AP 微积分 BC

微积分是变化(change)和累积(accumulation)的数学。它回答两个大问题:某物现在变化得多快,以及到目前为止积累了多少?第 1 单元构建两个问题都依赖的那一个工具——极限(limit)。

从一个谜题开始。一辆车的速度表读 $60$ km/h。那在一个单一的瞬间(instant)意味着什么?速度是距离除以时间。但在一个瞬间没有时间流逝而没有距离被覆盖,所以这个分数看起来像 $\tfrac{0}{0}$ ——未定义。

• 平均变化率(average rate of change)使用一整个区间(interval):一个量的变化除以另一个的变化。当输入的变化会是零时,它除以零,因而未定义。
• 瞬时变化率(instantaneous rate of change)是我们想要的在一个点的。它是随着区间朝零长度收缩,平均率所趋近(approaches)的值。

聪明的做法不是代入零(未定义),而是观察随着区间变得越来越小,平均率趋近什么。那个趋近的值是一个极限(limit)。所以微积分让我们描述一个瞬间的变化——作为越来越短区间上平均率的一个极限。这一个思想驱动导数(derivative)(第 2 单元),以及反向运行的积分(integral)(第 6 单元)。这个单元里其他一切都仔细地定义极限并可靠地计算它们。

给定一个函数 $f$,当 $x$ 趋近 $c$ 时 $f(x)$ 的极限是一个实数 $R$,若通过取 $x$ 足够(sufficiently)接近 $c$ ——但不等于 $c$ ——能使 $f(x)$ 任意地(arbitrarily)接近 $R$。我们写

最后的词是一个极限的核心:它描述 $f$ 在 $c$ 附近的行为(behavior),不是在 $c$ 处的值。函数可能在 $c$ 处未定义,或有定义但等于别的东西——极限不在乎。

一个极限能以三种方式展示:用图象(graphically)、用数值(numerically)(一张表),和用解析式(analytically)(代数)。学会在这些表示之间移动是一项核心技能。

(注:一个极限的 epsilon-delta 定义不在 AP 考试上考查,所以本讲义不使用它。)

一个图象常常是读一个极限最快的方式。要求 $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x)$,沿着曲线从每一侧朝 $x = c$ 运行你的手指并问:曲线正朝什么高度前进?

• 从左追踪(小于 $c$ 的输入):这给出左极限(left-hand limit),$\displaystyle \lim_{x \to c^-} f(x)$。
• 从右追踪(大于 $c$ 的输入):这给出右极限(right-hand limit),$\displaystyle \lim_{x \to c^+} f(x)$。
• 这些是单侧极限(one-sided limits)。若两者都朝相同的高度 $R$,那么双侧极限存在且 $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = R$。

关键地,忽略点本身。图象标出极限和值之间的差别:

• 一个空心圆(open circle)标出曲线趋近但不到达的一个高度——一个"空洞"(hole)。
• 一个实心圆(closed circle)标出实际的值 $f(c)$。

所以一条曲线可能从两侧都趋近 $R = 3$(极限是 $3$),而一个实心点坐在高度 $5$($f(c) = 5$)。极限是 $3$;两者不必匹配。

一个极限不存在(常写作 DNE),当两侧不一致(一个跳跃(jump))、当函数是无界(unbounded)的(无极限地增长),或当它在 $c$ 附近永远振荡(oscillates)时。例如:

注意一个图象的比例(scale):一张缩小的图片能隐藏一个点附近重要的行为,所以当你能够时用代数确认。

当你有数据或一个公式但没有图片时,一张值的表格(table)在数值上估计一个极限。选择从两侧向 $c$ 逼近的输入并观察输出。

例如,要估计 $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$(它在 $x=2$ 处是 $\tfrac{0}{0}$):

两侧都朝 $4$ 行进,所以我们估计极限是 $4$。一张表只暗示一个值——它是一个数值估计,不是一个证明。

大多数极限用极限定理(limit theorems)解析地求出。若 $\lim_{x\to c} f(x)$ 和 $\lim_{x\to c} g(x)$ 都存在,一个组合的极限是这些极限的相同组合:

• 和 / 差: $\displaystyle \lim_{x\to c}\big[f(x)\pm g(x)\big] = \lim_{x\to c}f(x) \pm \lim_{x\to c}g(x)$
• 积: $\displaystyle \lim_{x\to c}\big[f(x)\,g(x)\big] = \lim_{x\to c}f(x)\cdot\lim_{x\to c}g(x)$
• 商: $\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to c}f(x)}{\lim_{x\to c}g(x)}$,只要底部极限不是 $0$。
• 复合函数(composite):若 $g$ 在 $\lim_{x\to c} f(x)$ 处连续,那么 $\displaystyle \lim_{x\to c} g\big(f(x)\big) = g\!\left(\lim_{x\to c} f(x)\right)$。

实用的规则:对于一个由多项式、根式等构建的函数,先尝试直接代入(direct substitution)——把 $x = c$ 代进去。若你得到一个实数,那就是极限。单侧极限遵循相同的定理,只从一个方向读。

