定量数据的推断：均值

持久理解（VAR-1）： 由于变异可能是随机的，也可能不是随机的，因此结论具有不确定性。

学习目标 VAR-1.I： 识别由统计推断中的误差概率所提出的问题。[技能 1.A]

• VAR-1.I.1 随机变异可能导致统计推断中出现误差。

持久性理解 (VAR-7)： $t$-分布可用于建模变异。

学习目标 VAR-7.A： 描述 $t$-分布。[技能 3.C]

• VAR-7.A.1 当使用 $s$ 代替 $\sigma$ 计算检验统计量时，相应的分布（称为 $t$-分布）在形状上正态分布有所不同，即密度曲线尾部的面积分配比正态分布更多。
• VAR-7.A.2 随着自由度增加，$t$-分布尾部的面积减少。

持久性理解 (UNC-4)： 应使用值区间来估计参数，以考虑不确定性。

学习目标 UNC-4.O： 识别适用于总体均值（包括匹配对中数值平均差异）的适当置信区间程序。[技能 1.D]

• UNC-4.O.1 因为对于定量变量分布，$\sigma$ 通常未知，所以用于估计单个样本中一个定量变量的总体均值的适当置信区间程序是用于均值的单样本 $t$-区间。
• UNC-4.O.2 对于一个服从正态分布的定量变量 $X$，$t = \dfrac{(\overline{x} - \mu)}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$ 的分布是一个具有 $n-1$ 自由度的 $t$-分布。
• UNC-4.O.3 匹配对可视为一对对的单个样本。一旦找到配对值之间的差异，置信区间的推断过程与总体均值相同。

学习目标 UNC-4.P： 验证计算总体均值（包括匹配对中数值平均差异）置信区的条件。[技能 4.C]

• UNC-4.P.1 为了计算估计总体均值的置信区间，我们必须检查独立性以及抽样分布是否近似正态：
  • a. 检查独立性：
    • i. 数据应使用随机样本或随机实验收集。
    • ii. 在不放回抽样时，检查 $n \leq 10\%N$，其中 $N$ 是总体大小。
  • b. 检查 $\overline{x}$ 的抽样分布是否近似正态（形状）：
    • i. 如果观测分布偏斜，$n$ 应大于 30。
    • ii. 如果样本量小于 30，样本数据的分布应无严重偏斜和异常值。

学习目标 UNC-4.Q： 确定给定样本量的单样本 $t$-区间的边际误差。[技能 3.D]

• UNC-4.Q.1 具有 $n-1$ 自由度的临界值 $t^*$ 可以使用表格或计算机生成的输出找到。
• UNC-4.Q.2 样本均值的标准误由 $SE = \dfrac{s}{\sqrt{n}}$ 给出，其中 $s$ 是样本标准差。
• UNC-4.Q.3 对于用于均值的单样本 $t$-区间，边际误差是临界值（$t^*$）乘以标准误（$SE$），等于 $t^*\left(\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right)$。

学习目标 UNC-4.R： 计算总体均值的适当置信区间，包括匹配对中数值平均差异。[技能 3.D]

• UNC-4.R.1 总体均值的点估计是样本均值，$\overline{x}$。
• UNC-4.R.2 对于总体标准差未知的单个样本的总体均值，置信区间为 $\overline{x} \pm t^* \dfrac{s}{\sqrt{n}}$。

边界声明： AP 统计学考试提供的 AP 统计学公式表上没有明确列出区间估计的公式。但是，不需要死记硬背这些公式，因为它们可以根据公式表中提供的一般检验统计量公式和相关标准误公式构建出来。

持久理解 (UNC-4)： 应使用一组数值的区间来估计参数，以考虑不确定性。

学习目标 UNC-4.S： 解释总体均值的置信区间，包括匹配对中数值之差的均值。[技能 4.B]

• UNC-4.S.1 总体均值的置信区间要么包含总体均值，要么不包含，因为每个区间都是基于来自随机样本的数据构建的，而该数据随样本的不同而变化。
• UNC-4.S.2 我们有 C% 的把握认为总体均值的置信区间包含了总体均值。
• UNC-4.S.3 对总体均值置信区间的解释应包括对所取样本的引用以及关于其所代表总体的详细信息。
  • UNC-4.S.3 说明示例： 针对根据洞穴中特定随机选定的脚印样本，解释所有在洞穴中发现的脚印的平均脚长的 96% 置信区间：“我们有 96% 的把握认为洞穴中发现的所有脚印的平均脚长落在该置信区间内”（基于 2000 年自由回答题 2）。

