- recall and use the circuit symbols shown in section 6 of this syllabus
- draw and interpret circuit diagrams containing the circuit symbols shown in section 6 of this syllabus
- define and use the electromotive force (e.m.f.) of a source as energy transferred per unit charge in driving charge around a complete circuit
- distinguish between e.m.f. and potential difference (p.d.) in terms of energy considerations
- understand the effects of the internal resistance of a source of e.m.f. on the terminal potential difference
直流电路
A-Level 物理 · 第 10 主题
10.1
实际电路
大纲
来源:剑桥国际大纲
电动势和电势差
一个电源的电动势(electromotive force,e.m.f.)$\varepsilon$ 是电源驱动电荷绕整个电路一周时给予每单位电荷的能量(energy)。单位:伏特。
一个元件两端的电势差(potential difference,p.d.)是每单位电荷经过那个元件时从电能变成其他形式的能量。
两者都以伏特为单位;它们在能量方向上不同:
- 电动势——电源注入电路的能量(电池中化学能 → 电能,发电机中机械能 → 电能)。
- 电势差——从电能形式中取走的能量(电阻中电能 → 热能,灯中 → 光,电动机中 → 动能)。
在实验室里你常常在面包板(breadboard,一块带成排孔的板,不用焊接就能连接元件)上搭建电路,并用万用表(multimeter)测量电流和电势差。
内阻
一个真实电源有一些内阻(internal resistance)$r$——通常是电池(cell)中电解质(electrolyte)的电阻,或发电机中的线圈绕组。当电流 $I$ 流动时,一个 $Ir$ 的内部电势差在电源内部"损失"掉,所以外电路两端的端电压(terminal p.d.)是
$$V_{\text{terminal}} = \varepsilon - I r.$$
所以:
- 无电流(开路(open circuit),$I = 0$):端电压等于电动势。
- 较大电流:端电压下降。
- 短路(short circuit,$R_{\text{external}} \to 0$):$I = \varepsilon / r$,一个很大的电流,所有能量都在电源内部变成热。
要测量 $r$,改变外电阻并作 $V_{\text{terminal}}$ 对 $I$ 的图:这条线 $y$ 轴截距为 $\varepsilon$,斜率为 $-r$。
例题。 一个电动势 $1.5\ \text{V}$、内阻 $0.50\ \Omega$ 的电池接到一个 $2.5\ \Omega$ 的电阻上。求电流和端电压。
电动势驱动电流通过两个电阻:$I = \dfrac{\varepsilon}{R + r} = \dfrac{1.5}{2.5 + 0.50} = 0.50\ \text{A}$。于是
$$V_{\text{terminal}} = \varepsilon - Ir = 1.5 - 0.50 \times 0.50 = 1.25\ \text{V}.$$
给予外部负载的功率(power)是 $P_{\text{ext}} = (\varepsilon - Ir) I$;内部损失的功率是 $P_{\text{int}} = I^{2} r$;电源发出的总功率是 $\varepsilon I$。
电路符号
你必须认识并画出大纲中的标准符号:电池、电池组、开关、电阻、可变电阻、电流表(ammeter)、电压表(voltmeter)、灯、二极管(diode,以及 LED 发光二极管)、电容器(capacitor)、电感、热敏电阻、光敏电阻、保险丝(fuse)、接地、接点。理想电流表有零电阻(resistance),串联(series)接入。理想电压表有无穷大的电阻,并联(parallel)接入。
探索
Internal resistance
V = ε − I·r
Terminal p.d. falls with current: it starts at the e.m.f. ε and drops by I·r.
词汇表
训练
| 英文 | 中文 | 拼音 |
|---|---|---|
| electromotive force | 电动势 | diàn dòng shì |
| energy | 能量 | néng liàng |
| potential difference | 电势差 | diàn shì chà |
| breadboard | 面包板 | miàn bāo bǎn |
| multimeter | 万用表 | wàn yòng biǎo |
| internal resistance | 内阻 | nèi zǔ |
| electrolyte | 电解质 | diàn jiě zhì |
| cell | 电池 | diàn chí |
| terminal p.d. | 端电压 | duān diàn yā |
| open circuit | 开路 | kāi lù |
| short circuit | 短路 | duǎn lù |
| power | 功率 | gōng lǜ |
| ammeter | 电流表 | diàn liú biǎo |
| voltmeter | 电压表 | diàn yā biǎo |
| LED | 发光二极管 | fā guāng èr jí guǎn |
| capacitor | 电容器 | diàn róng qì |
| fuse | 保险丝 | bǎo xiǎn sī |
| resistance | 电阻 | diàn zǔ |
| series | 串联 | chuàn lián |
| parallel | 并联 | bìng lián |
10.2
基尔霍夫定律
大纲
- recall Kirchhoff's first law and understand that it is a consequence of conservation of charge
- recall Kirchhoff's second law and understand that it is a consequence of conservation of energy
- derive, using Kirchhoff's laws, a formula for the combined resistance of two or more resistors in series
- use the formula for the combined resistance of two or more resistors in series
- derive, using Kirchhoff's laws, a formula for the combined resistance of two or more resistors in parallel
- use the formula for the combined resistance of two or more resistors in parallel
- use Kirchhoff's laws to solve simple circuit problems
来源:剑桥国际大纲
第一定律(节点规则)
在任何节点(junction)处,流入的总电流等于流出的总电流。这来自电荷守恒(conservation of charge)——在稳定电路中电荷不能在一点积累,所以每秒流入的电荷等于每秒流出的电荷。
对于一个有三根导线的节点:如果电流 2 和 3 流出、电流 1 流入,则 $I_{1} = I_{2} + I_{3}$。
第二定律(回路规则)
绕任何闭合回路(closed loop)一周,总电动势等于那个回路中各元件两端电势差之和。这来自能量守恒(conservation of energy):当一单位电荷绕回路一周时,它从电源获得的能量等于它交给各元件的能量。
选一个绕回路的方向。当回路方向从电源的 − 走向 + 时,电动势取正;当回路方向是通过电阻的常规电流方向时,电势差取正。
合成电阻
串联的电阻载相同的电流;总电势差是各部分之和:
$$\varepsilon = I R_{1} + I R_{2} + \ldots = I (R_{1} + R_{2} + \ldots),$$
所以 $R_{\text{series}} = R_{1} + R_{2} + \ldots$。
并联的电阻有相同的电势差;总电流是各部分之和:
$$I = \frac{V}{R_{1}} + \frac{V}{R_{2}} + \ldots = V \left(\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \ldots\right),$$
所以 $\dfrac{1}{R_{\text{parallel}}} = \dfrac{1}{R_{1}} + \dfrac{1}{R_{2}} + \ldots$。
两个相等的电阻 $R$ 并联给出 $R/2$;$N$ 个相等的给出 $R/N$。一个并联组合总是小于它的任何一个电阻;一个串联组合总是更大。
例题。 一个 $4.0\ \Omega$ 的电阻和一个 $12\ \Omega$ 的电阻并联。求它们的合成电阻。
$$\frac{1}{R} = \frac{1}{4.0} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \quad\Rightarrow\quad R = 3.0\ \Omega.$$
解一个电路
- 用一个符号和一个选定的方向标记每个电流。
- 在每个节点处用基尔霍夫第一定律(Kirchhoff's first law)把电流联系起来。
- 绕每个回路用基尔霍夫第二定律(Kirchhoff's second law)得到关于电势差的方程。
- 对每个电阻用 $V = IR$。
- 把这些方程联立求解。
对于对称的电阻网络,用对称性找出电流相等的支路——电流最多的支路给出最多的功率($P = I^{2}R$)。
探索
Series & parallel circuits
Switch between series and parallel and add bulbs. In series they share the voltage and one break kills them all; in parallel each gets the full voltage and a break only loses its branch.
词汇表
训练
| 英文 | 中文 | 拼音 |
|---|---|---|
| junction | 节点 | jié diǎn |
| conservation of charge | 电荷守恒 | diàn hè shǒu héng |
| loop | 回路 | huí lù |
| conservation of energy | 能量守恒 | néng liàng shǒu héng |
| Kirchhoff's first law | 基尔霍夫第一定律 | jī ěr huò fū dì yí dìng lǜ |
| Kirchhoff's second law | 基尔霍夫第二定律 | jī ěr huò fū dì èr dìng lǜ |
10.3
分压器
大纲
- understand the principle of a potential divider circuit
- recall and use the principle of the potentiometer as a means of comparing potential differences
- understand the use of a galvanometer in null methods
- explain the use of thermistors and light-dependent resistors in potential dividers to provide a potential difference that is dependent on temperature and light intensity
来源:剑桥国际大纲
分压器(potential divider)是跨接在一个电源上的两个(或更多)串联电阻。每个电阻两端的电势差与它的电阻成正比:
$$V_{1} = V_{\text{in}} \cdot \frac{R_{1}}{R_{1} + R_{2}}, \qquad V_{2} = V_{\text{in}} \cdot \frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}}.$$
通过选择电阻值,输出(在 $R_{1}$ 和 $R_{2}$ 之间引出)可以设为 $0$ 到 $V_{\text{in}}$ 之间的任何电压(voltage)。一个变阻器(rheostat,一根匀电阻线上的一个滑片)给出一个平滑可变的分压器。
例题。 一个 $6.0\ \text{V}$ 的电源跨接在一个 $2.0\ \text{k}\Omega$ 的电阻与一个 $4.0\ \text{k}\Omega$ 的电阻串联上。求在 $4.0\ \text{k}\Omega$ 电阻两端引出的输出电压。
$$V_{2} = V_{\text{in}} \cdot \frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}} = 6.0 \times \frac{4.0}{2.0 + 4.0} = 4.0\ \text{V}.$$
传感器电路
把一个固定电阻换成一个电阻随物理量变化的传感器(sensor):
- 热敏电阻(thermistor,NTC):$R$ 随温度上升而下降。在分压器中,输出电压沿一个固定方向随温度变化。
- 光敏电阻(light-dependent resistor,LDR):$R$ 随光强(light intensity)上升而下降,给出一个随亮度变化的输出。
把输出接到一个晶体管(transistor)基极或一个比较器(comparator),当温度或光越过一个阈值(threshold)时接通或断开一个负载。
电位差计与零点法
电位差计(potentiometer)是一根长度为 $L_{0}$ 的匀电阻线,带一个滑动触点(滑动触头(jockey))。单位长度的电阻均匀,所以从一端到滑动触头的电势差与长度成正比:
$$V_{x} = V_{\text{full}} \cdot \frac{x}{L_{0}}.$$
要比较两个电动势(一个未知电池对一个标准电池),把每个依次通过一个检流计(galvanometer)与滑动触头相连。滑动触头,直到检流计读数为零(一个零点(null)——被测电池中没有电流流过,因为电位差计在那里的电压恰好抵消电池的电动势)。两个平衡长度之比等于电动势之比:
$$\frac{\varepsilon_{1}}{\varepsilon_{2}} = \frac{l_{1}}{l_{2}}.$$
这是一个零点法(null method):你找到平衡(零电流),而不是测量一个电流的值。它的优点是在平衡时未知电池不给出电流,所以它的内阻不影响结果。
探索
Sharing voltage in series
In a series loop the same current flows everywhere and the cell's voltage splits across the components — that split is how a potential divider works.
词汇表
训练
| 英文 | 中文 | 拼音 |
|---|---|---|
| potential divider | 分压器 | fēn yā qì |
| voltage | 电压 | diàn yā |
| rheostat | 变阻器 | biàn zǔ qì |
| sensor | 传感器 | chuán gǎn qì |
| thermistor | 热敏电阻 | rè mǐn diàn zǔ |
| light-dependent resistor | 光敏电阻 | guāng mǐn diàn zǔ |
| light intensity | 光强 | guāng qiáng |
| transistor | 晶体管 | jīng tǐ guǎn |
| comparator | 比较器 | bǐ jiào qì |
| threshold | 阈值 | yù zhí |
| potentiometer | 电位差计 | diàn wèi chà jì |
| jockey | 滑动触头 | huá dòng chù tóu |
| galvanometer | 检流计 | jiǎn liú jì |
| null method | 零点法 | líng diǎn fǎ |
10.3
考试技巧
- 应用基尔霍夫定律:流入节点的电流 $=$ 流出的电流(电荷守恒);绕回路 $\sum \text{e.m.f.} = \sum \text{p.d.}$(能量守恒)。
- 合成电阻:串联 $R = R_1 + R_2$;并联 $1/R = 1/R_1 + 1/R_2$。
- 分压器按电阻之比分配电压。
- 把内阻算进去:$\text{e.m.f.} = I(R + r)$——"损失的电压"是 $Ir$。
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