直接代入有时给出未定式(indeterminate form)$\tfrac{0}{0}$。这不意味着极限失败——它意味着你必须把函数重写成一个去除麻烦的等价形式(equivalent form),然后代入。三个标准的做法:

• 因式分解并约分(factor and cancel)一个有理函数(rational function)。例:$\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x\to 2}(x+2) = 4$。
• 乘以共轭(conjugate)以化简一个根式(radical)。例:$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{x}{x\big(\sqrt{x+1}+1\big)} = \frac{1}{2}$。
• 使用三角函数的替代形式(恒等式)来化简。

约去的因子是为什么原来的图象有一个空洞:这两个函数除了在 $x=c$ 处都一致,所以它们在那里共享相同的极限。

这是一个技能主题,不是新内容:为你面前的极限选择正确的工具。

1. 先尝试直接代入。 一个实数答案意味着你完成了。
2. 得到 $\tfrac{0}{0}$?重写——因式分解并约分,或用共轭,或一个三角恒等式——然后代入。
3. 一个非零数除以 $0$(像 $\tfrac{5}{0}$)?极限是无穷的或 DNE ——从每一侧检查符号(见下面的垂直渐近线)。
4. 当 $x\to\pm\infty$?比较主导(dominant)项(见无穷远处的极限)。
5. 被困在两个函数之间?夹逼定理(squeeze theorem)可能适用。

夹逼定理(squeeze theorem)(也叫三明治定理)通过把函数困在另外两个之间来求一个极限。若在 $c$ 附近 $g(x) \le f(x) \le h(x)$,而

以这种方式证明的两个著名结果,两者都贯穿微积分使用,是:

另一个技能主题:同一个极限存在于一个图象、一张表和一个代数形式里,而你应当能够在它们之间转换。一个图象显示形状和任何空洞或跳跃;一张表给出数值证据;代数给出一个精确的值和一个理由。强的答案用一种表示去确认另一种。

一个函数在 $c$ 处间断(discontinuous),当它的图象在那里"断裂"时。有三种类型:

• 可去间断(removable discontinuity)——一个单一的空洞。双侧极限存在,但点缺失或错位。
• 跳跃间断(jump discontinuity)——两个单侧极限存在但不一致,所以曲线跳跃。
• 无穷间断(infinite discontinuity)——函数在一条垂直渐近线(vertical asymptote)处爆炸到 $\pm\infty$。

连续性由一个三部分测试定义。一个函数 $f$ 在 $x=c$ 处连续(continuous),恰好当所有三个都成立时:

用文字说:点在那里、极限在那里,而两者一致。若任何一个失败,$f$ 在 $c$ 处间断。这个测试是几乎每个连续性问题的支柱,所以把它作为一个检查清单来学。

一个函数在区间上连续(continuous on an interval),若它在那个区间的每个点都连续。你很少逐点检查,因为整个族在它们的定义域上连续:

多项式、有理、幂、指数(exponential)、对数(logarithmic),和三角(trigonometric)函数在它们定义域的每个点都连续。

所以一个有理函数处处连续,除了它的分母是零的地方;$\ln x$ 对 $x>0$ 连续;等等。知道这个让你能快速而正确地声明连续性。

若极限在一个空洞处存在,间断是可去的(removable):在那一个点重新定义函数使它等于极限,而图象就被修复。形式上,把缺失的值设为 $\displaystyle \lim_{x\to c} f(x)$。

对于一个分段函数(piecewise-defined function),在一个边界 $x=c$ 处的连续性需要两段相遇:左段的值、右段的值,和 $f(c)$ 必须都相等。这是一个常见的考试设置——你求解一个使两段匹配的参数(parameter)(一个未知常数):

极限的思想延伸到无穷极限(infinite limits)。当一个函数在 $x=c$ 附近无界地增长时,我们写 $\lim_{x\to c} f(x) = \pm\infty$。这描述在 $x=c$ 处的一条垂直渐近线:图象紧贴垂直线 $x=c$ 并朝 $\pm\infty$ 射出。

这发生在一个非零数被某个趋近 $0$ 的东西除的地方,例如在一个不约去的分母的零点处。总是分别检查每一侧——两侧能射向相反的方向(一个到 $+\infty$,一个到 $-\infty$)。

我们也能让输入增长:无穷远处的极限(limits at infinity)描述一个函数当 $x\to\pm\infty$ 时的末端行为(end behavior)。若输出朝一个有限值 $L$ 稳定,那么 $y=L$ 是一条水平渐近线(horizontal asymptote)。

对于一个有理函数,比较上部和底部的次数(degrees):

• 上部次数 < 底部次数 $\Rightarrow$ 极限是 $0$(渐近线 $y=0$);
• 上部次数 = 底部次数 $\Rightarrow$ 极限是首项系数之比(ratio of the leading coefficients);
• 上部次数 > 底部次数 $\Rightarrow$ 函数是无界的(没有水平渐近线)。