学习目标 UNC-4.T： 基于总体均值的置信区间论证一项主张，包括匹配对中数值之差的均值。[技能 4.D]

• UNC-4.T.1 总体均值的置信区间提供了一组数值范围，这组范围可能为支持特定情境下的某项主张提供充分证据。

学习目标 UNC-4.U： 识别总体均值的样本量、置信区间宽度、置信水平与边际误差之间的关系。[技能 4.A]

• UNC-4.U.1 当其他条件保持不变时，随着样本量的增加，总体均值的置信区间宽度倾向于减小。
• UNC-4.U.2 对于单个均值，区间的宽度与 $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ 成正比。
• UNC-4.U.3 对于给定的样本，随着置信水平的提高，总体均值的置信区间宽度会增加。

持久理解 (VAR-7): $t$-分布可用于模拟变异。

学习目标 VAR-7.B: 识别适用于总体均值（$\sigma$ 未知）的适当检验方法，包括配对观测值之间的均值差。[技能 1.E]

• VAR-7.B.1 适用于 $\sigma$ 未知的总体均值的适当检验是单样本 $t$-检验。
• VAR-7.B.2 配对观测可被视为一组配对样本。在计算出每对观测值之间的差异后，显著性检验的推断过程与针对总体均值的检验相同。

学习目标 VAR-7.C: 识别适用于总体均值（$\sigma$ 未知）的原假设和备择假设，包括配对观测值之间的均值差。[技能 1.F]

• VAR-7.C.1 针对总体均值的单样本 $t$-检验的原假设为 $H_0 : \mu = \mu_0$，其中 $\mu_0$ 为假设值。根据具体情况，备择假设为 $H_a : \mu < \mu_0$、$H_a : \mu > \mu_0$ 或 $H_a : \mu \neq \mu_0$。
• VAR-7.C.2 当计算配对观测值之间的均值差 $\mu_d$ 时，明确减法的顺序至关重要。

学习目标 VAR-7.D: 验证适用于总体均值的检验条件，包括配对观测值之间的均值差。[技能 4.C]

• VAR-7.D.1 在对总体均值进行统计推断时，必须检查独立性和抽样分布是否近似正态：
  • a. 检查独立性：
    • i. 数据应通过随机样本或随机实验收集。
    • ii. 在不放回抽样时，需检查 $n \leq 10\%N$。
  • b. 检查 $\overline{x}$ 的抽样分布是否近似正态（形状）：
    • i. 若观测分布呈偏态，则 $n$ 应大于 30。
    • ii. 若样本量小于 30，则样本数据的分布应无强偏态和异常值。

持久理解 (VAR-7)： $t$ 分布可用于模拟变异。

学习目标 VAR-7.E： 计算适用于总体均值的检验统计量，包括配对数据中数值之差的均值。[技能 3.E]

• VAR-7.E.1 对于单个定量变量，当从可建模为正态分布（均值为 $\mu$，标准差为 $\sigma$）的总体中进行有放回随机抽样时，检验统计量 $t = \dfrac{\overline{x} - \mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$ 的抽样分布服从自由度为 $n - 1$ 的 $t$ 分布。

边界说明： AP 统计学考试提供的公式表上并未显式列出检验统计量的公式。然而，这些公式无需背诵，因为它们可以根据通用的检验统计量公式以及公式表中提供的相关标准误公式推导得出。

持久理解 (DAT-3)： 显著性检验使我们能够在特定背景下对假设做出判断。

学习目标 DAT-3.E： 解释针对总体均值的显著性检验的 $p$ 值，包括配对数据中数值之差的均值。[技能 4.B]

• DAT-3.E.1 解释针对总体均值的显著性检验的 $p$ 值时，应认识到 $p$ 值是在假设原假设为真的前提下计算得出的，即假设真实的总体均值等于原假设中陈述的特定值。

学习目标 DAT-3.F： 基于针对总体均值的显著性检验结果，就总体提出主张并提供理由。[技能 4.E]

• DAT-3.F.1 正式的决策会明确将 $p$ 值与显著性水平 $\alpha$ 进行比较。如果 $p$ 值 $\leq \alpha$，则拒绝原假设 $H_0 : \mu = \mu_0$；如果 $p$ 值 $> \alpha$，则不拒绝原假设。
• DAT-3.F.2 针对总体均值的显著性检验结果可作为统计推理依据，以支持关于已抽样总体的研究问题的答案。

