منها مقلوب واحدة تعرفها: الكوسيك $\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}$، والكوسينك $\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}$، والكوتنجنت $\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta}$.
يجب أن تعرف هذه الهويات المثلثية وتختار المناسبة لكل مشكلة:
$$\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta, \qquad \csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta.$$
تستخدم أيضاً صيغ زاوية مركبة لـ $\sin(A \pm B)$، $\cos(A \pm B)$، $\tan(A \pm B)$، وصيغ الزاوية المزدوجة
$$\sin 2A = 2\sin A\cos A, \quad \cos 2A = 2\cos^2 A - 1, \quad \tan 2A = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A},$$
ومعادلة R-formula $a\sin\theta + b\cos\theta = R\sin(\theta + \alpha)$، حيث $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ و$\tan\alpha = \dfrac{b}{a}$.
مثال محلول. حل $2\tan^2\theta + 3\sec\theta = 18$ لـ $-180^\circ < \theta < 180^\circ$.
استبدل $\tan^2\theta$ بـ $\sec^2\theta - 1$ للحصول على دالة واحدة:
$$2(\sec^2\theta - 1) + 3\sec\theta = 18 \;\Rightarrow\; 2\sec^2\theta + 3\sec\theta - 20 = 0 \;\Rightarrow\; (2\sec\theta - 5)(\sec\theta + 4) = 0.$$
إذن $\sec\theta = \tfrac52$ أو $\sec\theta = -4$، مما يعطي $\cos\theta = \tfrac25$ أو $\cos\theta = -\tfrac14$. الحلول هي $\theta = \pm 66.4^\circ$ و $\theta = \pm 104.5^\circ$.
استكشف
الدائرة الوحدة
اسحب الزاوية لرؤية العلاقة بين $\sin$ و$\cos$ و$\tan$ — المفتاح لحل المعادلات المثلثية.
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| secant/ˈsiːkənt/ | المماسي |
| cosecant/ˈkəʊsekənt/ | قاطع الجيب |
| cotangent/ˈkəʊtændʒənt/ | الظل |
| trigonometric identities/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk aɪˈdentɪtiz/ | الهويات المثلثية |
| compound angle/ˈkɒmpaʊnd ˈæŋɡl/ | زاوية مركبة |
| double angle/ˈdʌbl ˈæŋɡl/ | زاوية مضاعفة |
| R-formula/ɑː ˈfɔːmjʊlə/ | صيغة R |
| product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | قاعدة الضرب |
| quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | قاعدة القسمة |
| parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/ | المعادلات البارامترية |
| implicitly/ɪmˈplɪsɪtli/ | ضمنياً |
2.4
الاشتقاق
المنهج
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| استخدام مشتقات $e^x$، $\ln x$، $\sin x$، $\cos x$، $\tan x$، جنباً إلى جنب مع المضاعفات الثابتة والمجموع والفرق والتركيب | |
| اشتقاق الضرب والقسمة | مثال: $\frac{2x - 4}{3x + 2}$، $x^2 \ln x$، $x e^{1 - x^2}$. |
| إيجاد واستخدام المشتقة الأولى لدالة مُعرَّفة بشكل بارامتري أو ضمني. | مثال: $x = t - e^{2t}$، $y = t + e^{2t}$. مثال: $x^2 + y^2 = xy + 7$. بما في ذلك الاستخدام في مسائل涉及 المسالك العمودية والأعمدة. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
احفظ هذه المشتقات القياسية:
$$\frac{d}{dx}e^x = e^x, \quad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}, \quad \frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \quad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x, \quad \frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x.$$
بالنسبة لحاصل ضرب أو قسمة دالتين، استخدم:
- قاعدة الضرب: $(uv)' = u'v + uv'$;
- قاعدة القسمة: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.
عندما يُعطى منحنى بـ معادلات بارامترية $x = x(t)$، $y = y(t)$، يكون الميل $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$. عندما $y$ مُعرّف ضمنياً (لم يتم جعله موضوعاً)، اشتق كل حد بالنسبة لـ $x$، باستخدام قاعدة السلسلة على حدود $y$، ثم حل لإيجاد $\dfrac{dy}{dx}$.
مثال محلول. معطى $y = 6x\cos(x^2 + 1)$، أوجد $\dfrac{dy}{dx}$.
استخدم قاعدة الضرب مع $u = 6x$ و $v = \cos(x^2 + 1)$ (وقاعدة السلسلة لـ $v$):
$$\frac{dy}{dx} = 6\cos(x^2 + 1) + 6x\cdot\big(-2x\sin(x^2 + 1)\big) = 6\cos(x^2 + 1) - 12x^2\sin(x^2 + 1).$$
استكشف
المماس والانحدار
y = ax³ + bx² + cx + d
حرك النقطة: خط المماس هو المشتقة عند ذلك الـ x. حيث يلتوي المنحنى يكون الانحدار صفراً.