更一般地,我们比较函数的相对大小(relative magnitudes)(相对增长率):在远处,一个指数击败任何多项式,而一个多项式击败任何对数。在考试上,"当 $t\to\infty$ 时,哪个量更大/率在哪里稳定?"用一个无穷远处的极限回答。

介值定理(Intermediate Value Theorem)是一个存在性定理(existence theorem)——它保证一个值存在而不告诉你在哪里:

若 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续,而 $d$ 是 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的任何数,那么在 $(a,b)$ 里有至少一个数 $c$ 满足 $f(c)=d$。

一条不断裂的曲线不能跳过它端点之间的一个高度——它必须通过每一个。

考试技能——如何用 IVT 论证。 这些问题几乎每年出现(例如,"必然有一个值 $c$ 满足 $R(c)=155$ 吗?"或"有一个时刻 $r'(t)=-6$ 吗?")。一个满分的论证有三个动作:

1. 陈述连续性。 说函数在 $[a,b]$ 上连续(常常因为它可微,或给定连续)。
2. 显示 $d$ 被困住。 计算两个端点值并显示目标 $d$ 位于它们之间,例如 $f(a) < d < f(b)$。
3. 按名称下结论。 "由介值定理,在 $(a,b)$ 里有一个 $c$ 满足 $f(c)=d$。"

跳过连续性陈述,或不显示 $d$ 在端点之间,会失分——定理要求两个条件。

Worked example. 求 $\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^2-5}{2x^2+x}$。把分子分母都除以最高次幂 $x^2$:$\dfrac{3-5/x^2}{2+1/x}\to\dfrac{3-0}{2+0}=\dfrac{3}{2}$。因为极限是一个有限数,直线 $y=\tfrac{3}{2}$ 是图像的一条水平渐近线。

• 一个极限描述 $f(x)$ 趋近什么,它不必等于 $f(a)$ ——只有当两侧一致时双侧极限才存在。
• 先尝试直接代入;对于一个 $\tfrac00$ 形式,在代入之前因式分解并约分或有理化。
• 一个函数在 $a$ 处连续,当极限存在、$f(a)$ 有定义,而它们相等时。
• 用介值定理来保证一个根:一个在 $[a,b]$ 上改变符号的连续函数取中间的每个值。
• 从末端行为(在 $\pm\infty$ 处的极限)读水平渐近线,而在分母(不是分子)是零的地方读垂直渐近线。

第 1 单元构建了极限。第 2 单元用它来定义导数(derivative)——一个点处的精确变化率。

在一个区间上,平均变化率是一个差商(difference quotient)。两个等价的形式出现:

$x=a$ 处的瞬时(instantaneous)变化率是随着区间收缩到零,差商所趋近的。这个极限就是 $a$ 处的导数,写作 $f'(a)$:

让点 $a$ 变化,导数就变成一个新函数:

$y=f(x)$ 导数的常见记号(notations)是:

几何意义。 一个点处的导数是那里图象的切线(tangent line)的斜率(slope)。所以 $x=a$ 处的切线通过 $\big(a, f(a)\big)$,斜率为 $f'(a)$:

你不总是有一个公式。当一个函数由一张表格(table)或一个图象给出时,用在 $a$ 周围一个小区间上的一个差商估计导数 $f'(a)$。一张在 $a$ 两侧都有值的表给出最好的估计:

考试技能(几乎每年出现)。 像"用 $M$ 在区间 $5 \le t \le 10$ 上的平均变化率近似 $M'(7.5)$"这样的问题正是要求这个差商。展示设置:

可导性比连续性更强。关键的关系:

若 $f$ 在一个点可导**(differentiable),那么 $f$ 在那里连续(continuous)。**

所以可导性蕴含连续性。反过来是假的:一个连续函数可以不可导。这发生的两种方式:

• 一个尖点(corner):左和右的差商极限不一致,如 $f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处。
• 一条垂直切线(vertical tangent):斜率是无穷的(没有实数),如 $f(x)=\sqrt[3]{x}$ 在 $x=0$ 处。

而且,$f$ 定义域之外的一个点不能在 $f'$ 的定义域里。在考试上用逆否命题:若 $f$ 在 $a$ 处不连续,那么 $f$ 在 $a$ 处不可导。

从这里我们每次用规则代替极限定义。幂法则(power rule)处理 $x$ 的任何幂:

这些规则让你逐项求导:

• 常数: $\dfrac{d}{dx}\,k = 0$(一个常数不变化)。
• 常数倍(constant multiple): $\dfrac{d}{dx}\big[k\,f(x)\big] = k\,f'(x)$。
• 和 / 差: $\dfrac{d}{dx}\big[f(x)\pm g(x)\big] = f'(x)\pm g'(x)$。

与幂法则结合,它们逐项求导任何多项式(polynomial)。例:

把这四个构建块导数记住:

一个真的是一个导数的极限(LIM-3.A.1)。 有时一个极限秘密地是一个已知导数的定义。若你认出

两个函数的一个乘积不通过把导数相乘来求导。用乘积法则(product rule):

对于一个商,用商法则(quotient rule):

