波

波(wave)把能量(energy)从一个地方带到另一个地方,而整体上不移动物质。介质(medium)的粒子绕固定的平衡位置振动(oscillate);只有扰动(及其能量)在传播(propagate)。例子:绳上的横波(transverse wave)、弹簧上的纵波(longitudinal wave)、水面上的波纹,以及空气中的声音。传播并携带能量的波是行波(progressive wave)。

关键术语

• 位移(displacement)$y$——某一时刻一个粒子离开它平衡位置的距离。是一个矢量(vector)。
• 振幅(amplitude)$A$——离开平衡位置的最大位移。
• 波长(wavelength)$\lambda$——沿波在两个同相(in phase)运动的点之间(例如两个相邻的波峰(crests))的最短距离。
• 周期(period)$T$——一个粒子完成一次完整振动所用的时间。
• 频率(frequency)$f$——每秒完整振动的次数;$f = 1/T$。单位:赫兹(hertz),$\text{Hz}$。
• 速率(speed)$v$——波峰沿介质传播的快慢。
• 相位差(phase difference)——一个振动比另一个超前或滞后的那一部分周期。以弧度(radians,一个完整周期是 $2\pi$)或度(一个完整周期是 $360°$)给出。

相隔一个波长的两点同相(相位差 0 或 $2\pi$)。相隔半个波长的两点恰好反相(相位差 $\pi$)。

波动方程

在一个周期 $T$ 内,波向前移动一个波长 $\lambda$。所以速率 $= \text{distance} / \text{time} = \lambda / T = \lambda f$:

这直接来自速率、频率和波长的定义,对每一个行波都成立。

读示波器图线

阴极射线示波器(cathode-ray oscilloscope,CRO)把一个电压信号——对声音而言,就是麦克风的输出——对时间画出来。有两个旋钮很重要:

• 时基(time-base,横向每格的秒数):把屏幕上的水平距离转换成时间。把周期 $T$ 读作两个相邻峰之间的距离,然后 $f = 1/T$。
• 垂直增益(y-gain,竖向每格的伏数):把竖直距离转换成电压。以伏为单位的振幅是从中线量起的峰高。

如果时基是 $5\ \text{ms}/\text{div}$,而一个完整周期占 $4$ 格,那么 $T = 4 \times 5\ \text{ms} = 20\ \text{ms}$,$f = 50\ \text{Hz}$。

波的强度

波携带能量。某点的强度(intensity)是垂直于传播方向穿过单位面积的功率(power):

单位:$\text{W m}^{-2}$。

强度与振幅的平方成正比:

对于一个向各方向均匀发出能量的点源(point source),波前(wavefronts)是球面;距离 $r$ 处的表面积是 $4\pi r^{2}$,所以

距离翻倍使强度变为四分之一,这意味着振幅减半(因为 $I \propto A^{2}$)。

例题。 一盏灯向各方向均匀发出 $60\ \text{W}$ 的光。求 $2.0\ \text{m}$ 外光的强度。

横波

粒子在与能量传播方向垂直(perpendicular)的方向上振动。绳上的波、所有电磁波,以及地球中的 S 波都是横波。

纵波

粒子在与能量传播方向平行的方向上振动。任何介质中的声音、地球中的 P 波,以及弹簧上的挤压都是纵波。这种波由压缩(compressions,压强较高,粒子靠得近)和稀疏(rarefactions,压强较低,粒子散得开)构成。

波的图像

某一时刻粒子位移对位置的图,对两种波来说看起来都像一条正弦曲线(sine curve)。区别在于:对横波,位移轴是真正的横向位移;对纵波,它是沿传播方向的小幅前后位移(一个方向为正,另一个为负)。

某一空间点上粒子位移对时间的图对两种波来说也是一条正弦曲线。从这张图读出周期 $T$。

当声音的波源(source)相对一个静止(stationary)的观察者(observer)运动时,听到的频率与波源频率不同。这就是多普勒效应(Doppler effect)。

