叠加

当两个或多个波 波在某点重叠时，该点的位移 位移是各波单独作用时产生的位移的矢量和 矢量和。这就是叠加原理 叠加。

波穿过彼此后保持原状不变。叠加是本主题所有内容的基石。

对于两分值的陈述：当两个或多个波在某点相遇时，合位移等于各分位移之和。 相加的是位移，而不是振幅或强度；只要同类型的波重叠，该原理即适用；波不必相干或具有相同的振幅。

如果两列振幅 振幅分别为 $A_{1}$ 和 $A_{2}$ 的波相遇：

• 同相 同相 (波峰 波峰遇波峰)：振幅为 $A_{1} + A_{2}$ (相长干涉 相长干涉)。
• 反相 (波峰遇波谷 波谷，相位差 相位差 $\pi$)：振幅为 $|A_{1} - A_{2}|$ (相消干涉 相消干涉)。
• 任何其他相位差 $\phi$：振幅介于上述两者之间。

对于强度，$I \propto A^{2}$。两列同相相遇的等幅波产生的强度为 $(2A)^{2} = 4A^{2}$——是单列波强度的四倍。

因为 $I \propto A^{2}$，先计算振幅。两列强度分别为 $I$ 和 $4I$ 的波，其振幅分别为 $A$ 和 $2A$：同相叠加得到振幅 $3A$ 和强度 $9I$，反相叠加得到振幅 $A$ 和强度 $I$。因此两列不同强度的相干波永远不会完全抵消：极小值的强度为 $(A_{2} - A_{1})^{2}$，而非零。振幅为 $2A$ 的波与振幅为 $A/2$ 的反向传播波相遇，产生介于 $2.5A$ 和 $1.5A$ 之间的合成波，形成没有真正节点的驻波模式。使同相相遇的两列等幅波中一列的振幅加倍，会将合成波从 $2A$ 变为 $3A$，因此强度从 $4A^{2}$ 升至 $9A^{2}$：即 $2.25$ 倍。

当两列相同的行波 行波向相反方向 传播并重叠时，会形成驻波 驻波。示例：弦上的波从固定端反射 反射后与入射波重叠；空气柱中的声波从封闭端反射；发射器与金属板之间的微波。

解释驻波是如何形成的（三至四分题，适用于弦、空气柱和微波）：来自波源的波传至远端（墙壁、封闭端或金属板）并被反射；入射波和反射波具有相同的频率、波长和波速，并向相反方向 传播；它们在重叠处叠加；在总是同相相遇的点，位移相加形成最大振幅，即波腹；在总是反相相遇的点，它们相互抵消，形成波节。对于“陈述条件”：两列同类型的波，具有相同的频率（和波长）及波速，沿同一直线向相反方向传播；只有当节点振幅为零时才需要等幅。微波实验中的金属板用于将波反射回原路径。

节点与波腹

在驻波中：

• 节点 波节 — 始终处于零位移的点（两列波总是相互抵消）。相邻节点间的距离为 $\lambda/2$。
• 波腹 波腹 — 振幅最大的点（两列波总是相加）。相邻波腹间的距离为 $\lambda/2$。
• 节点与其下一个波腹之间的距离为 $\lambda/4$。

两个节点之间的质点彼此同相 振动，但振幅不同（波腹处最大，节点处为零）。节点两侧质点呈反相 振动（相位差 $\pi$）。

因此，同一环（相邻节点之间）上两点间的相位差为 $0°$；相邻环上两点间为 $180°$；相隔一个完整环的两点间又恢复为 $0°$。每一点都在同一瞬间达到最大位移，并在同一瞬间经过零点。最大位移瞬间之后四分之一周期的弦线图是一条沿平衡位置的直线；半个周期后则是第一张图的镜像。在一个周期内，波腹处的质点运动四个振幅的距离，因此一个在一又二分之一周期内移动 $72\ \text{mm}$ 的质点，其振幅为 $12\ \text{mm}$。

例题。 一根长度为 $0.80\ \text{m}$ 的弦两端固定，以其基模振动，此时波速为 $240\ \text{m s}^{-1}$。求基频。

一个环适配整根弦，故 $\lambda = 2L = 1.60\ \text{m}$。则

驻波与行波的区别：驻波不沿其长度传递能量 能量，图样不沿弦移动，节点位置固定；而行波在各处振幅相同且携带能量。评分标准列出的三点区别：行波传递能量而驻波不传递；行波各点振幅相同，驻波振幅从节点的零变化到波腹的最大值；行波相邻点存在相位差，驻波中两个节点间的所有点均同相。