2.5
التكامل
المنهج
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| • توسيع مفهوم 'الاشتقاق العكسي' ليشمل تكامل $e^{ax + b}$، $\frac{1}{ax + b}$، $\sin(ax + b)$، $\cos(ax + b)$ و $\sec^2(ax + b)$ | لا يُشترط معرفة الطريقة العامة لـ التكامل بالتعويض. |
| • استخدام العلاقات المثلثية في إجراء التكامل | مثال: استخدام صيغ الزاوية المزدوجة لتكامل $\sin^2 x$ أو $\cos^2(2x)$. |
| • فهم واستخدام قاعدة شبه المنحرف لتقدير قيمة التكامل المحدد. | بما في ذلك استخدام الرسوم البيانية التقريبية في الحالات البسيطة لتحديد ما إذا كانت قاعدة شبه المنحرف تعطي تقديراً مبالغاً فيه أو مقصراً. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
التكامل هو تفاضل عكسي — عكس كل مشتقة جديدة؛ التكاملات الأصعب قد تحتاج إلى تكامل بالتعويض (مُطوَّرة في الرياضيات البحتة 3). لدالة داخلية خطية $(ax + b)$:
$$\int e^{ax+b}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax+b} + C, \qquad \int \frac{1}{ax+b}\,dx = \frac{1}{a}\ln|ax + b| + C,$$
$$\int \sin(ax+b)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(ax+b) + C, \qquad \int \cos(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}\sin(ax+b) + C, \qquad \int \sec^2(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}\tan(ax+b) + C.$$
لإجراء تكامل قوة لـ $\sin$ أو $\cos$، استخدم أولاً متطابقة لإزالة القوة. عندما لا تتمكن من إجراء التكامل بدقة، يُقدّر قاعدة شبه المنحرف التكامل المحدد:
$$\int_a^b y\,dx \approx \tfrac{h}{2}\big[y_0 + y_n + 2(y_1 + y_2 + \cdots + y_{n-1})\big].$$
مثال محلّل. أوجد $\displaystyle\int 6\sin^2 x\,dx$.
استخدم $\sin^2 x = \tfrac12(1 - \cos 2x)$:
$$\int 6\sin^2 x\,dx = \int (3 - 3\cos 2x)\,dx = 3x - \tfrac32\sin 2x + C.$$
استكشف
المساحة تحت المنحنى
المساحة = ∫ f(x) dx
لا يزال التكامل يقيس المساحة — اسحب a و b لتجميع الشريط تحت المنحنى.
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| trapezium rule/trəˈpiːzɪəm ruːl/ | قاعدة شبه المنحرف |
2.6
الحل العددي للمعادلات
المنهج
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| • تحديد جذر المعادلة تقريبياً، عن طريق الاعتبارات البيانية و/أو البحث عن تغير الإشارة | مثال: إيجاد زوج من الأعداد الصحيحة المتتالية التي يقع فيها الجذر. |
| • فهم فكرة، واستخدام رمز، لسلسلة من التقاربات التي تتقارب نحو جذر لمعادلة | |
| • فهم كيفية ارتباط صيغة تكرارية بسيطة معطاة من الشكل $x_{n + 1} = \text{F}(x_n)$ بالمعادلة المُحلَّلة، واستخدام تكرار معطى، أو تكرار مبني على إعادة ترتيب معطى لمعادلة، لتحديد جذر بدقة محددة مسبقاً. | لا يُدرج شرط الـ التقارب، ولكن يُتوقع أن يكون هناك فهم بأن التكرار قد يفشل في التقارب. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
لا يمكن حل العديد من المعادلات بدقة. فكرتان تساعدانك في إيجاد جذر (حل).
- تغير الإشارة: إذا كان $f(a)$ و$f(b)$ لهما إشارات مختلفة (وكان الرسم البياني متصلاً بينهما)، يوجد جذر بين $a$ و$b$.
- التكرار: أعد ترتيب المعادلة على الصورة $x = F(x)$، ثم استخدم الصيغة التكرارية $x_{n+1} = F(x_n)$. ابدأ بتخمين أولي $x_0$ وأعد العملية. إذا كانت القيم متقاربة، فإنها تستقر وتتقارب نحو جذر. استمر حتى يصبح الجواب ثابتاً بدقة المطلوبة.
مثال محلول. جذر $\beta$ لمعادلة يحقق $x = \sqrt[3]{-2x - 4.5}$، و$-1.4 < \beta < -1.0$. استخدم التكرار $x_{n+1} = \sqrt[3]{-2x_n - 4.5}$ مع $x_0 = -1.2$.
$$x_1 = \sqrt[3]{-2(-1.2) - 4.5} = \sqrt[3]{-2.1} = -1.281, \qquad x_2 = \sqrt[3]{-2(-1.281) - 4.5} = -1.247, \quad \ldots$$
القيم تستقر قرب $-1.26$، إذن $\beta = -1.26$ (3 أرقام معنوية).
استكشف
أين الجذر؟
y = ax³ + bx² + cx + d
الجذر هو حيث يعبر المنحنى الصفر. التغير في الإشارة في f(x) يحبس جذراً بين قيمتي x.
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| root/ruːt/ | جذر |
| sign change/saɪn tʃeɪndʒ/ | تغيير الإشارة |
| iteration/ˌɪtəˈreɪʃn/ | التكرار |
| iterative formula/ˈɪtərətɪv ˈfɔːmjʊlə/ | صيغة تكرارية |
| converge/kənˈvɜːdʒ/ | يتقارب |
| integration by substitution/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | التكامل بالتعويض |
2.6
نصائح للامتحان
- استخدم قوانين اللوغاريتمات لحل المعادلات؛ تذكر أن $\ln$ و$e^x$ دوال عكسية.
- بالنسبة للـ الطرق العددية، أظهر تغير إشارة لتحديد موقع الجذر، وعرض التكرار بوضوح، وقدم الإجابة بدقة محددة.
- احفظ قواعد السلسلة والجداء والقسمة وحدد أيها يحتاجه الدالة.
- حل معادلات القيمة المطلقة $|f(x)| = g(x)$ عن طريق النظر في الحالتين الموجبة والسالبة، ورسم مخطط للتحقق.
دروس تفاعلية حول هذا الموضوع
ا-working عليه خطوة بخطوة، مع تمارين تحقق فوري.