其余的三角导数不被分别记忆——你用恒等式(identities)重写它们并应用商(或乘积)法则。例如,$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$,所以商法则给出

高阶导数。 再次对 $f'$ 求导给出二阶导数(second derivative)$f''(x)$(或 $\tfrac{d^2y}{dx^2}$)——变化率的变化率。一个像"求 $k''(3)$"的考试部分只意味着求导两次,然后代入。你也能通过把平均变化率方法应用于 $f'$ 值来从一张表估计一个二阶导数。

Worked example. 用商法则 $\left(\tfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ 求 $g(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ 的导数:取 $u=\sin x$,$v=x$,得 $g'(x)=\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^2}$。分子里保持顺序 $u'v-uv'$——交换这两项会翻转符号并丢分。

• 导数是切线的斜率——随着 $h\to0$ 割线斜率 $\tfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ 的极限。
• 记住规则:幂、乘积、商,以及 $\sin$、$\cos$、$e^x$ 和 $\ln x$ 的导数。
• 可导性蕴含连续性,但反之不然(一个尖点或尖角连续但不可导)。
• 区分平均变化率(一个区间上的割线斜率)和瞬时率(一个点处的导数)。
• 把一个切线方程给成 $y-f(a)=f'(a)(x-a)$。

第 2 单元求导单个函数。第 3 单元求导构建在其他函数里面的函数。链式法则(chain rule)求导一个复合函数(composite function)$f\big(g(x)\big)$:

在莱布尼茨记号里,以 $y=f(u)$ 和 $u=g(x)$,规则读作 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ ——中间的 $du$ 看起来"约去"。考试问题常常给出 $f$、$g$、$f'$、$g'$ 的一张表并要求 $h'(a)$,其中 $h(x)=f\big(g(x)\big)$;通过读值求 $f'\big(g(a)\big)\cdot g'(a)$。

Worked example. 求导 $h(x)=(2x^2+1)^5$。外函数是"(某物)$^5$"而里面是 $2x^2+1$:

一些曲线被隐式地定义——由一个 $x$ 和 $y$ 的、没有解出 $y$ 的方程,例如 $x^2+y^2=25$。隐函数求导(implicit differentiation)在不先解出 $y$ 的情况下求 $\dfrac{dy}{dx}$。它就是链式法则,把 $y$ 当作 $x$ 的一个函数。

方法:对 $x$ 求导两侧;每次你求导一个 $y$ 项时,乘以 $\dfrac{dy}{dx}$(链式法则);然后代数地解 $\dfrac{dy}{dx}$。对于 $x^2+y^2=25$:

Worked example. 求 $x^2+y^2=25$ 在 $(3,4)$ 处的切线。这里 $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3}{4}$,所以切线是 $y-4=-\tfrac{3}{4}(x-3)$ ——垂直于半径,正如几何所预测。

考试技能——"证明 $\dfrac{dy}{dx}=\ldots$"。 这个确切的提示大多数年份出现(例如"证明 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y}{y^2-2x}$")。因为目标被给出,你必须干净地显示每个代数步骤:求导两侧、对混合的 $xy$ 项用乘积/链式法则、把所有 $\dfrac{dy}{dx}$ 项收集到一侧、因式分解,并相除。一个跳过代数的正确最终行赢得很少。后续部分然后要求一条切线,或切线在哪里水平($\tfrac{dy}{dx}=0$,所以分子是 $0$)或垂直(分母是 $0$)。

若 $g$ 是 $f$ 的反函数(inverse function)(所以 $f(g(x))=x$),链式法则联系它们的导数:

Worked example. 若 $f(2)=5$ 而 $f'(2)=3$,且 $g$ 是 $f$ 的反函数,那么 $(5,2)$ 位于 $g$ 上而 $g'(5)=\dfrac{1}{f'(2)}=\dfrac{1}{3}$。

相同的思想给出反三角函数(inverse trigonometric functions)的导数。你应当知道的三个:

一个技能主题:真实的导数混合几个规则,所以先从外向内读表达式的结构。

• 它是一个和吗?逐项求导。
• 一个积或商?应用那个规则,并预期在里面用链式法则。
• 一个复合(某物在某物里面)?链式法则。
• 隐式地给出?隐函数求导。

命名最外层的运算、应用它的规则,并向内递归。整洁防止那些花费分数的符号和记账错误。

求导 $f'$ 产生二阶导数(second derivative)$f''$;重复给出高阶导数。这些记号:

• 对复合函数用链式法则——求导外面,然后乘里面的导数(最被遗忘的因子)。
• 对于隐式求导,对 $x$ 求导两侧并在每次 $y$ 被求导时附上 $\tfrac{dy}{dx}$,然后求解。
• 通过求导两次得到二阶导数(速度 → 加速度)。
• 在分层的表达式里仔细组合规则(积里面的链式,等等)。
• 反函数的图象是在 $y=x$ 里的反射;它的斜率是原函数在匹配点斜率的倒数。