从节点间距测量波长

用频率为 $f$ 的振子驱动弦直至出现驻定图样。测量两个相距较远的节点间的距离，并将其除以其间半波长 波长的数量。这样 $\lambda$ 就已知了，结合 $v = f\lambda$ 即可求得波速。

对于一端封闭一端开口的管（共鸣管），封闭端是位移节点，开口端是位移腹点。基频对应 $L = \lambda/4$；下一个共振频率为 $L = 3\lambda/4$；以此类推。对于两端开口的管，两端均为腹点；基频位于 $L = \lambda/2$。

通用规则：封闭端是节点，开口端是波腹，两端固定的弦在两端均有节点。因此，闭口管容纳奇数个四分之一波长（$L = \lambda/4, 3\lambda/4, 5\lambda/4, \ldots$），而开口管和固定弦容纳完整的半波长（$L = \lambda/2, \lambda, 3\lambda/2, \ldots$）；两端开口且有 $n$ 个节点的管有 $n + 1$ 个波腹。频率由 $f = v/\lambda$ 得出：最低音为 $820\ \text{Hz}$ 的闭口管对应 $\lambda = 4L$，一条两端均有反射门的 $13.2\ \text{m}$ 长走廊，其最低共振频率为 $f = v/2L = 330/26.4 = 12.5\ \text{Hz}$。

例题。 一个扬声器置于长 $0.51\ \text{m}$ 的管子的开口端，管子另一端封闭，形成了具有两个节点和两个波腹的驻波。求波长，并结合 $v = 340\ \text{m s}^{-1}$ 求频率。

两个节点和两个波腹是闭口管的第二模式，即 $L = 3\lambda/4$，所以 $\lambda = 4 \times 0.51 / 3 = 0.68\ \text{m}$ 和 $f = 340 / 0.68 = 500\ \text{Hz}$。该管中能共振的最长波长为 $4L = 2.0\ \text{m}$。

教学大纲中列出的所有实验均通过节点或反节点间距测量 $\lambda$。在共振管实验中，将一根管子从水中提起，同时扬声器或音叉在其开口端发声；当空气柱长度为 $\lambda/4$ 时，声音在第一级共振处突然变响，随后在 $3\lambda/4$ 处再次变响，因此管子在这两次共振之间移动了 $\lambda/2$（学生无需任何设备即可检测共振：音符会突然变响）。在粉尘管实验中，细粉沉积在位移节点处形成堆，节点间距为 $\lambda/2$。使用微波时，沿发射器与金属反射板之间的连线移动的接收器每隔 $\lambda/2$ 读到一个最小值：若一个从最小值开始、在 $1.05\ \text{m}$ 内经过六个额外最小值的接收器穿过了 $3\lambda$，则其路程为 $\lambda = 0.35\ \text{m}$，对应于等效声波实验中的 $v = 340\ \text{m s}^{-1}$，以及 $f = 970\ \text{Hz}$。微波炉内的驻波在反节点处融化巧克力，反节点间距为 $\lambda/2$，因此光斑间距和微波炉频率 ($2.45\ \text{GHz}$) 可从 $c = f\lambda$ 计算出光速。

衍射 是指波通过缝隙或绕过障碍物后发生的扩散现象。所有波都会发生衍射——水波、声波、光波、微波皆如此。

对于两分的“陈述衍射的含义”题目：波通过缝隙（孔径）或绕过障碍物边缘时向后方区域扩散的现象。衍射改变波的传播方向，但不改变其速度、频率或波长。

扩散程度取决于波长与缝隙宽度之比：

• 缝隙远宽于 $\lambda$：扩散极少；波几乎直线穿过。
• 缝隙约等于 $\lambda$：大量扩散；波呈扇形散开。
• 缝隙小于 $\lambda$：强烈扩散；缝隙几乎相当于点源。

可在水波槽 (ripple tank) 中用水波演示：直波遇到带缝隙的屏障，随着缝隙变窄，波形弯曲更明显。同样的原理也解释了为什么你能听到拐角处的人说话（声波的 $\lambda$ 约为 1 m，接近缝隙尺寸），却看不到他们（可见光的 $\lambda \sim 500\ \text{nm}$ 远小于缝隙尺寸）。