• 波源朝观察者运动:前方的波前被挤压,所以波长较短,听到的频率较高。
• 波源远离观察者运动:后方的波前被拉开,所以波长较长,听到的频率较低。

公式(波源以速率 $v_{\text{s}}$ 沿到观察者的连线运动;波速 $v$,波源频率 $f_{\text{s}}$,听到的频率 $f_{\text{o}}$):

选择符号来符合物理:

• 波源朝观察者运动时,分母取减号($f_{\text{o}} > f_{\text{s}}$),
• 波源远离时取加号($f_{\text{o}} < f_{\text{s}}$)。

你只需要静止观察者的情形。

例题。 一个 $f_{\text{s}} = 800\ \text{Hz}$ 的汽车喇叭以 $30\ \text{m s}^{-1}$ 朝一个静止的听者运动。声速 $v = 340\ \text{m s}^{-1}$:

所有电磁波(electromagnetic waves,EM 波)都是横波,并在真空(vacuum)中以相同的速率传播:

电磁波谱(electromagnetic spectrum)包括无线电波、微波(microwaves)、红外线(infrared)、可见光、紫外线(ultraviolet)、X 射线(X-rays)和 $\gamma$ 射线(γ-rays)。

自由空间中的大致波长范围(记住数量级):

• 无线电波:$> 10^{-1}\ \text{m}$(可达许多千米)。
• 微波:$10^{-3}\ \text{m}$ 到 $10^{-1}\ \text{m}$。
• 红外线:$\sim 7 \times 10^{-7}\ \text{m}$ 到 $10^{-3}\ \text{m}$。
• 可见光:$400\ \text{nm}$(紫)到 $700\ \text{nm}$(红),即 $4 \times 10^{-7}\ \text{m}$ 到 $7 \times 10^{-7}\ \text{m}$。
• 紫外线:$\sim 10^{-8}\ \text{m}$ 到 $4 \times 10^{-7}\ \text{m}$。
• X 射线:$\sim 10^{-11}\ \text{m}$ 到 $10^{-8}\ \text{m}$。
• $\gamma$ 射线:$< 10^{-11}\ \text{m}$。

各区域之间的边界并不清晰。用 $c = f\lambda$ 在波长和频率之间换算。只有波长 $400$–$700\ \text{nm}$ 的光才能被看见。

偏振(polarisation)是指使一个横波只在一个平面内振动。

• 只有横波能被偏振——振动垂直于传播方向,所以不同的垂直平面是真实的选择。
• 纵波(声音)不能被偏振——振动沿传播方向,所以没有其他平面。

所以偏振是一个判据:如果一个波能被偏振,它一定是横波。

马吕斯定律

强度为 $I_{0}$ 的平面偏振(plane-polarised)光穿过一个偏振片(polarising filter),其透光轴(transmission axis)与偏振面成 $\theta$ 角。透过的强度由马吕斯定律(Malus's law)给出:

• $\theta = 0°$:偏振片与偏振方向对齐,$I = I_{0}$,全部透过。
• $\theta = 90°$:偏振片成直角,$I = 0$,全部被挡住。
• $\theta = 60°$:$I = I_{0} \cos^{2} 60° = I_{0} \cdot 0.25 = I_{0}/4$。

例题。 强度为 $12\ \text{W m}^{-2}$ 的平面偏振光遇到一个透光轴与偏振面成 $30°$ 角的偏振片。求透过的强度。

对于一排两个偏振片,用马吕斯定律两次,每次用两片之间的夹角。每次都要小心角度——过了第一个偏振片后,偏振沿那个偏振片的轴,第二个偏振片的角度从那里量起。

(你不需要算出偏振片对一个未偏振波的作用。)

• 精确地定义术语(位移、振幅、波长、周期、频率)并用 $v = f\lambda$。
• 区分横波(振动垂直于传播)和纵波(平行);只有横波能被偏振。
• 对于多普勒效应,波源接近时观察到的频率上升,远离时下降。
• 记住电磁波谱的顺序;它的所有波在真空中都以 $c$ 传播。