运动学

这五个物理量几乎在每一道运动学(kinematics)题里都会出现。要记住准确的用词——考官是按精确表述给分的。

• 距离(distance)——走过的路径的总长度。是一个标量(scalar)。
• 位移(displacement)——从起点到终点的直线距离,带方向。是一个矢量(vector)。
• 速率(speed)——距离对时间的变化率。是标量。
• 速度(velocity)——位移对时间的变化率。是矢量。
• 加速度(acceleration)——速度对时间的变化率。是矢量。

速率和速度的单位是 $\text{m s}^{-1}$;加速度的单位是 $\text{m s}^{-2}$。

一个常见错误:减速度(deceleration)只是指方向与速度相反的加速度,它并不是一个单独的物理量。

很多分数都来自读图或画运动图像。有两种图很重要。

位移-时间图

位移-时间图上某点的斜率(gradient,陡峭程度)给出该时刻的速度。

• 水平线 → 物体静止。
• 倾斜的直线 → 匀速(斜率 = 速度)。
• 曲线 → 速度在变化。在该点画一条切线(tangent),求它的斜率。

速度-时间图

速度-时间图的斜率给出该时刻的加速度。

线与时间轴之间的面积(area)给出那段时间内的位移。

• 水平线 → 匀速(加速度为零)。
• 倾斜的直线 → 匀加速(uniform acceleration,加速度恒定)。
• 曲线 → 加速度在变化。
• 时间轴上方的面积是正位移;下方的面积是负的(物体向后运动)。

要求位移,就把面积分成若干三角形和矩形,或者数网格方块。三角形面积是 $\tfrac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$;矩形面积是 $\text{base} \times \text{height}$。

对于沿直线做匀加速的运动,我们用五个符号:初速度 $u$、末速度 $v$、加速度 $a$、位移 $s$ 和时间 $t$。四个方程把它们联系起来:

每个方程用到五个符号中的四个。要选对方程:写下你已知的和你想求的,然后选恰好含这四个符号的那个方程。

例题。 一辆汽车在 $56\ \text{m}$ 的距离内从 $8\ \text{m s}^{-1}$ 匀加速到 $20\ \text{m s}^{-1}$。求它的加速度。

我们已知 $u$、$v$ 和 $s$,要求 $a$,所以用 $v^{2} = u^{2} + 2as$:

SUVAT 方程从何而来

你应该能从速度和加速度的定义推出这些方程:

• $v = u + at$ 来自 $a = (v - u)/t$,即直线的斜率。
• $s = \tfrac{1}{2}(u + v) t$ 是线下方的面积——一个梯形(trapezium),平行边为 $u$ 和 $v$,宽为 $t$。
• $s = ut + \tfrac{1}{2}at^{2}$ 来自把 $v = u + at$ 代入面积。
• $v^{2} = u^{2} + 2as$ 来自从前两个方程中消去 $t$。

如果题目问"哪个方程只用速度-时间图的斜率就能求出?",答案是 $v = u + at$(斜率就是加速度)。

选定一个正方向

一开始就选定一个正方向并保持不变。任何指向相反方向的量都要带负号。对于竖直上抛的球,若取"向上"为正:$u$ 为正,$a = -g$(重力(gravity)向下拉),而在最高点位移为正但速度为零。

当空气阻力(air resistance)可以忽略时,做自由落体(free fall)的物体有一个向下的恒定加速度 $g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$。这个值对每一个质量都相同。

对于从静止释放、下落距离为 $h$ 的球:

对于以速度 $u$ 竖直上抛的球:

• 最大高度:在 $v^{2} = u^{2} - 2gh$ 中令 $v = 0$,得 $h = u^{2}/(2g)$。
• 到达顶点的时间:在 $v = u - gt$ 中令 $v = 0$,得 $t = u/g$。
• 落回起始高度的总时间:$2u/g$(运动是对称的(symmetric))。

例题。 一个球以 $20\ \text{m s}^{-1}$ 竖直上抛。求它能达到的最大高度(取 $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$)。

在最高点 $v = 0$,所以由 $h = u^{2}/(2g)$:

