电学

电流(electric current)是载流子(charge carriers)的流动。在金属中载流子是带负电的传导电子(electrons);在电解质(electrolyte)中它们是带正电和负电的离子(ions);在半导体(semiconductor)中它们可能是电子或"空穴"(holes)。常规电流(conventional current)方向是正电荷会流动的方向——与导线中电子的真实流动方向相反。

电荷

电荷是量子化的(quantised):最小的自由电荷单位是基本电荷(elementary charge)

本大纲中的每一个自由电荷都是 $e$ 的整数倍。电荷的单位是库仑(coulomb),$\text{C}$。

电流是电荷的流动速率

如果电荷 $Q$ 在时间 $t$ 内经过某一点,电流是

电流的单位:安培,$\text{A}$($= \text{C s}^{-1}$)。对于变化的电流,一段时间内流过的电荷是 $I$–$t$ 图线下方的面积。

例题。 一个 $0.50\ \text{A}$ 的电流流动了 $2.0$ 分钟。求流过的电荷,以及这代表多少个电子。($e = 1.60 \times 10^{-19}\ \text{C}$。)

漂移速度方程

对于一个横截面积为 $A$ 的均匀导体,每单位体积有 $n$ 个载流子(数密度(number density)),每个带电荷 $q$,以平均漂移速度(drift velocity)$v$ 运动:

例题。 一根横截面积 $1.0 \times 10^{-6}\ \text{m}^2$ 的铜丝载着 $5.0\ \text{A}$ 的电流。铜每 $\text{m}^3$ 有 $n = 8.5 \times 10^{28}$ 个自由电子。求漂移速度。($e = 1.60 \times 10^{-19}\ \text{C}$。)

重排 $I = Anvq$ 得 $v = \dfrac{I}{Anq}$:

电子漂移得非常慢——每秒不到一毫米。

用这个来比较电流:

• 相同 $I$ 下更细的导线(较小的 $A$)需要更快的漂移 $v$。
• 半导体的自由载流子比金属少得多(较小的 $n$),所以相同 $I$ 下漂移速度大得多。
• 在串联(series)元件中,$I$ 处处相同,所以如果 $A$ 不变但材料改变,$nv$ 会反向变化。

一个元件两端的电势差(potential difference,p.d.)是电荷经过它时每单位电荷转移的能量(energy):

单位:伏特(volt),$\text{V}$($= \text{J C}^{-1}$)。

如果 $1\ \text{C}$ 的电荷经过一个元件时有 $1\ \text{J}$ 的电能变成其他形式(热、光、动能……),那么它两端的电势差就是 $1\ \text{V}$。

一个电源的电动势(electromotive force,e.m.f.)是电源每单位电荷所给予的能量。公式与电势差相同;区别在方向:电动势是电源给予电荷的能量;电势差是电荷交给元件的能量。

联立 $V = W/Q$ 和 $I = Q/t$:

用欧姆定律 $V = IR$:

选用含你已知量的形式。例子:

• 两个电阻相等的加热器——电流较大的那个给出更多功率(power)($P = I^{2}R$)。
• 跨接在相同电压(voltage)上、并联(parallel)的两个电阻——$R$ 较小的那个给出更多功率($P = V^{2}/R$)。
• 一个标着"$2.4\ \text{kW}, 240\ \text{V}$"的水壶消耗 $I = P/V = 10\ \text{A}$,电阻为 $R = V^{2}/P = 24\ \Omega$。

时间 $t$ 内转移的能量是 $E = P t$。

一个元件的电阻(resistance)$R$ 是

单位:欧姆(ohm),$\Omega$($= \text{V A}^{-1}$)。电阻取决于测量时的条件(例如温度)。

欧姆定律

当一个导体中的电流与它两端的电势差成正比时,只要条件(尤其是温度)保持不变,它就遵守欧姆定律(Ohm's law)。对于这样的导体 $R$ 是常数,$I$–$V$ 图是过原点的直线。

欧姆定律是一个实验结果,不是一个定义。定义 $R = V/I$ 对任何元件都成立;只有欧姆式元件才有恒定的 $R$。

$I$–$V$ 特性曲线

你应当能够画出这些:

• 恒温下的金属丝——过原点的直线(恒定的 $R$)。反转电势差使电流反向流动,给出两个方向上的直线。
• 灯丝灯泡(filament lamp)——过原点,起初陡峭,然后随 $V$(和 $I$)增大而变平。原因:更大的电流加热灯丝,所以它的电阻上升,斜率 $1/R$ 下降。
• 半导体二极管(semiconductor diode)——在负 $V$ 或小的正 $V$ 时几乎没有电流。超过一个"导通"电压(硅约 $0.7\ \text{V}$)后,电流急剧上升。

电阻率

对于一个长度为 $L$、横截面积为 $A$ 的均匀导体,

$\rho$ 是电阻率(resistivity),材料的一个性质,单位为 $\Omega\ \text{m}$。长度翻倍使 $R$ 翻倍;面积翻倍使它减半;直径减半使面积变为四分之一,因而使 $R$ 变为四倍大。

例题。 一根长 $2.0\ \text{m}$、横截面积 $1.7 \times 10^{-7}\ \text{m}^2$ 的铜丝,电阻率为 $1.7 \times 10^{-8}\ \Omega\ \text{m}$。求它的电阻。

典型值:室温下的铜 $\rho \sim 1.7 \times 10^{-8}\ \Omega\ \text{m}$;一个绝缘体(insulator)$\rho \sim 10^{15}\ \Omega\ \text{m}$ 或更大。

金属的电阻率随温度上升(更多的晶格振动(lattice vibration)散射(scatters)电子),这就是灯丝灯泡的 $I$–$V$ 线弯曲的原因。

光敏电阻(light-dependent resistor,LDR)是一种半导体,它的电阻随光强上升而下降。在明亮的光下 $R$ 可能是几百 $\Omega$;在黑暗中它可以达到兆欧。LDR 用于光感电路(路灯、相机测光表)。这里光强(light intensity)控制电阻。

在本大纲中,热敏电阻(thermistor)有一个负温度系数(negative temperature coefficient):它的电阻随温度上升而下降。这对感测温度很有用——把它放进一个分压器(potential divider)中,输出电压就随温度变化。

这与金属相反:在半导体中,更多的热能释放出更多的载流子,这比额外的散射更重要。

• 用 $I = Q/t$、$V = W/Q$(每单位电荷的能量)和 $P = VI = I^2 R = V^2/R$。
• **欧姆定律($V = IR$)**只适用于恒温下的欧姆式导体——灯丝灯泡是非欧姆式的。
• 画出并解读电阻、灯丝灯泡和二极管的 $I$-$V$ 特性曲线。
• LDR 的电阻随光下降;热敏电阻的电阻随温度上升而下降。