为了获得最强的衍射效果，缝隙宽度应约为一个波长。因此，要增加给定波的衍射，需使缝隙变窄；对于给定的缝隙，应使用更长波长的波，即更低频率。波长为 $1.5\ \text{km}$ 的无线电波能绕过山脉到达其后方的天线；而波长为 $1.5\ \text{cm}$ 的微波则不能。空气中波长为 $0.44\ \text{kHz}$ 的声波具有 $\lambda = 330 / 440 = 0.75\ \text{m}$，因此约 $0.75\ \text{m}$ 尺寸的物体对其衍射作用最强；在通过宽度为 $0.80\ \text{m}$ 的门缝的声音中，低频成分的扩散最显著。使缝隙宽度达到多个波长或提高频率均可减少扩散。

干涉 是两列相干波的叠加，产生稳定的高振幅区域（相长干涉）和低振幅区域（相消干涉）图案。

相干性

当两个波源发出具有恒定相位差（这还需要相同频率）的波时，它们是相干的。两盏独立的灯不是相干的——它们的相位随机变化，导致任何图样闪烁太快而无法看见，你只能看到平均效果。

一分定义题的答案：相干波具有恒定相位差，这需要相同的频率。它们不必彼此同相：两个相距 $180°$ 的相干波源产生的图样，其中轴线可能是一个极小值。两盏独立的激光器，或一盏灯和一个激光器，即使频率碰巧匹配也不是相干的，因此不会形成稳定图样。

要从单一光源获得相干光，需将其通过双缝装置中的两个狭缝。两个狭缝均由同一波前照亮，因此两束光保持固定的相位关系。

清晰图样的条件

要观察到双缝条纹，你需要：

1. 两个相干波源（恒定相位差）。
2. 大致相等的振幅（否则暗区不够暗）。
3. 波在你观察的地方重叠。
4. 对于光（横波），相同的偏振平面。

实际上，对于光：单缝（或激光）使两个狭缝相干；狭缝很窄，因此每个狭缝将光衍射到两束光重叠的区域；且狭缝靠得很近而屏幕很远，使得条纹足够宽以便观察。

路程差

对于两个相干波源，某点处的情况取决于到达该点的两列波之间的路程差 $\Delta x$：

• 相长干涉：$\Delta x = n\lambda$（n 为整数 $n = 0, 1, 2, \ldots$）。
• 相消干涉：$\Delta x = (n + \tfrac{1}{2})\lambda$。

路径差决定了相位差：一个波长的路径对应$360°$。从两个同相波源发出的波，若分别传播了$100\ \text{cm}$和$80\ \text{cm}$且波长为$8.0\ \text{cm}$，到达时路径差为$2.5\lambda$，相位差为$180°$，从而相互抵消；波长为$4\ \text{cm}$的微波，若路径差为$6\ \text{cm}$（$1.5\lambda$），则产生极小值，仅当两列波振幅相等时强度才为零。同等降低两个波源的频率会延长波长，使得相同的路径差对应的波长数减少，该点不再处于极小值位置。

双缝（杨氏）实验

对于间距为 $a$ 的两个狭缝，屏幕距离为 $D$（假设 $D \gg a$），波长为 $\lambda$ 的光会在屏幕上形成条纹。

条纹间距 $x$（相邻两条条纹之间的距离）为

亮纹（极大）出现在路程差为整数倍 $\lambda$ 处；暗纹（极小）出现在路程差为 $(n + \tfrac{1}{2})\lambda$ 处。条纹等间距分布。

要使条纹间距变小：增大 $a$（狭缝间距变大），减小 $D$（屏幕靠近），或使用更短的 $\lambda$（蓝光）。

解释明暗条纹图样是如何形成的（三分）：光在每个狭缝处发生衍射；两束衍射光重叠并叠加；当来自两个狭缝的路程差为整数倍波长时，波同相到达并发生相长干涉，形成亮纹；当路程差为奇数倍半波长时，波反相到达并发生相消干涉，形成暗纹。更强的光源会使亮纹更亮但不会改变其间距；改用蓝光会使间距变小，因此要保持相同间距，必须将狭缝移得更近；使每个狭缝变窄会增加衍射，从而使条纹出现在更宽的区域，但间距不变。

