功、能量与功率

力所做的功

当一个力使它的接触点沿力的方向移动时,就做了功(work)。一分的定义要这样写:所做的功是力与沿力方向移动的距离的乘积。 一个恒力 $F$ 引起位移(displacement)$s$ 所做的功是

其中 $\theta$ 是力与位移之间的夹角。只有力中沿位移方向的分量(component)才做功。

例题。 一个孩子用一根绳把雪橇在雪地上拉了 $5.0\ \text{m}$,用力 $20\ \text{N}$,与地面成 $60°$ 角。求绳所做的功。

单位:$\text{J} = \text{N m}$。功是一个标量(scalar)。

特殊情形:

• 力与运动同方向($\theta = 0$):$W = Fs$,正功,能量给予物体。
• 力与运动成直角($\theta = 90°$):$W = 0$。平路上汽车所受的支持力(normal contact force)不做功。
• 力与运动相反($\theta = 180°$):$W = -Fs$,负功,能量从物体中取走(例如摩擦力(friction))。

对于一个沿与水平(horizontal)成 $\alpha$ 角的斜坡向上运动的物体,上升高度 $h$ 时克服重力所做的功是 $mgh$,而沿斜坡长度 $L$ 的水平推力所做的功要用 $\cos\alpha$。

两个考查定义的选择题:一个物体沿无摩擦表面匀速滑动时(没有沿运动方向的力),或者只是被静止地举着时(没有移动距离),没有对它做功;一个力把它举起时,做了功。而当一个箱子被匀速推过粗糙的地面时,推力所做的功是整段距离上的 $F \times d$,不管路径被分成多少段。

例题。 一个质量为 $4.9\ \text{kg}$ 的物块在沿斜坡方向的力 $12\ \text{N}$ 作用下，以恒定速度被推上长 $8.0\ \text{m}$、高 $1.5\ \text{m}$ 的粗糙斜面。求克服摩擦力所做的功。

匀速意味着动能不变,所以推力所做的功分给了重力势能的增加和克服摩擦所做的功。推力做功:$12 \times 8.0 = 96\ \text{J}$。用竖直上升高度算重力势能的增加:$4.9 \times 9.81 \times 1.5 = 72\ \text{J}$。所以克服摩擦所做的功是 $96 - 72 = 24\ \text{J}$,摩擦力是 $24 / 8.0 = 3.0\ \text{N}$。在 $mgh$ 中用斜坡长度是这道题最常见的错误。

能量守恒

能量既不会凭空产生也不会消失——它只会从一种形式转化为另一种形式，或从一个物体转移到另一个物体。在封闭系统中，若无能量穿过边界传递，总能量保持不变。这就是能量守恒，表述为：能量不能被创造或消灭；它只能从一种形式转移到另一种形式（即当没有能量进入或离开系统时，总能量保持恒定）。

书写能量方程时，列出能量开始和结束时的所有形式。本教学大纲中的常见形式有：动能、重力势能、弹性势能、电能、热能、声能、化学能。

一个球沿无摩擦(frictionless)斜坡(ramp)向下滚,把重力势能(gravitational potential energy)变成动能(kinetic energy):$mgh = \tfrac{1}{2} m v^{2}$,所以 $v = \sqrt{2gh}$。有摩擦时,这些能量的一部分变成斜坡和空气的热能(thermal energy)。

例题。 一个球从 $1.2\ \text{m}$ 高的光滑斜坡顶从静止释放。求它在底部的速率(取 $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$)。

所有重力势能都变成动能,所以 $v = \sqrt{2gh}$(质量约去):

同样的思路也能读图。对于一个从高度 $H$ 下落、空气阻力可忽略的球,重力势能随高度沿直线减少($mgh$),动能沿直线增加($mg(H - h)$),两者在每个高度上相加都等于恒定的 $mgH$。

能量链可以经过一个弹簧。一个物块在略微下坡地滑动时以 $110\ \text{J}$ 的动能撞上弹簧,在弹簧把它停住之前它的重力势能又减少了 $20\ \text{J}$,那么如果没有能量因摩擦而损失,在最大压缩处弹簧储存了 $110 + 20 = 130\ \text{J}$ 的弹性势能(elastic potential energy)。弹簧的力-压缩量图随后给出压缩量:储存的能量是线下方的面积,对于服从胡克定律(主题 6)的弹簧是 $\tfrac{1}{2} F_{0} x_{0}$,所以最大力 $2600\ \text{N}$ 意味着 $x_{0} = 2 \times 130 / 2600 = 0.10\ \text{m}$。在那一刻物块所受的合力是弹簧力减去重力沿斜坡向下的分量,它的加速度由 $F = ma$ 得出(主题 3)。

效率

一个系统的效率(efficiency)是

用功率表达的同样想法:

