叠加

当两个或更多的波(wave)在某点重叠时,那里的位移(displacement)是每个波单独产生的位移的矢量和(vector sum)。这就是叠加(superposition)原理。

波彼此穿过后原封不动地出来。叠加是本主题一切内容的基础。

如果两个振幅(amplitude)为 $A_{1}$ 和 $A_{2}$ 的波相遇:

• 同相(in phase,波峰(crest)遇波峰):振幅是 $A_{1} + A_{2}$(相长干涉(constructive interference))。
• 恰好反相(波峰遇波谷(trough),相位差(phase difference)$\pi$):振幅是 $|A_{1} - A_{2}|$(相消干涉(destructive interference))。
• 任何其他相位差 $\phi$:振幅介于这两者之间。

对于强度(intensity),$I \propto A^{2}$。两个相等的波同相相遇给出强度 $(2A)^{2} = 4A^{2}$——是单个波强度的四倍。

当两个相同的行波(progressive waves)沿相反方向传播并重叠时,它们形成一个驻波(stationary wave)。例子:一根弦上从固定端反射(reflected)的波与入射波重叠;气柱中从封闭端反射的声音;发射器与金属板之间的微波。

波节和波腹

在一个驻波中:

• 波节(node)——一个始终位移为零的点(两个波总是相消)。相邻波节之间的距离是 $\lambda/2$。
• 波腹(antinode)——一个振幅最大的点(两个波总是相加)。相邻波腹之间的距离是 $\lambda/2$。
• 一个波节与相邻的波腹相隔 $\lambda/4$。

两个波节之间的粒子彼此同相振动,但振幅不同(在波腹处最大,在波节处为零)。波节两侧的粒子反相(antiphase,相位差 $\pi$)振动。

例题。 一根长 $0.80\ \text{m}$ 的弦两端固定,在基频模式下振动,其中波速是 $240\ \text{m s}^{-1}$。求基频。

一个环正好填满这根弦,所以 $\lambda = 2L = 1.60\ \text{m}$。于是

驻波与行波的区别:它不沿它的长度方向携带能量(energy),图样不沿长度移动,波节保持固定;而行波处处振幅相同并携带能量。

从波节间距测量波长

用一个振动器以频率 $f$ 驱动一根弦,直到出现一个驻波图样。测量两个相隔较远的波节之间的距离,再除以它们之间的半波长(wavelength)数。于是 $\lambda$ 已知,$v = f\lambda$ 给出波速。

对于一端封闭、另一端开口的管(共鸣管(resonance tube)),封闭端是位移波节,开口端是位移波腹。基频(fundamental)对应 $L = \lambda/4$;下一个共振在 $L = 3\lambda/4$;以此类推。对于两端开口的管,两端都是波腹;基频在 $L = \lambda/2$。

衍射(diffraction)是波在穿过一个缝或绕过一个障碍物(obstacle)之后的散开。所有的波都会衍射——水、声音、光、微波。

散开的程度取决于波长与缝宽之比:

• 缝远宽于 $\lambda$:散开很少;波几乎笔直穿过。
• 缝约与 $\lambda$ 同大小:散开很多;波扇形展开。
• 缝小于 $\lambda$:散开很强;缝几乎像一个点源。

用水波槽(ripple tank)中的水波来演示:直波遇到一个带缝的挡板,缝做得越窄,波弯曲得越多。同样的道理说明了为什么你能听见拐角处有人说话(语音的 $\lambda$ 接近 1 m,与缝的大小相近),却看不见他们(可见光的 $\lambda \sim 500\ \text{nm}$,远小于缝)。

干涉(interference)是两个相干(coherent)波的叠加,给出一个稳定的、由高振幅区域(相长)和低振幅区域(相消)构成的图样。

相干性

当两个源发出的波有恒定的相位差(这也需要相同的频率)时,它们是相干的。两盏分开的灯不是相干的——它们的相位随机变化,所以任何图样都闪变得太快而看不见,你只能得到一个平均值。

要从一个源产生相干光,让它穿过双缝(double-slit)装置中的两个狭缝(slits)。两个缝都由同一个波前照亮,所以两束光保持固定的相位关系。

清晰图样的条件

要看到双源条纹,你需要:

1. 两个相干源(恒定的相位差)。
2. 大致相等的振幅(否则暗区不太暗)。
3. 在你观察处波要重叠。
4. 对于光(横波),相同的偏振(polarisation)面。

路程差

对于两个相干源,某点发生什么取决于到达那里的两个波之间的路程差(path difference)$\Delta x$:

• 相长:$\Delta x = n\lambda$(对整数 $n = 0, 1, 2, \ldots$)。
• 相消:$\Delta x = (n + \tfrac{1}{2})\lambda$。

双缝(杨氏)实验

对于相隔距离 $a$ 的两个缝,屏在距离 $D$ 处(假设 $D \gg a$),波长为 $\lambda$ 的光在屏上形成条纹。

条纹间距(fringe spacing)$x$(一条条纹(fringe)到下一条)是

亮条纹(极大(maximum))在路程差是 $\lambda$ 整数倍处;暗条纹(极小(minimum))在它是 $(n + \tfrac{1}{2})\lambda$ 处。条纹是等间距的。

要使条纹间距更小:增大 $a$(缝分得更开)、减小 $D$(屏更近),或用更短的 $\lambda$(更蓝的光)。

例题。 在一个双缝实验中,缝相隔 $0.50\ \text{mm}$,由波长 $600\ \text{nm}$ 的光照射。屏在 $2.0\ \text{m}$ 外。求条纹间距。

衍射光栅(diffraction grating)有许多等间距的缝——常常每毫米几百或几千条。每个缝是一个相干源。当满足下式时,在与光栅法线(normal)成 $\theta$ 角处看到一个极大:

其中 $d$ 是缝间距(slit spacing,中心到中心),$n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$ 是级次(order),$\lambda$ 是波长。

例题。 一个衍射光栅每毫米 $500$ 条线。波长 $600\ \text{nm}$ 的光垂直照在它上面。求一级($n = 1$)极大的角度。

缝间距是 $d = \dfrac{1}{500}\ \text{mm} = 2.0 \times 10^{-6}\ \text{m}$,所以

与双缝相比,光栅给出尖锐得多的极大,因为更多的缝叠加在一起——其他每个方向都被许多缝相消掉。

从"每毫米线数"求缝间距

如果一个光栅每毫米 $N$ 条线,那么 $d = 1/N$ 毫米 $= 10^{-3}/N$ 米。对于每毫米 $450$ 条线,$d = 1/450\ \text{mm} \approx 2.22\ \mu\text{m}$。

最高级次

对于给定的光栅和波长,$\sin\theta = n\lambda/d$ 不能大于 $1$,所以看到的最高级次是

如果 $d/\lambda = 3.27$,则存在直到 $n = 3$ 的级次;$n = 4$ 需要 $\sin\theta > 1$,看不到。

用光栅求 $\lambda$

把未知波长的平行光笔直射向光栅。测量一级极大离中心的角度 $\theta_{1}$。则 $\lambda = d \sin\theta_{1}$。对更高级次重复并取平均可减小误差。

• 双源干涉:路程差 $= n\lambda$ 时相长,$= (n + \tfrac{1}{2})\lambda$ 时相消;两个源必须相干。
• 双缝:$\lambda = ax/D$;衍射光栅:$d\sin\theta = n\lambda$——要熟悉每一个符号。
• 在驻波上标出波节和波腹;相邻波节相隔 $\lambda/2$;它储存能量但不传递能量。
• 一个驻波需要两个频率相同、沿相反方向传播的波。