一旦你能计算导数,你就用它们来描述现实世界。导数 $f'(x)$ 就是 $f$ 相对于它的输入的瞬时变化率。正确地读和报告这个率是一个评分的技能。

单位重要。 $f'(x)$ 的单位是 $f$ 的单位除以 $x$ 的单位。若 $C(t)$ 是英亩数而 $t$ 以周计,那么 $C'(t)$ 以英亩每周计。在考试上,"用正确的单位,解释 $g'(140)$ 的意义"想要一个完整的句子:值、量、率词"每",和时刻。例如:"$g'(140)=2.3$ 意味着在 $x=140$ 处,量以约 $2.3$ 单位每单位 $x$ 增加。"

对于在一条线上移动的一个质点,三个时间的函数由求导联系:

• 位置(position)$s(t)$;
• 速度(velocity)$v(t)=s'(t)$ ——有符号;它的符号给出方向;
• 加速度(acceleration)$a(t)=v'(t)=s''(t)$。

关键的读取(频繁的考试部分):

• 质点在 $v(t)=0$ 时静止(at rest)。
• 它在 $v(t)>0$ 时向右/上移动而在 $v(t)<0$ 时向左/下移动;它在 $v$ 改变符号的地方改变方向。
• 速率(speed)是 $|v(t)|$。速率增加当 $v$ 和 $a$ 有相同符号(质点在加速)时,而减少当它们有相反符号时。

仔细区分速度(有方向)和速率(没有)——考试考查这个确切的差别。

Worked example. 一个质点以 $s(t)=t^3-6t^2+9t$ 移动。那么 $v(t)=3(t-1)(t-3)$,所以它在 $t=1$ 和 $t=3$ 静止并在每个处改变方向。在 $t=2$,$v=-3<0$ 而 $a(2)=6(2)-12=0$;刚过后,$a>0$ 而 $v<0$,所以质点在那里减速。

相同的导数思想为任何变化的量建模:一个排水的水箱、一个扩散的种群、一杯冷却的水。每当一个问题说"……的速率"时,它就在描述一个导数。读单位以知道你有哪个量的率,然后在上下文里解释。

在一个相关变化率(related rates)问题里,几个量随时间一起变化,而你知道一些率但想要另一个。引擎是链式法则:对时间 $t$ 求导一个关系。每个变量变成 $t$ 的一个函数,所以每个导数拿到一个"$\,/\,dt$"因子。乘积和商法则也可能被需要。

一个可靠的程序——以及考试上一个满分的模板:

1. 命名变量并写下给定的率和未知的率(例如"$\dfrac{dh}{dt}=-2$ cm/day,求 $\dfrac{dV}{dt}$")。
2. 写一个方程关联这些量(常常是一个几何或体积公式)。
3. 对 $t$ 求导两侧(链式法则)——在代入数字之前。
4. 在感兴趣的瞬间代入已知值,并解未知的率。
5. 用单位和正确的符号陈述答案(一个减少的量有一个负的率)。

太早代入数字是经典的错误:先求导一般的关系,然后代入。

Worked example. 一个球形气球的体积以 $\dfrac{dV}{dt}=100\ \text{cm}^3/\text{s}$ 增长。从 $V=\tfrac43\pi r^3$,先求导:$\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$。在 $r=5$,$100=4\pi(25)\dfrac{dr}{dt}$,所以 $\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{1}{\pi}\approx0.32\ \text{cm/s}$。

在一个切点附近,一条光滑曲线看起来像它的切线——这是局部线性(local linearity)。所以切线给出函数在那个点附近的一个线性近似(linear approximation)(线性化):

高估还是低估? 答案来自凹凸性(concavity)。若图象在 $a$ 附近上凹(concave up)(它在它的切线上方弯曲),切线值是一个低估(underestimate)。若它下凹(concave down),切线位于曲线上方,给出一个高估(overestimate)。考试部分考查这个推理,所以用 $f''$ 的符号论证。

当极限之商的直接代入给出未定式(indeterminate form)$\dfrac{0}{0}$ 或 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 时,你可以用洛必达法则(L'Hospital's Rule):

Worked example. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$ 给出 $\tfrac00$,所以求导顶部和底部:$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1}=1$。而 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x}$ 也是 $\tfrac00$;它变成 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{2e^{2x}}{1}=2$。

• 在运动问题里:速度是位置的导数、加速度是速度的导数;速率增加当速度和加速度共享一个符号时。
• 对于相关变化率,对时间求导关联方程,然后最后代入给定值。
• 在一个已知点附近用切线做一个线性近似;它只在附近准确。
• 读一个率的符号:正意味着量一起移动,负意味着相反。
• 总是陈述单位并在上下文里解释答案。

中值定理(Mean Value Theorem)(MVT)把平均变化率联系到一个瞬时的:

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续且在 $(a,b)$ 上可微,那么在 $(a,b)$ 里有至少一个点 $c$,其中

