天文学与宇宙学

一颗恒星的光度(luminosity)$L$ 是它发出的辐射的总功率(power)——每秒向各个方向辐射的能量(energy)。单位:瓦特(W)。

在距离 $d$ 处,这个功率已散布到一个面积为 $4\pi d^{2}$ 的球面上。距离 $d$ 处的辐射通量密度(radiant flux intensity)$F$(单位面积上的功率)是

例题。 太阳的光度是 $L = 3.8 \times 10^{26}\ \text{W}$。求在距离 $d = 1.5 \times 10^{11}\ \text{m}$ 远的地球处的辐射通量密度。

单位:$\text{W m}^{-2}$。这是通量的平方反比定律(inverse-square law):距离翻倍使通量变为四分之一。望远镜测量 $F$;如果 $L$ 已知,距离随之而来:

标准烛光(standard candle)是一个光度已知(由它的类型得知)的天体。一旦你在一个遥远的星系中找到一个并测量来自它的通量 $F$,你就能由 $d = \sqrt{L/(4\pi F)}$ 得到它的距离。

例子:

• 造父变星(Cepheid variables,脉动恒星)——脉动周期与光度紧密相关,所以周期给出 $L$。
• Ia 型超新星(Type Ia supernovae)——一个白矮星达到一个临界质量并爆炸,总有大约相同的峰值光度。

标准烛光在不事先知道距离的情况下给出 $L$,所以它能到达远超视差(parallax)的星系。

维恩位移定律

一个热的物体发出一个连续的(黑体(blackbody))谱,其峰值在一个由它的温度(temperature)决定的波长(wavelength)$\lambda_{\text{max}}$ 处。维恩位移定律(Wien's displacement law):

例题。 一颗恒星的黑体谱在 $\lambda_{\text{max}} = 500\ \text{nm}$ 处达到峰值。求它的表面温度。($b = 2.90 \times 10^{-3}\ \text{m K}$。)

更热的恒星在更短的波长处达到峰值:一颗冷的红星($\sim 3000\ \text{K}$)在红外达到峰值;太阳($\sim 5800\ \text{K}$)在 $500\ \text{nm}$ 附近;一颗热的蓝白星($\sim 20{,}000\ \text{K}$)在紫外。测量 $\lambda_{\text{max}}$ 给出表面温度。

斯特藩-玻尔兹曼定律

一颗恒星,当作一个半径为 $r$、表面温度为 $T$ 的黑体球,有光度

其中 $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\ \text{W m}^{-2}\ \text{K}^{-4}$ 是斯特藩-玻尔兹曼常量(Stefan–Boltzmann constant,即斯特藩-玻尔兹曼定律(Stefan–Boltzmann law))。两个强的依赖关系:

• $L \propto r^{2}$——半径两倍,光度四倍(相同 $T$)。
• $L \propto T^{4}$——温度两倍,光度十六倍(相同 $r$)。

例题。 一颗恒星半径 $r = 7.0 \times 10^{8}\ \text{m}$、表面温度 $T = 5800\ \text{K}$。求它的光度。($\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\ \text{W m}^{-2}\ \text{K}^{-4}$。)

估算一颗恒星的半径

联立这两个定律:

1. 测量 $\lambda_{\text{max}}$ → 由维恩定律得到 $T$。
2. 求 $L$(例如由通量 $F$ 和距离 $d$:$L = 4\pi d^{2} F$)。
3. 解斯特藩-玻尔兹曼定律求 $r$:$r = \sqrt{L/(4\pi \sigma T^{4})}$。

这就是天文学家如何估算他们看不到圆面的恒星的半径。

宇宙学红移

来自遥远星系的光的谱线(spectral lines)出现在比它们已知的实验室值更长的波长处——整个谱被拉向红端。这就是红移(redshift)。

把它读作一个多普勒频移,星系正在远离运动。对于 $v \ll c$:

其中 $\Delta\lambda = \lambda_{\text{observed}} - \lambda_{\text{emitted}}$,$v$ 是退行(recession)的速率。例子:在 $4.62 \times 10^{-7}\ \text{m}$ 发出但在 $4.91 \times 10^{-7}\ \text{m}$ 观察到的光给出 $\Delta\lambda = 0.29 \times 10^{-7}\ \text{m}$ 和

为什么红移意味着一个膨胀的宇宙

几乎每一个遥远的星系都是红移的(少数近的因局部运动而蓝移(blueshifted))。所以星系平均而言在相互远离——不只是离开我们,而是彼此远离。宇宙在膨胀,星系之间的空间在拉伸。越遥远的星系红移越多。

哈勃定律

退行速率 $v$ 与距离 $d$ 之间的关系是哈勃定律(Hubble's law):

其中 $H_{0}$ 是哈勃常数(Hubble constant,$\approx 2.3 \times 10^{-18}\ \text{s}^{-1}$)。始终用 SI 单位。例子:一个以 $1.9 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$ 退行的星系在 $d = v/H_{0} \approx 8.3 \times 10^{24}\ \text{m}$ 处。

从哈勃定律到大爆炸

哈勃定律意味着星系曾经在一起。把膨胀倒过来运行,所有距离在 $t = -1/H_{0}$ 时缩小到零——宇宙曾经是一个微小、极其致密、炽热的点。这就是大爆炸(Big Bang)。宇宙的年龄(对稳定膨胀)约为

膨胀、星系的红移、宇宙微波背景(cosmic microwave background),以及氢/氦的丰度是大爆炸的主要证据。

距离阶梯

天文学家结合各种方法,每一种都由下一级校准:

1. 视差(parallax)——用于近的恒星。
2. 标准烛光(造父变星、Ia 型超新星)——用于星系。
3. 哈勃定律($d = v/H_{0}$,$v$ 由红移得)——用于非常遥远的星系。

• $F = L/4\pi d^2$(平方反比):一个标准烛光有已知的光度 $L$,所以距离由测得的通量 $F$ 得出。
• 维恩定律($\lambda_{max} \propto 1/T$)给出表面温度;斯特藩定律 $L = 4\pi r^2 \sigma T^4$。
• 红移 $z = \Delta\lambda/\lambda \approx v/c$;哈勃定律 $v = H_0 d$ 导出宇宙的年龄(大爆炸的证据)。