持久理解 (UNC-4)： 应使用数值区间来估计参数，以考虑不确定性。

学习目标 UNC-4.V： 识别适用于两个总体均值之差的适当置信区间程序。[技能 1.D]

• UNC-4.V.1 考虑来自总体 1 的样本量为 $n_1$、均值为 $\mu_1$、标准差为 $\sigma_1$ 的简单随机样本，以及来自总体 2 的样本量为 $n_2$、均值为 $\mu_2$、标准差为 $\sigma_2$ 的第二个简单随机样本。如果总体 1 和总体 2 的分布是正态的，或者如果 $n_1$ 和 $n_2$ 都大于 30，那么均值之差 $\overline{x}_1 - \overline{x}_2$ 的抽样分布也是正态的。$\overline{x}_1 - \overline{x}_2$ 的抽样分布的均值为 $\mu_1 - \mu_2$。$\overline{x}_1 - \overline{x}_2$ 的标准差为 $\sqrt{\dfrac{(\sigma_1)^2}{n_1} + \dfrac{(\sigma_2)^2}{n_2}}$。
• UNC-4.V.2 对于两个独立样本的一个定量变量，适当的置信区间程序是两个样本 $t$ 区间的总体均值之差。

学习目标 UNC-4.W： 验证计算两个总体均值之差的置信区间的条件。[技能 4.C]

• UNC-4.W.1 为了计算用于估计总体均值之差的置信区间，我们必须检查独立性以及抽样分布是否近似正态：
  • a. 检查独立性：
    • i. 数据应通过两个独立的随机样本或随机实验收集。
    • ii. 当不放回抽样时，检查 $n_1 \leq 10\%N_1$ 且 $n_2 \leq 10\%N_2$。
  • b. 检查 $(\overline{x}_1 - \overline{x}_2)$ 的抽样分布应近似正态（形状）：
    • i. 如果观测到的分布是偏斜的，则 $n_1$ 和 $n_2$ 都应大于 30。

学习目标 UNC-4.X： 确定两个总体均值之差的边际误差。[技能 3.D]

• UNC-4.X.1 对于两个样本均值之差，边际误差等于临界值 ($t^*$) 乘以两均值之差的標準誤 ($SE$)。
• UNC-4.X.2 具有样本标准差 $s_1$ 和 $s_2$ 的两个样本均值之差的標準誤为 $\sqrt{\dfrac{(s_1)^2}{n_1} + \dfrac{(s_2)^2}{n_2}}$。

学习目标 UNC-4.Y： 计算两个总体均值之差的适当置信区间。[技能 3.D]

• UNC-4.Y.1 两个总体均值之差的一点估计值是样本均值之差，$\overline{x}_1 - \overline{x}_2$。
• UNC-4.Y.2 对于总体标准差未知的两个总体均值之差，置信区间为 $(\overline{x}_1 - \overline{x}_2) \pm t^* \sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}$，其中 $\pm t^*$ 是对应于具有适当自由度的 $t$ 分布中心 C% 部分的临界值，可通过技术工具查找。

边界说明： AP 统计考试提供的公式表中未明确列出区间估计的公式。然而，这些公式无需背诵，因为它们可以根据公式表上提供的一般检验统计量公式和相关標準誤公式构建得出。

持久理解 (UNC-4)： 应使用数值区间来估计参数，以考虑不确定性。

学习目标 UNC-4.Z： 解释两个总体均值之差的置信区间。[技能 4.B]

• UNC-4.Z.1 在样本量相同的重复随机抽样中，大约 C% 的置信区间会包含总体均值之差。
• UNC-4.Z.2 对两个总体均值之差的置信区间的解释应提及所抽取的样本以及它们所代表的总体的详细信息。
  • UNC-4.Z.2 示例： 对于解释两个消防站平均响应时间之差（北部 - 南部）的置信区间：“根据这些样本，我们可以有 95% 的把握认为，总体平均响应时间之差（北部 - 南部）介于 -2.37 分钟和 0.37 分钟之间”（2009年自由回答题 4）。

学习目标 UNC-4.AA： 基于两个总体均值之差的置信区间论证一项声明。[技能 4.D]

• UNC-4.AA.1 两个总体均值之差的置信区间提供了一个数值区间，该区间可能提供充分证据以支持特定情境下的某项声明。

学习目标 UNC-4.AB： 识别样本量对两个均值之差的置信区间宽度的影响。[技能 4.A]

• UNC-4.AB.1 在其他条件保持不变的情况下，随着样本量的增加，两个均值之差的置信区间的宽度往往会减小。

持久性理解 (VAR-7): $t$分布可用于建模变异。

学习目标 VAR-7.F: 为两个总体均值之差选择合适的检验方法。[技能 1.E]