$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

用文字说:区间里面的某处,瞬时率等于平均率。几何上,某条切线平行于连接端点的线。

考试技能。 像 IVT 一样,MVT 是一个存在性定理,而问题要求你论证。满分需要:(1) 陈述 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续且在 $(a,b)$ 上可微;(2) 计算平均率 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$;(3) 下结论"由 MVT 在 $(a,b)$ 里有一个 $c$ 满足 $f'(c)$ 等于那个值。"两个假设都必须被命名。

Worked example. 对 $[1,3]$ 上的 $f(x)=x^2$,平均率是 $\dfrac{9-1}{2}=4$;令 $f'(c)=2c=4$ 给出 $c=2$,它位于 $(1,3)$ 里——那个被保证的点。

极值定理(Extreme Value Theorem)(EVT)保证极值存在:一个在闭区间 $[a,b]$ 上连续的函数在它上面同时取得一个绝对最大值和一个绝对最小值。

一个临界点(critical point)是一个内部点,其中 $f'(x)=0$ 或 $f'(x)$ 不存在。所有的局部(相对)极值(local (relative) extrema)出现在临界点——但不是每个临界点都是一个极值。所以临界点是候选者;你必须测试每一个。

一阶导数告诉你 $f$ 在哪里上升或下降:

• 在一个区间上 $f'(x) > 0$ $\Rightarrow$ $f$ 在那里递增(increasing);
• $f'(x) < 0$ $\Rightarrow$ $f$ 递减(decreasing)。

在考试上,"求 $f$ 递增的区间"意味着:找到临界点,然后测试它们之间 $f'$ 的符号,并用 $f'$ 的符号论证(一个陈述的理由,不只是一个区间)。

要把一个临界点 $x=c$ 分类为一个局部极大值、局部极小值,或都不是,检查 $f'$ 在那里如何改变符号:

• $f'$ 在 $c$ 处从 $+$ 变 $-$ $\Rightarrow$ 极大值(local maximum);
• $f'$ 在 $c$ 处从 $-$ 变 $+$ $\Rightarrow$ 极小值(local minimum);
• $f'$ 不改变符号 $\Rightarrow$ 都不是。

总是把符号变化陈述为你的论证。

Worked example. 对于 $f(x)=x^3-3x^2$,$f'(x)=3x(x-2)$ 在 $x=0,2$ 为零。符号给出 $+,-,+$,所以 $x=0$ 是一个极大值($f=0$)而 $x=2$ 是一个极小值($f=-4$)。

在一个闭区间上,绝对(全局)极值只出现在临界点或端点。候选者测试(candidates test):

1. 列出 $[a,b]$ 里所有的临界点和两个端点。
2. 在每个候选者处求 $f$。
3. 最大的输出是绝对最大值;最小的是绝对最小值。

展示值的表——这个比较就是论证。

二阶导数描述弯曲:

• $f'' > 0$ $\Rightarrow$ $f$ 是上凹(concave up)(像一个杯子那样弯曲;$f'$ 递增);
• $f'' < 0$ $\Rightarrow$ $f$ 是下凹(concave down)($f'$ 递减)。

一个拐点(point of inflection)是凹凸性改变的地方,即 $f''$ 改变符号的地方(不仅仅是 $f''=0$ 的地方)。报告它的 $x$ 坐标并用 $f''$ 的符号变化论证。

分类一个 $f'(c)=0$ 的临界点 $c$ 的另一种方式:

• $f''(c) > 0$ $\Rightarrow$ 上凹 $\Rightarrow$ 极小值;
• $f''(c) < 0$ $\Rightarrow$ 下凹 $\Rightarrow$ 极大值;
• $f''(c) = 0$ $\Rightarrow$ 测试不确定——退回到一阶导数测试。

特殊情况:若一个连续函数在一个区间上只有一个临界点而它是一个局部极值,那个点也是那里的绝对极值。

$f$、$f'$ 和 $f''$ 的关键特征彼此映照。要草绘或读图象:

• $f$ 递增 $\Leftrightarrow$ $f'$ 在坐标轴上方;$f$ 有一个极大值 $\Leftrightarrow$ $f'$ 从 $+$ 穿越到 $-$。
• $f$ 上凹 $\Leftrightarrow$ $f'$ 递增 $\Leftrightarrow$ $f''$ 在坐标轴上方;$f$ 有一个拐点 $\Leftrightarrow$ $f'$ 有一个局部极值 $\Leftrightarrow$ $f''$ 穿越零。

这是读一个图象来描述另一个的技能。一个很常见的考试设置给出 $f'$ 的图象并问关于 $f$ 的:$f$ 在哪里递增($f'>0$ 的地方)、$f$ 的极值在哪里($f'$ 穿越零、带一个符号变化的地方)、$f$ 在哪里上凹($f'$ 递增的地方)。用 $f'$ 图象的高度和斜率回答关于 $f$ 的问题。

最优化(optimization)用导数来求一个量在一个区间上的最大或最小值。它是候选者/导数测试机器应用于一个真实的目标。

一个可靠的程序:

1. 把要最优化的量写成一个变量的一个函数(用一个约束方程消去多余的)。
2. 陈述允许输入的区间。
3. 求临界点($f'=0$ 或未定义)并测试它们(一阶或二阶导数测试,或若区间是闭的用候选者测试)。
4. 回答所问的问题,带上下文里的单位和解释——最大的面积、最小的成本,等等。