例题。 在双缝实验中，狭缝间距为 $0.50\ \text{mm}$，用波长为 $600\ \text{nm}$ 的光照射。屏幕距离为 $2.0\ \text{m}$。求条纹间距。

例题。 波长为 $680\ \text{nm}$ 的红光照射在间距为 $0.16\ \text{mm}$ 的狭缝上。第一级和第九级暗纹中心之间的距离为 $3.2\ \text{cm}$。求到屏幕的距离 $D$。

八个条纹间距构成 $3.2\ \text{cm}$，因此 $x = 4.0\ \text{mm}$ 和 $D = ax / \lambda = (0.16 \times 10^{-3})(4.0 \times 10^{-3}) / (680 \times 10^{-9}) = 0.94\ \text{m}$。在宽度为 $5.0\ \text{cm}$ 且中心对准图案的屏幕上，有 $x = 2.4\ \text{mm}$，十个亮纹可排列在中央亮纹的两侧：总共 $21$ 个。$x$ 对 $a$ 作图是一条随 $1/a$ 下降的曲线；$x$ 对 $\lambda$（或对 $D$）作图是一条过原点、斜率为 $D/a$（或 $\lambda/a$）的直线，由此可求出 $a$。

衍射光栅 有许多等间距的狭缝——通常每毫米数百或数千条。每条狭缝都是一个相干波源。当满足以下条件时，在与光栅法线成 $\theta$ 的角度处可见极大值：

其中 $d$ 是缝间距（中心到中心），$n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$ 是级次，$\lambda$ 是波长。

例题。 一个衍射光栅每毫米有 $500$ 条线。波长为 $600\ \text{nm}$ 的光垂直入射。求一级 ($n = 1$) 极大的角度。

缝间距为 $d = \dfrac{1}{500}\ \text{mm} = 2.0 \times 10^{-6}\ \text{m}$，因此

与双缝相比，光栅产生的极大值要尖锐得多，因为更多狭缝的光叠加在一起——除特定方向外，其他所有方向都被许多狭缝抵消。

描述光栅处的衍射： 光在每个狭缝处扩散（衍射），所有狭缝发出的波发生叠加；在相邻狭缝间路程差为整数倍波长的方向上，它们全部同相，因此形成尖锐的极大值，其间几乎没有光强。强度对角度作图是一组位于 $\theta = 0$ 和 $\pm\theta_{1}, \pm\theta_{2}, \ldots$ 处的窄峰，此处满足 $\sin\theta_{n} = n\lambda/d$：在 $\sin\theta$ 中等间距分布，因此在较高级次时，$\theta$ 中的位置略微分开。

例题。 波长为 $680\ \text{nm}$ 的光垂直入射到每毫米有 $450$ 条线的光栅上。求两个二级极大值之间的夹角。

$d = 1/450\ \text{mm} = 2.22 \times 10^{-6}\ \text{m}$，因此 $\sin\theta_{2} = 2 \times 680 \times 10^{-9} / (2.22 \times 10^{-6}) = 0.612$ 和 $\theta_{2} = 37.7°$；两个二级光束相隔 $2\theta_{2} = 75°$。

由“每毫米条纹数”求狭缝间距

如果光栅有 $N$ 条/毫米，则 $d = 1/N$ 毫米 $= 10^{-3}/N$ 米。对于 $450$ 条/毫米，$d = 1/450\ \text{mm} \approx 2.22\ \mu\text{m}$。

最高级次

对于给定的光栅和波长，$\sin\theta = n\lambda/d$ 不能超过 $1$，因此可见的最高级次是

如果 $d/\lambda = 3.27$，则存在到 $n = 3$ 的级次；$n = 4$ 需要 $\sin\theta > 1$ 且不可见。

因此宽屏上的极大值总数为 $2n_{\text{max}} + 1$：对于 $700\ \text{nm}$ 光和 $400$ 条/毫米，$d/\lambda = 3.57$，所以 ⟨$n_{\text{max}} = 3$⟩ 且可见七束光。更短的波长在更小的角度下产生更多级次。白光中除零级外每一级都是光谱，紫光最靠近中心，红光最靠外，因为 $\theta$ 随 $\lambda$ 增大；零级保持白色。当 $n_{1}\lambda_{1} = n_{2}\lambda_{2}$ 时两个波长在同一角度出现极大值：$400\ \text{nm}$ 的第三级与 $600\ \text{nm}$ 的第二级重合。