测量 $g$ 的实验

一个常用方法:让物体从静止下落,然后测出它下落的距离 $h$ 和所用的时间 $t$。于是

对几个不同的高度重复实验,并作 $h$ 对 $t^{2}$ 的图。最佳直线的斜率是 $g/2$,所以 $g$ 是斜率的两倍。重复实验能减小随机误差(random error)。用电子计时器——借助光电门(light gates),或用球撞击的开关——可以消除反应时间(reaction-time)误差。

当一个物体在一个方向(比如水平(horizontal))上匀速运动,同时在与之垂直的方向(比如竖直(vertical),受重力作用)上加速时,这两个方向的运动互不影响。把每个方向单独处理,各用各的 SUVAT 方程。

水平抛出

一个以速度 $u_{\text{H}}$ 从高度 $h$ 水平抛出的物体,忽略空气阻力:

• 水平方向:匀速 $u_{\text{H}}$。经过时间 $t$ 后,水平距离为 $x = u_{\text{H}} t$。
• 竖直方向:从静止开始,以 $g$ 向下加速。经过时间 $t$ 后,已下落 $y = \tfrac{1}{2} g t^{2}$,竖直速度为 $v_{\text{V}} = g t$。

落地所需的时间只取决于高度 $h$,与 $u_{\text{H}}$ 无关。解 $h = \tfrac{1}{2} g t^{2}$ 求出 $t$;那么水平射程(range)就是 $u_{\text{H}} t$。

例题。 一个球从 $20\ \text{m}$ 高的悬崖顶以 $15\ \text{m s}^{-1}$ 水平抛出。求它落地所需的时间,以及落地点离崖底的距离(取 $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$)。

竖直方向的运动给出时间:由 $h = \tfrac{1}{2}g t^{2}$,

再由水平方向的运动给出射程:$x = u_{\text{H}} t = 15 \times 2.0 \approx 30\ \text{m}.$

水平速度图是一条在 $u_{\text{H}}$ 处的水平线。竖直速度图是从原点出发、斜率为 $g$ 的直线。

有角度的抛体

一个以速度 $u$、与水平方向成 $\theta$ 角向上抛出的抛体(projectile):

• 初速度的水平分量(component):$u_{\text{H}} = u \cos\theta$(在飞行过程中保持不变)。
• 初速度的竖直分量:$u_{\text{V}} = u \sin\theta$(逐渐变小,在顶点变为零,然后向下增大)。

在最高点,$v_{\text{V}} = 0$,但 $v_{\text{H}}$ 仍是 $u\cos\theta$。到达顶点的时间是 $t_{\text{up}} = u\sin\theta / g$;总飞行时间(回到起始高度)是 $2t_{\text{up}}$。

弹跳的球

当一个球弹跳时,它的速度-时间图是一组倾斜的直线段(恒定的 $g$),在每次弹跳处有一个突然的跳变(速度方向反转,若损失了一些能量(energy)则变小)。把各次弹跳的时间和距离加起来。

当两个物体沿同一条直线以不同方式运动时,分别给每个物体写一个位移方程。用相同的起始时间和相同的正方向。然后令两个位移相等(或令它们的差等于给定的间距)。

对于一列以恒定速度 $u_{\text{G}}$ 行驶的货运列车和一列从静止以加速度 $a$ 出发的特快列车,若两者都在 $t = 0$ 时经过同一点:

当 $s_{\text{G}} = s_{\text{E}}$ 时它们再次并排,得 $t = 2 u_{\text{G}} / a$。

1. 画一张图,并标出正方向。
2. 列出 SUVAT 符号及其已知与未知的值,包括正负号。
3. 选择 SUVAT 方程,使它恰好含有你已知的四个符号加上你要求的那个。
4. 对于抛体运动,拆成水平和竖直两个 SUVAT 问题,二者仅通过时间 $t$ 相联系。
5. 始终检查答案的单位,以及数值大小是否合理。

• 只对恒定加速度使用 SUVAT 方程;列出 $s, u, v, a, t$,选出缺少你未知量的那个方程。
• 选定一个方向为正,并保持正负号一致(通常 $g = -9.81\ \text{m s}^{-2}$)。
• 在速度-时间图上,斜率 $=$ 加速度,面积 $=$ 位移。
• 对于抛体,把水平(匀速)和竖直($a = g$)的运动分开处理,用相同的时间联系二者。