• VAR-7.F.1 对于定量变量，用于检验两个总体均值之差的适当检验是两样本 $t$检验。

学习目标 VAR-7.G: 确定两个总体均值之差的零假设和备择假设。[技能 1.F]

• VAR-7.G.1 用于检验两个总体均值之差的两样本 $t$检验的零假设，针对 $\mu_1$ 和 $\mu_2$，为：$H_0 : \mu_1 - \mu_2 = 0$，或 $H_0 : \mu_1 = \mu_2$。备择假设为 $H_a : \mu_1 - \mu_2 < 0$，或 $H_a : \mu_1 - \mu_2 > 0$，或 $H_a : \mu_1 - \mu_2 \neq 0$，或 $H_a : \mu_1 > \mu_2$，或 $H_a : \mu_1 < \mu_2$，或 $H_a : \mu_1 \neq \mu_2$。

学习目标 VAR-7.H: 验证两个总体均值之差的显著性检验的条件。[技能 4.C]

• VAR-7.H.1 为了在检验总体均值之间的差异时进行统计推断，我们必须检查独立性和抽样分布是否近似正态：
  • a. 个体观测值应相互独立：
    • i. 数据应使用简单随机样本或随机实验收集。
    • ii. 当无放回抽样时，需检查 $n_1 \leq 10\%N_1$ 和 $n_2 \leq 10\%N_2$。
  • b. $\overline{x}_1 - \overline{x}_2$ 的抽样分布应近似正态（形状）。
    • i. 如果观察到的分布偏斜，则 $n_1$ 和 $n_2$ 都应大于 30。
    • ii. 如果样本量小于 30，则样本数据的分布不应存在强烈的偏斜和异常值。应对 BOTH 样本进行检查。

持久性理解 (VAR-7)： $t$分布可用于模拟变异。

学习目标 VAR-7.I： 计算适用于两均值差异的检验统计量。[技能 3.E]

• VAR-7.I.1 对于单个定量变量，使用来自两个总体的独立随机样本或随机实验收集的数据，且每个总体均可用正态分布建模时，$t = \dfrac{(\overline{x}_1 - \overline{x}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}}$的抽样分布是近似的$t$分布，其自由度可以使用技术工具求得。自由度介于$n_1 - 1$和$n_2 - 1$中的较小者与$n_1 + n_2 - 2$之间。
  • VAR-7.I.1 的示例： 在一项比较两种修复前交叉韧带（ACL）撕裂手术的平均恢复时间的研究中，接受一种手术的组样本量为 110，而接受另一种手术的组样本量为 100。自由度介于 100（110 和 100 中较小的一个）和 208（110 + 100 - 2）之间。自由度可以使用技术工具确定。如果该研究的检验统计量为 $t \approx 7.13$，则$p$值是$t$分布中大于 7.13 的面积，对应的自由度为$df = 207.18$（208 年自由回答题 4）。

边界说明： 检验统计量的公式并未明确出现在 AP 统计学考试提供的 AP 统计学公式表中。但是，这些公式不需要死记硬背，因为它们可以根据通用的检验统计量公式以及公式表中提供的每种相关检验统计量的标准误公式构建出来。

持久性理解 (DAT-3)： 显著性检验使我们能够在特定背景下对假设做出决策。

学习目标 DAT-3.G： 解释两总体均值差异显著性检验的$p$值。[技能 4.B]

• DAT-3.G.1 对两总体均值差异显著性检验的$p$值的解释应认识到，$p$值是在假设零假设为真（即假设真实的总体均值彼此相等）的情况下计算的。

学习目标 DAT-3.H： 根据两总体均值差异显著性检验的结果，在特定情境下证明关于总体的主张。[技能 4.E]

• DAT-3.H.1 正式决策将$p$值与显著性$\alpha$进行显式比较。如果$p$值$\leq \alpha$，则拒绝零假设，$H_0 : \mu_1 - \mu_2 = 0$，或$H_0 : \mu_1 = \mu_2$。如果$p$值$> \alpha$，则无法拒绝零假设。
• DAT-3.H.2 两样本两总体均值差异显著性检验的结果可以作为统计推理，支持关于所抽样总体的研究问题的答案。

本主题旨在聚焦于选择合适的推断程序这一技能。由于学生现已掌握多种选项，应提供充分机会让他们练习何时以及如何应用所有涉及比例或均值的推断学习目标。