用光栅测定 $\lambda$

让未知波长的平行光垂直入射光栅。测量第一级极大相对于中心的夹角 $\theta_{1}$。然后计算 $\lambda = d \sin\theta_{1}$。对更高阶重复并取平均可减小误差。

测量两侧一级极大值之间的夹角并除以二，这样可以抵消零位设置误差；高阶衍射给出更大的角度，从而减小百分比不确定度；绘制多个级次的 ⟨$\sin\theta$⟩ 对 ⟨$n$⟩ 图像可得一条过原点的直线，其斜率为 ⟨$\lambda/d$⟩，由此可求得 ⟨$\lambda = Gd$⟩（或对于已知波长，可求得 ⟨$d = \lambda/G$⟩）。必须注意两点：$\theta$ 是从光栅的法线 normal 测量的，而非从光栅表面；$d$ 是相邻刻线间的距离，因此每毫米有 ⟨$400$⟩ 条线意味着间距为 ⟨$d = 2.5\ \mu\text{m}$⟩，绝非 ⟨$400$⟩。

波源相位与路径相位

相干波源具有固定的相位差；它们不一定同相发射。观测点处的相位差由初始波源相位与路径差引起的相位变化共同组成。使用一致的符号约定，并将结果对 $360^\circ$ 取模化简。

对于滞后第二源的情况，$\delta_{\text{arrival}}=\delta_{\text{source}}+360^\circ(r_2-r_1)/\lambda$。360°的整数倍对应极大值；180°对360°取模对应极小值（仅当振幅相等时为零）。

示例。 两源发出相位相差180°的波。额外路径$\lambda/2$引入180°相位差，到达时总相位差为360°：这是一个极大值而非极小值。在波前图中，两个波峰相交处为极大值；波峰与波谷相遇处为极小值。

重叠级次与屏幕测量

当$n_1\lambda_1=n_2\lambda_2$时，两个波长会在同一方向产生极大值。例如，二级600 nm与三级400 nm重叠，因为$n_1\lambda_1=2\times600=1200\ \text{nm}$且$n_2\lambda_2=3\times400=1200\ \text{nm}$。

若在距离屏幕法线$L$处测量某级衍射极大，其位移$y$可求得$\theta=\tan^{-1}(y/L)$。然后应用$d\sin\theta=n\lambda$。此几何关系不同于小角度双缝条纹间距公式。

演示声波干涉

将两个扬声器连接到同一信号发生器，使它们的波具有相同的频率和固定的波源相位差。移动连接示波器或声级显示器的麦克风，穿过它们的重叠声场。交替出现的大振幅和小振幅信号分别表示相长干涉和相消干涉。在大振幅位置，到达时的相位相同；在小振幅位置，相位相反。改变麦克风位置会改变路径差。即使标称频率相同，不相关的扬声器也不必保持相干性。

定义题按固定的表述给分。把这些记准确,并且只写一个答案。

• 双源干涉：相长干涉当波程差 $= n\lambda$，相消干涉当 $= (n + \tfrac{1}{2})\lambda$；波源必须相干。
• 双缝：$\lambda = ax/D$；衍射光栅：$d\sin\theta = n\lambda$ —— 需熟记所有符号。
• 在驻波上标出节点和腹点；相邻节点相距 $\lambda/2$；它储存能量但不传递能量。
• 驻波需要两列同频反向传播的波。

常见错误

• 叠加原理中叠加振幅或强度。位移相加；强度随后由合振幅的平方得出。
• “相邻节点相距一个波长。”实际为半波长；节点到下一腹点是四分之一波长。
• 使用每毫米 $d =$ 条代入 $d\sin\theta = n\lambda$。取倒数：$d = 10^{-3}/N$ 米。
• 从光栅表面测量 $\theta$，或忘记两束第一级光束夹角为 $2\theta_{1}$。
• 将“同相”等同于相干。相干指恒定相位差；波源可能永久反相。
• 认为亮度增加改变条纹间距，或认为缝宽变窄改变间距。亮度和缝宽只影响对比度和可见条纹数，不影响 $x = \lambda D/a$。