在真实系统中效率总是小于 100%,因为一部分输入能量变成了"无用的"形式——通常是热能。如果供给的总能量为 $E$、浪费掉的量为 $Q$,那么有用输出是 $E - Q$,效率是 $(E - Q) / E$;一台输入功率 $1.7\ \text{kW}$、效率 $53\%$ 的电动机提供 $0.53 \times 1.7 = 0.90\ \text{kW}$ 的有用输出。

对于一个以效率 $\eta$、在电压(voltage)$V$ 和电流(current)$I$ 下提升负载的电动机,有用输出功率是 $\eta V I$。由此你可以求出一个力、一个提升速率或一个张力(tension)。

例题。 一台电动机以稳定速度 $0.40\ \text{m s}^{-1}$ 提升重 $50\ \text{kg}$ 的负载，同时消耗电功率 $250\ \text{W}$。求其效率（取 $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$）。

有用输出功率是 $P = mgv = 50 \times 9.81 \times 0.40 = 196\ \text{W}$,所以

例题。 一台电动机用力 $240\ \text{N}$ 在时间 $60\ \text{s}$ 内将物块垂直提升距离 $12\ \text{m}$。电动机的输入功率为 $900\ \text{W}$。求有用输出功率及效率。

对物块所做的功:$W = Fd = 240 \times 12 = 2880\ \text{J}$。有用输出功率:$P = W / t = 2880 / 60 = 48\ \text{W}$。效率:$48 / 900 \times 100\% = 5.3\%$。大部分输入变成了电动机及其电缆中的热能。反过来,一台有用输出 $20\ \text{kW}$ 的电梯电动机把 $1500\ \text{kg}$ 提升 $20\ \text{m}$ 需要 $t = mgh / P = 1500 \times 9.81 \times 20 / 20\,000 = 15\ \text{s}$。

功率(power)是做功的速率,或转移能量的速率:

单位:$\text{W} = \text{J s}^{-1}$。功率是一个标量。

功率、力和速度

对于一个以速度(velocity)$v$ 运动、受一个沿运动方向的力 $F$ 的物体,在短时间 $\Delta t$ 内位移是 $v\,\Delta t$,所做的功是 $F v\,\Delta t$。除以 $\Delta t$:

这是力学中最有用的结论之一。"推导 $P = Fv$"的答案恰好需要这三行:$P = W / t$,沿运动方向的力有 $W = Fs$,以及 $s / t = v$;然后用它来解车辆或负载以匀速运动的问题。

例题。 一辆汽车以稳定的 $25\ \text{m s}^{-1}$ 行驶,克服 $600\ \text{N}$ 的总阻力。求它发动机的输出功率。

在匀速时驱动力等于阻力,所以

• 汽车在平直路面上以恒定速度 $v$ 行驶时，发动机功率必须平衡总阻力：$P = F_{\text{resist}} \cdot v$。若阻力 随 $v^{2}$ 增大，速度加倍会使阻力变为四倍，所需平衡功率变为八倍：$P = Fv \propto v^{3}$。此结论假设所述阻力即为被平衡的阻力。
• 对于以恒定速度 $v$ 竖直提升重 $mg$ 的物体，有用输出功率为 $P = mg \cdot v$。
• 对于在固定高度悬停的飞机,升力等于重力,并且需要很大的功率,因为必须一直把空气往下推。
• 起重机以每分钟 $600\ \text{kg}$ 的恒定速度提升 $12\ \text{m}$，相当于以 $v = 0.20\ \text{m s}^{-1}$ 提升，因此其有用输出功率为 $mgv = 600 \times 9.81 \times 0.20 = 1.2\ \text{kW}$。首先将速度转换为 $\text{m s}^{-1}$。
• 一艘被恒定的风力推着以匀速前进的帆船,一定还受到来自水的等大阻力:匀速意味着合力为零,所以风的功率 $Fv$ 全部用于克服水的阻力做功。

在均匀重力场中(靠近行星表面),质量(mass)$m$ 上升或下落高度 $\Delta h$ 时重力势能的变化是

它从何而来

缓慢地(动能不变)把质量 $m$ 提升高度 $\Delta h$ 时克服重力所做的功等于获得的重力势能:

• 质量所受的重力是 $mg$ 向下,
• 缓慢提升它所需的力是 $mg$ 向上,
• 这个力所做的功是 $W = F \cdot s = mg \cdot \Delta h$,
• 这个功变成 $\Delta E_{\text{P}}$。

所以 $\Delta E_{\text{P}} = mg \Delta h$。要用它你需要 $m$ 和 $\Delta h$(以及 $g$)。你不需要速率或时间。两分的推导要的正是这四行,并写明条件:物块以匀速被提升,所以提升力等于重力 $mg$,这个力在竖直距离 $\Delta h$ 上所做的功是 $mg\Delta h$,即重力势能的增加。一个 $100\ \text{g}$ 的物体下落 $10\ \text{m}$ 损失 $0.100 \times 9.81 \times 10 = 9.8\ \text{J}$,约 $10\ \text{J}$;质量必须用千克。

一个质量为 $m$、以速率 $v$ 运动的物体的动能是

它从何而来

对静止的质量为 $m$ 的物体施加合力 $F$。它在位移 $s$ 内从 $0$ 均匀加速至 $v$。由 $v^{2} = u^{2} + 2as$ 结合 $u = 0$，

对质量所做的功是

所有这些功都变成动能,所以 $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2} m v^{2}$。考试中要边写边说明假设:物体从静止开始,力恒定,所以加速度均匀,而 $F = ma$ 是牛顿第二定律。

因为 $E_{\text{K}} \propto v^{2}$，速度变为四倍会使动能变为十六倍：一个在 $10\ \text{m s}^{-1}$ 时动能为 $1500\ \text{J}$ 的物体，在 $40\ \text{m s}^{-1}$ 时动能为 $24\,000\ \text{J}$。同样的平方关系也是为何可通过能量计算制动力：一个质量为 $1.2\ \text{kg}$、速度为 $3.0\ \text{m s}^{-1}$ 的球被缓冲垫在距离 $0.020\ \text{m}$ 内停下，损失了 $\tfrac{1}{2} \times 1.2 \times 3.0^{2} = 5.4\ \text{J}$ 的能量，因此对其施加的平均力为 $5.4 / 0.020 = 270\ \text{N}$：缓冲垫做的功等于损失的动能。

动能和动量

联立 $p = mv$ 和 $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2} m v^{2}$:

当给出动量(momentum)而不是速度时,这很方便。对于质量恒定、动量从 $p_{1}$ 变到 $p_{2}$ 的情形,动能的变化是 $(p_{2}^{2} - p_{1}^{2}) / (2m)$。

一个用于混合了力和能量的问题的有用方案:

1. 找出开始和结束状态。 写出每个状态下的动能和势能。
2. 列出外力所做的任何功(摩擦、一个推力)。摩擦通常取走能量;推力可以增加能量。
3. 能量守恒:$E_{\text{start}} + W_{\text{in}} = E_{\text{end}} + W_{\text{lost as heat etc.}}$。

例子:

• 一个箱子以匀速沿长度为 $L$、上升 $h$ 的斜坡被推动:$E_{\text{K}}$ 不变,所以推力所做的功变成 $\Delta E_{\text{P}}$ 加上克服摩擦所做的功。
• 一个物块在无摩擦表面上带着动能 $E_{\text{K}}$ 滑入一个弹簧(spring):在最大压缩(compression)$x$ 时,所有动能都变成了弹性势能 $\tfrac{1}{2} k x^{2}$(其中 $k$ 是劲度系数(spring constant))。
• 一个球从高度 $h_{1}$ 落下、弹到高度 $h_{2}$:比值 $h_{2}/h_{1}$ 是保留下来的机械能的比例,$h_{2}/h_{1} = (v_{\text{up}}/v_{\text{down}})^{2}$。
• 一个以不同角度抛到相同高度的抛体(projectile):末速率相同(只有高度才重要);用分量求它的方向。
• 一个蹦极者(bungee jumper):从平台到绳索绷直的那一点,重力势能变成动能;从那里起绳索拉伸并以弹性势能的形式吸收能量,所以动能在绳索的拉力首次等于重力处达到最大,然后在最低点降到零,那里损失的重力势能 $=$ 储存的弹性势能(加上任何热能)。

当力与速度成角度时的功率

只有平行于速度的分量才传递能量：$P=Fv\cos\theta$，其中 $\theta$ 是力与速度之间的夹角。这由 $W=Fs\cos\theta$ 和 $P=W/t$ 推导得出。

例题。 一个 120 N 的拉力作用于速度方向成 60° 角的小车上，小车速度为 2.0 m/s。$P=Fv\cos\theta=120\times2.0\times\cos60^\circ=120\ \text{W}$。垂直于速度方向的分量不做功。

定义题按固定的表述给分。把这些记准确,并且只写一个答案。

• 功 $=$ 力 $\times$ 沿力方向移动的距离——当它们成角度时用 $Fs\cos\theta$。
• 用能量守恒:重力势能的减少 $=$ 动能的增加($+$ 克服阻力所做的功)。
• 功率 $=$ 功 $/$ 时间 $= Fv$;效率 $=$ 有用输出 $\div$ 总输入。
• 重力势能用获得的竖直高度,而不是沿斜坡的距离。

常见错误

• 把高度的变化当作能量变化题的答案。要把计算做完:$\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h$。
• 在 $mg\Delta h$ 中用沿斜坡的距离当作高度,或者在需要重力的地方用质量。用获得的竖直高度,并检查题目要的是以 kg 计的 $m$ 还是以 N 计的 $W$。
• 对正在加速的汽车把阻力代入 $P = Fv$。$F$ 是驱动力;只有匀速时它才等于阻力。
• 效率超过 100%,或者把效率写成输出除以浪费。效率是有用输出除以总输入,而总输入永远是较大的那个数。
• 题目要能量时却读了力-伸长量图的斜率。储存的能量是线下方的面积,而不是它的斜率。