Worked example. 用 $100\ \text{m}$ 的围栏做一个靠墙的矩形围栏(只有三条边被围),设两端为 $x$ 而远边 $y=100-2x$。面积 $A(x)=x(100-2x)=100x-2x^2$ 有 $A'(x)=100-4x=0$ 在 $x=25$;因为 $A''=-4<0$ 这是最大值,给出 $y=50$ 和 $A=1250\ \text{m}^2$。

这一切延伸到隐式定义的关系。一个隐式关系的一个临界点是 $\dfrac{dy}{dx}=0$(水平切线)或未定义(垂直切线)的地方。因为 $\dfrac{dy}{dx}$ 通常是一个 $x$ 和 $y$ 的关系,而二阶导数涉及 $x$、$y$ 和 $\dfrac{dy}{dx}$,在求 $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ 时代回你的一阶导数表达式,然后从它的符号推理凹凸性。

• $f'>0$ 意味着递增、$f'<0$ 递减;极值的候选者是 $f'=0$ 或未定义的地方。
• 用一阶导数符号变化或二阶导数测试($f''>0$ 极小值、$f''<0$ 极大值)分类一个临界点。
• $f''>0$ 是上凹、$f''<0$ 下凹;一个拐点是凹凸性改变($f''$ 改变符号)的地方。
• 对于一个闭区间上的绝对极值,也检查端点。
• 用引用 $f'$ 或 $f''$ 的符号论证每个结论——考试要求推理,不只是答案。

导数衡量一个率,而一个积分(integral)衡量一个累积(accumulation)——从一个率累积起来的一个总量。若一个变化率在一个区间上作用,它的图象和坐标轴之间的面积(area)给出净累积变化。这个"面积 = 总变化"的思想是积分学的基础。

一个黎曼和(Riemann sum)通过加起薄矩形的面积来估计一条曲线下的面积。把 $[a,b]$ 分成子区间并用每个的左端点、右端点或中点处的函数高度。一个梯形法(trapezoidal sum)改用梯形,对两个端点高度取平均——通常更准确。用更多、更薄的矩形,估计改善。

考试技能: 能够从一张表或图象计算左、右、中点和梯形估计,并基于函数是递增/递减还是上凹/下凹陈述每个是高估还是低估。

用求和记号(summation notation)$\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x$ 写一个黎曼和,并让矩形数量无界地增长,给出精确的面积——定积分(definite integral):

一个累积函数(accumulation function)$g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ 给出从 $a$ 到 $x$ 累积的面积。微积分基本定理(FTC)(Fundamental Theorem of Calculus)说它的导数是被积函数:

因为 $g'(x)=f(x)$,$f$ 的图象告诉你关于 $g$ 的一切:$g$ 在 $f>0$ 的地方递增、在 $f<0$ 的地方递减、在 $f$ 穿越零的地方有极值,而在 $f$ 递增的地方上凹。从一个 $f$ 的图象读出这些联系是一个经典的自由回答任务。

定积分遵循有用的规则:反转限使值取负($\int_b^a=-\int_a^b$)、一个零宽度区间上的积分是 $0$、它们在相邻区间上相加($\int_a^c=\int_a^b+\int_b^c$),而常数提出。用这些来组合或拆分给定的积分值。

FTC 的求值形式用一个原函数(antiderivative)$F$(其中 $F'=f$)计算一个定积分:

Worked example. $\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,dx$:一个原函数是 $F(x)=x^2+x$,所以值是 $F(3)-F(1)=12-2=10$。

一个不定积分(indefinite integral)$\int f(x)\,dx=F(x)+C$ 是所有原函数的族(因此有积分常数(constant of integration)$C$)。反转每个求导规则:幂法则变成 $\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$(对 $n\neq-1$),带 $\int \frac1x\,dx=\ln|x|+C$,而 $e^x$、$\sin x$、$\cos x$ 和 $\sec^2 x$ 的原函数直接来自它们的导数。

u-换元(u-substitution)反转链式法则:选择 $u=g(x)$ 使得 $g'(x)$ 也出现,把 $\int f(g(x))g'(x)\,dx$ 变成 $\int f(u)\,du$。记得把 $dx$ 转换成 $du$,而对于一个定积分,要么把限改成 $u$ 值,要么在最后转换回 $x$。

当一个有理被积函数"头重"(分子次数 $\ge$ 分母次数)时,长除法(long division)把它重写为一个多项式加一个你能积分的真分数。在分母里配方法(completing the square)把它变成一个像 $u^2+a^2$ 的形式,引向一个反正切(arctangent)原函数 $\frac1a\arctan\frac{u}{a}+C$。

分部积分(integration by parts)反转乘积法则:

Worked example. 对于 $\int x e^x\,dx$,选择 $u=x$($du=dx$)和 $dv=e^x\,dx$($v=e^x$):

部分分式(partial fractions)把一个带一个可分解分母的有理函数拆分成更简单分数的一个和:

