固体的形变

当一个力沿固体的长度方向作用时,物体会改变形状(形变(deformation))。两种情形(这里当作一维处理):

• 拉伸(tensile)力使物体伸长——产生一个伸长量(extension)$x$,
• 压缩(compressive)力挤压物体——产生一个压缩(compression),当作负的伸长量。

施加的力是负载(load)。相对自然长度的改变就是伸长量(或压缩量)。

对于许多材料在小伸长量下,伸长量与负载成正比——这就是胡克定律(Hooke's law)。把它们联系起来的常数是劲度系数(spring constant)$k$:

$k$ 的单位:$\text{N m}^{-1}$。

例题。 当挂上一个 $2.0\ \text{N}$ 的负载时,一根弹簧伸长了 $4.0\ \text{cm}$。求它的劲度系数。

把伸长量换成米($4.0\ \text{cm} = 0.040\ \text{m}$):

读图:

• 力-伸长量($F$ 对 $x$)图在胡克定律区域内的斜率是 $k$。
• 伸长量-力($x$ 对 $F$)图在胡克定律区域内的斜率是 $1/k$。

一个常见陷阱:如果一张图画的是长度 $L$ 对力,你仍能从斜率求出劲度系数(因为 $L = L_{0} + F/k$,斜率是 $1/k$——要仔细读出它)。

比例极限

胡克定律只在比例极限(limit of proportionality)之前成立。过了这一点,$F$ 对 $x$ 的线弯曲,不再是直的。材料可能再往前一点仍是弹性的(elastic,去掉负载后回到它最初的长度),然后变成塑性的(plastic)。

串联和并联的弹簧

你可能需要合成劲度系数:

• 串联(series,一根弹簧挂在另一根下面):相同的负载穿过两根,总伸长量是两者之和,所以 $\dfrac{1}{k_{\text{total}}} = \dfrac{1}{k_{1}} + \dfrac{1}{k_{2}}$。
• 并联(parallel,两根弹簧并排挂同一个负载):每根承担一半负载(若它们相同),伸长量相等,所以 $k_{\text{total}} = k_{1} + k_{2}$。

对于承受拉伸负载、横截面均匀的金属丝:

• 应力(stress)$\sigma = \dfrac{F}{A}$,其中 $F$ 是负载,$A$ 是横截面积(cross-sectional area)。单位:$\text{Pa}$。
• 应变(strain)$\varepsilon = \dfrac{x}{L_{0}}$,其中 $x$ 是伸长量,$L_{0}$ 是原长。应变没有单位(它是两个长度的比值)。

杨氏模量(Young modulus)是胡克定律区域内应力与应变之比:

单位:$\text{Pa}$(金属约为 $10^{11}$;例如钢 $\approx 2.0 \times 10^{11}$ Pa)。

例题。 一根长 $2.0\ \text{m}$、横截面积 $1.5 \times 10^{-7}\ \text{m}^2$ 的钢丝在 $15\ \text{N}$ 的负载下伸长 $1.0\ \text{mm}$。求杨氏模量。

杨氏模量是材料的一个性质——它不取决于金属丝的形状或大小。劲度系数 $k$ 既取决于材料又取决于大小:$k = EA/L_{0}$。

测量金属丝杨氏模量的实验

一个标准装置:

1. 把一根又长又细的金属丝的一端夹在固定支架上。让金属丝越过桌边的一个滑轮(pulley),使它竖直下垂。
2. 用米尺测量夹子与滑轮附近一个标记之间的原长 $L_{0}$。
3. 用螺旋测微器(micrometer)在几处测量金属丝的直径(diameter)$d$ 并取平均。算出 $A = \pi d^{2}/4$。
4. 一次挂一个砝码。记录负载 $F$ 和伸长量 $x$(标记相对固定刻度移动了多远)。
5. 作 $F$ 对 $x$ 的图。在直线区域斜率是 $EA/L_{0}$,所以 $E = \text{gradient} \times L_{0}/A$。

为什么用又长又细的金属丝?为了使伸长量大到便于精确测量。为什么重复读数并在几处测 $d$?为了减小随机误差(random error)并检查金属丝是否均匀。

随着负载增大:

1. 弹性且直(遵守胡克定律)——直到比例极限。去掉负载使物体回到它最初的长度。
2. 弹性但弯曲——在比例极限和弹性极限(elastic limit)之间。伸长量对负载不再是直的,但卸载时物体仍回到它最初的长度。
3. 塑性——过了弹性极限。卸载时,物体不回到它最初的长度;留下一个永久伸长。

胡克定律只在直的、弹性的区域内成立。

在一张被拉入塑性区然后卸载的材料的力-伸长量图上,加载线和卸载线是不同的。卸载线与最初的胡克线平行,但向右移动了(负载回到零时留下的永久伸长)。加载线和卸载线之间的面积是在材料中变成热能(thermal energy)的能量。

把一个材料从 $0$ 拉伸到伸长量 $x$、负载从 $0$ 增大到 $F$ 时所做的功,是力-伸长量图线下方的面积。

遵守胡克定律的材料

当胡克定律成立时,$F$ 对 $x$ 的图是过原点的直线。它从 $0$ 到 $x$ 下方的面积是一个三角形:

这是储存在弹簧或金属丝中(在其比例极限内拉伸)的弹性势能(elastic potential energy)。一个等价形式:

例题。 一根劲度系数为 $50\ \text{N m}^{-1}$ 的弹簧在其比例极限内被拉伸 $0.20\ \text{m}$。求储存的弹性势能。

不遵守胡克定律的材料

对于一张不是直线的图(一条被拉伸的橡皮筋,或过了比例极限的弹簧),用数网格方块或用梯形(trapezia)来求面积。同样的想法成立:力-伸长量图线下方的面积是对材料所做的功。

比较储存的能量

一个常见的选择题情形:两个材料被相同的力拉伸,或被相同的伸长量拉伸。用 $E_{\text{P}} = \tfrac{1}{2} F x$:

• 相同的 $F$,较小的 $k$(不那么硬)→ 较大的 $x$ → 储存更多能量。
• 相同的 $x$,较大的 $k$(更硬)→ 较大的 $F$ → 储存更多能量。

当一根被拉伸的弹簧被释放到一个质量上时,弹性势能变成动能(kinetic energy)(如果质量上升还有重力势能)。令 $\tfrac{1}{2} k x^{2}$ 等于 $\tfrac{1}{2} m v^{2}$(加上任何 $mgh$)来求速率或高度。

• **胡克定律($F = kx$)**只在比例极限之前成立。
• 应力 $= F/A$,应变 $= x/L$,杨氏模量 $=$ 应力$/$应变(应力-应变图直线部分的斜率)——注意单位(Pa)。
• 储存的能量 $=$ 力-伸长量图线下方的面积 $=$ 弹性区域内的 $\frac{1}{2}Fx$。
• 区分弹性(恢复形状)和塑性(永久)形变。