功、能量与功率

力所做的功

当一个力使它的接触点沿力的方向移动时,就做了功(work)。一个恒力 $F$ 引起位移(displacement)$s$ 所做的功是

其中 $\theta$ 是力与位移之间的夹角。只有力中沿位移方向的分量(component)才做功。

例题。 一个孩子用一根绳把雪橇在雪地上拉了 $5.0\ \text{m}$,用力 $20\ \text{N}$,与地面成 $60°$ 角。求绳所做的功。

单位:$\text{J} = \text{N m}$。功是一个标量(scalar)。

特殊情形:

• 力与运动同方向($\theta = 0$):$W = Fs$,正功,能量给予物体。
• 力与运动成直角($\theta = 90°$):$W = 0$。平路上汽车所受的支持力(normal contact force)不做功。
• 力与运动相反($\theta = 180°$):$W = -Fs$,负功,能量从物体中取走(例如摩擦力(friction))。

对于一个沿与水平(horizontal)成 $\alpha$ 角的斜坡向上运动的物体,上升高度 $h$ 时克服重力所做的功是 $mgh$,而沿斜坡长度 $L$ 的水平推力所做的功要用 $\cos\alpha$。

能量守恒

能量既不能创生也不能消灭——它只能从一种形式变成另一种,或从一个物体转移到另一个物体。在封闭系统(closed system)中,总能量保持恒定。这就是能量守恒(conservation of energy)。

当你写一个能量方程时,列出能量开始时和结束时的每一种形式。本大纲中的常见形式:动能、重力势能、弹性势能(elastic potential energy)、电能(electrical)、热能、声能、化学能(chemical energy)。

一个球沿无摩擦(frictionless)斜坡(ramp)向下滚,把重力势能(gravitational potential energy)变成动能(kinetic energy):$mgh = \tfrac{1}{2} m v^{2}$,所以 $v = \sqrt{2gh}$。有摩擦时,这些能量的一部分变成斜坡和空气的热能(thermal energy)。

例题。 一个球从 $1.2\ \text{m}$ 高的光滑斜坡顶从静止释放。求它在底部的速率(取 $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$)。

所有重力势能都变成动能,所以 $v = \sqrt{2gh}$(质量约去):

效率

一个系统的效率(efficiency)是

用功率表达的同样想法:

在真实系统中效率总是小于 100%,因为一部分输入能量变成了"无用的"形式——通常是热能。

对于一个以效率 $\eta$、在电压(voltage)$V$ 和电流(current)$I$ 下提升负载的电动机,有用输出功率是 $\eta V I$。由此你可以求出一个力、一个提升速率或一个张力(tension)。

例题。 一台电动机以稳定的 $0.40\ \text{m s}^{-1}$ 提升一个 $50\ \text{kg}$ 的负载,同时消耗 $250\ \text{W}$ 的电功率。求它的效率(取 $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$)。

有用输出功率是 $P = mgv = 50 \times 9.81 \times 0.40 = 196\ \text{W}$,所以

功率(power)是做功的速率,或转移能量的速率:

单位:$\text{W} = \text{J s}^{-1}$。功率是一个标量。

功率、力和速度

对于一个以速度(velocity)$v$ 运动、受一个沿运动方向的力 $F$ 的物体,在短时间 $\Delta t$ 内位移是 $v\,\Delta t$,所做的功是 $F v\,\Delta t$。除以 $\Delta t$:

这是力学中最有用的结论之一。

例题。 一辆汽车以稳定的 $25\ \text{m s}^{-1}$ 行驶,克服 $600\ \text{N}$ 的总阻力。求它发动机的输出功率。

在匀速时驱动力等于阻力,所以

• 对于平路上以匀速 $v$ 行驶的汽车,发动机功率必须平衡总阻力:$P = F_{\text{resist}} \cdot v$。如果阻力(drag)随 $v^{2}$ 增大,速率翻倍大约使所需功率变为四倍。
• 对于以匀速 $v$ 竖直向上提升一个重力(weight)$mg$,有用输出功率是 $P = mg \cdot v$。
• 对于在固定高度悬停的飞机,升力等于重力,并且需要很大的功率,因为必须一直把空气往下推。

在均匀重力场中(靠近行星表面),质量(mass)$m$ 上升或下落高度 $\Delta h$ 时重力势能的变化是

它从何而来

缓慢地(动能不变)把质量 $m$ 提升高度 $\Delta h$ 时克服重力所做的功等于获得的重力势能:

• 质量所受的重力是 $mg$ 向下,
• 缓慢提升它所需的力是 $mg$ 向上,
• 这个力所做的功是 $W = F \cdot s = mg \cdot \Delta h$,
• 这个功变成 $\Delta E_{\text{P}}$。

所以 $\Delta E_{\text{P}} = mg \Delta h$。要用它你需要 $m$ 和 $\Delta h$(以及 $g$)。你不需要速率或时间。

一个质量为 $m$、以速率 $v$ 运动的物体的动能是

它从何而来

对一个从静止开始的质量 $m$ 施加一个合力 $F$。它在位移 $s$ 内从 $0$ 均匀加速到 $v$。由 $v^{2} = u^{2} + 2as$ 且 $u = 0$,

对质量所做的功是

所有这些功都变成动能,所以 $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2} m v^{2}$。

动能和动量

联立 $p = mv$ 和 $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2} m v^{2}$:

当给出动量(momentum)而不是速度时,这很方便。对于质量恒定、动量从 $p_{1}$ 变到 $p_{2}$ 的情形,动能的变化是 $(p_{2}^{2} - p_{1}^{2}) / (2m)$。

一个用于混合了力和能量的问题的有用方案:

1. 找出开始和结束状态。 写出每个状态下的动能和势能。
2. 列出外力所做的任何功(摩擦、一个推力)。摩擦通常取走能量;推力可以增加能量。
3. 能量守恒:$E_{\text{start}} + W_{\text{in}} = E_{\text{end}} + W_{\text{lost as heat etc.}}$。

例子:

• 一个箱子以匀速沿长度为 $L$、上升 $h$ 的斜坡被推动:$E_{\text{K}}$ 不变,所以推力所做的功变成 $\Delta E_{\text{P}}$ 加上克服摩擦所做的功。
• 一个物块在无摩擦表面上带着动能 $E_{\text{K}}$ 滑入一个弹簧(spring):在最大压缩(compression)$x$ 时,所有动能都变成了弹性势能 $\tfrac{1}{2} k x^{2}$(其中 $k$ 是劲度系数(spring constant))。
• 一个球从高度 $h_{1}$ 落下、弹到高度 $h_{2}$:比值 $h_{2}/h_{1}$ 是保留下来的机械能的比例,$h_{2}/h_{1} = (v_{\text{up}}/v_{\text{down}})^{2}$。
• 一个以不同角度抛到相同高度的抛体(projectile):末速率相同(只有高度才重要);用分量求它的方向。

• 功 $=$ 力 $\times$ 沿力方向移动的距离——当它们成角度时用 $Fs\cos\theta$。
• 用能量守恒:重力势能的减少 $=$ 动能的增加($+$ 克服阻力所做的功)。
• 功率 $=$ 功 $/$ 时间 $= Fv$;效率 $=$ 有用输出 $\div$ 总输入。
• 重力势能用获得的竖直高度,而不是沿斜坡的距离。