一个反常积分(improper integral)有一个积分的无穷限或被积函数里的一个无穷间断。把它作为一个极限求值:$\int_a^\infty f\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f\,dx$。若极限是一个有限数积分收敛(converges);否则它发散(diverges)。

Worked example. $\displaystyle\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^b=\lim_{b\to\infty}\left(1-\frac1b\right)=1$,所以它收敛到 $1$。相比之下 $\int_1^\infty \frac1x\,dx$ 给出 $\lim_{b\to\infty}\ln b=\infty$ 并发散——相同的被积函数形状能走任一条路。

BC 考试期望你辨认哪个方法适合:基本规则、换元(一个链式法则模式)、分部(一个乘积)、部分分式(一个可分解的有理式),或长除法/配方法。能够看一个积分并快速挑选正确的工具本身就是一个被考查的技能。

• 积分是反求导;用幂法则 $\int x^n\,dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ 并不要忘记 $+C$。
• 基本定理联系这两者:$\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$,而 $\tfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$。
• 用黎曼和或从一张值表的梯形法则近似一个定积分。
• 一个定积分是一个有符号的面积(坐标轴下方算负的);在符号变化处拆分以求总面积。
• 用 u-换元并记得相应地改变限(或反代)。

一个微分方程(differential equation)把一个函数与它的导数关联。许多真实的情况由一个率描述:"种群以与它的大小成比例的一个率增长"变成 $\dfrac{dP}{dt}=kP$。从一个文字描述设置方程——辨别什么变化以及它与什么成比例——是第一个技能。

一个解(solution)是满足方程的一个函数。要验证一个提出的解,求导它并代入方程,检查两侧一致。一个通解(general solution)包含一个常数 $C$;一个特解(particular solution)从一个条件确定 $C$。

一个斜率场(slope field)在许多点画一个短线段,每个带方程在那里给出的斜率 $\dfrac{dy}{dx}$。它描绘解曲线的族而不求解。要草绘一个,在每个网格点求右侧的值并画一个那个斜率的线段。

一条解曲线跟随这些线段,像一条船跟随一股水流。从一个斜率场你能草绘通过一个给定点的特解、描述长期行为,并定位解在哪里趋平(斜率接近零)——纯粹从图片推理解。

欧拉方法(Euler's method)通过沿着斜率场步进来数值地近似一个解。从一个已知点开始,取一个小步长 $\Delta x$ 并更新:

考试技能: 能够从一张表手工执行两三个欧拉步,并知道欧拉方法根据解的凹凸性低估或高估。

Worked example. 用步长 $\Delta x=0.5$ 为 $\dfrac{dy}{dx}=x+y$、$y(0)=1$ 近似 $y(1)$。第 1 步:$(0,1)$ 处的斜率是 $0+1=1$,所以 $y(0.5)\approx 1+1(0.5)=1.5$。第 2 步:$(0.5,1.5)$ 处的斜率是 $0.5+1.5=2$,所以 $y(1)\approx 1.5+2(0.5)=2.5$。

一个可分离(separable)微分方程能被写成所有 $y$ 在一侧而所有 $x$ 在另一侧,然后积分:

Worked example. 用 $y(0)=2$ 解 $\dfrac{dy}{dx}=xy$。分离,$\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx$ 给出 $\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C$,所以 $y=Ae^{x^2/2}$。条件 $y(0)=2$ 给出 $A=2$,所以 $y=2e^{x^2/2}$。

一个初始条件(initial condition)(一个已知点,例如 $y(0)=5$)确定常数 $C$。求通解、代入条件以求 $C$,然后写特解。注意定义域——一个特解只在包含初始点的区间上有效。

方程 $\dfrac{dy}{dt}=ky$ 说变化率与数量成比例——给出指数增长或衰减(exponential growth or decay)。分离变量产生

真实的增长受资源限制,所以逻辑斯蒂模型(logistic model)加上一个环境容纳量(carrying capacity)$L$:

Worked example. 对于 $\dfrac{dP}{dt}=0.05\,P\!\left(1-\dfrac{P}{2000}\right)$,环境容纳量是 $L=2000$(种群在那里趋平),而增长在 $P=\dfrac{L}{2}=1000$ 时最快——两者都直接从方程读出,不需要求解。

• 通过把所有 $y$ 移到一侧而所有 $x$ 移到另一侧、然后积分两侧(加一次 $+C$)来解一个可分离方程。
• 用初始条件求 $C$(一个特解)。
• 草绘或读一个斜率场:小线段在每个点显示 $\tfrac{dy}{dx}$,而一条解曲线跟随它们。
• 辨认指数模型 $\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$(增长/衰减)。
• 一个微分方程给出斜率——你必须积分以恢复函数。

$f$ 在 $[a,b]$ 上的平均值(average value)是积分除以宽度:

Worked example. $f(x)=x^2$ 在 $[0,3]$ 上的平均值是 $\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx=\dfrac13\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3=\dfrac13(9)=3$。

对于直线运动,积分反转求导: