Biến đổi và véc-tơ

Một phép biến hình thay đổi vị trí hoặc kích thước của một hình dạng. Hình ban đầu gọi là đối tượng và kết quả gọi là ảnh. Có bốn loại. Khi yêu cầu mô tả một phép biến hình, bạn phải nêu tên loại và cung cấp tất cả các chi tiết bên dưới.

Phản xạ

Một phản xạ lật ngược hình dạng qua một đường gương. Mỗi điểm ảnh đều cách đường kẻ một khoảng bằng nhau so với điểm đối tượng, nằm ở phía bên kia.

• Để mô tả phép biến đổi, hãy cho phương trình đường đối xứng (đối với Core, là đường ngang hoặc dọc; Extended cho phép mọi đường như $y = x$).

Ví dụ đã giải. Phản xạ điểm $(3, 2)$ qua trục $y$. Chỉ dấu của $x$ thay đổi: ảnh là $(-3, 2)$. (Trên trục $x$ sẽ là $(3, -2)$.)

Phép quay

Phép quay xoay hình quanh một điểm cố định, gọi là tâm quay, theo các bội số của $90^{\circ}$.

• Để mô tả, hãy cho tâm, góc quay và chiều (theo chiều kim đồng hồ hoặc ngược chiều kim đồng hồ).

Ví dụ đã giải. Quay $(3, 1)$ một góc $90^{\circ}$ ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ. Quy tắc là $(x, y) \to (-y, x)$, nên ảnh là $(-1, 3)$.

Phép phóng to

Phép phóng to thay đổi kích thước theo hệ số phóng đại $k$, đo từ một tâm cố định. Khoảng cách từ tâm đến bất kỳ điểm nào đều được nhân với $k$.

• Để mô tả, hãy cho tâm và hệ số phóng đại. Hệ số phóng đại phân số (giữa 0 và 1) làm hình nhỏ lại. Đối với Extended, $k$ cũng có thể là số âm (ảnh xuất hiện ở phía bên kia của tâm).

Ví dụ đã giải. Phóng to $(1, 2)$ từ gốc tọa độ với hệ số phóng đại $2$. Nhân cả hai tọa độ: ảnh là $(2, 4)$.

Phép tịnh tiến

Phép tịnh tiến dịch chuyển hình mà không xoay, theo một véc-tơ viết dưới dạng véc-tơ cột $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ ($x$ sang trái/phải, $y$ lên/xuống).

Ví dụ có hướng dẫn. Dịch chuyển $(5, 3)$ theo $\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}$: di chuyển $2$ sang trái và $4$ lên trên để thu được $(3, 7)$.

(Extended: một câu hỏi có thể yêu cầu bạn kết hợp hai phép biến đổi và mô tả phép biến đổi đơn lẻ tạo ra hiệu ứng tương đương.)

Véc-tơ có cả độ lớn và phương hướng. Nó có thể được viết dưới dạng véc-tơ cột, như $\overrightarrow{AB}$ (từ $A$ đến $B$), hoặc in đậm là $\mathbf{a}$.

• Cộng hoặc trừ bằng cách tính toán riêng phần trên và phần dưới.
• Nhân với vô hướng (một số thông thường) bằng cách nhân cả hai thành phần.

Ví dụ mẫu. Nếu $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ và $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}$, thì

Độ lớn (chiều dài) của véc-tơ được tìm bằng định lý Pythagoras. Với $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$,

Ví dụ đã giải. Độ lớn của $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ là $\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5$.

Véc-tơ có thể được vẽ dưới dạng đoạn thẳng có hướng (mũi tên). Véc-tơ vị trí của một điểm là véc-tơ từ gốc tọa độ $O$ đến điểm đó.

Một ý tưởng quan trọng: véc-tơ từ $A$ đến $B$ là

trong đó $\mathbf{a}$ và $\mathbf{b}$ là các véc-tơ vị trí của $A$ và $B$.

Hai véc-tơ cùng phương nếu một véc-tơ là bội số vô hướng của véc-tơ còn lại (ví dụ $\overrightarrow{AB} = 2\,\overrightarrow{CD}$). Ba điểm thẳng hàng (nằm trên một đường thẳng) nếu các véc-tơ nối giữa chúng cùng phương và có chung một điểm. Bạn có thể biểu diễn bất kỳ véc-tơ nào thông qua hai véc-tơ đồng phẳng.

Ví dụ đã giải. $O$ là gốc tọa độ, với $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$ và $\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$. $M$ là trung điểm của $AB$. Tìm $\overrightarrow{OM}$ theo $\mathbf{a}$ và $\mathbf{b}$.

• Mô tả đầy đủ mỗi phép biến đổi: phép tịnh tiến (một véc-tơ), phép phản xạ (đường đối xứng), phép quay (tâm, góc và chiều), phép phóng to (tâm và hệ số phóng đại).
• Hệ số phóng đại âm sẽ lật ngược ảnh qua tâm; hệ số phân số (giữa 0 và 1) sẽ làm hình nhỏ lại.
• Cộng véc-tơ đầu nối đuôi — cộng các thành phần trên, sau đó cộng các thành phần dưới. Độ lớn của véc-tơ được tính từ định lý Pythagoras dựa trên các thành phần của nó.
• $\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$ (tọa độ cuối trừ tọa độ đầu). Hai véc-tơ cùng phương nếu một véc-tơ là bội số vô hướng của véc-tơ còn lại.