Differential Equations · ⁨Phương trình vi phân⁩

AP Calculus BC · ⁨AP Giải tích BC⁩ · Topic 7 · ⁨Chủ đề 7⁩

View Slides · ⁨Xem Slides⁩ Train · ⁨Luyện tập⁩

Video lesson for this topic · ⁨Bài học video cho chủ đề này⁩ Open the video page · ⁨Mở trang video⁩

7.1

Modeling Situations with Differential Equations · ⁨Mô hình hóa các Tình huống bằng Phương trình vi phân⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.A: Interpret verbal statements of problems as differential equations involving a derivative expression.

FUN-7.A.1 Differential equations relate a function of an independent variable and the function's derivatives.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (FUN-7): Giải phương trình vi phân cho phép chúng ta xác định các hàm số và xây dựng mô hình.

Mục tiêu học tập FUN-7.A: Diễn giải các phát ngôn bằng lời của bài toán thành phương trình vi phân liên quan đến biểu thức đạo hàm.

FUN-7.A.1 Phương trình vi phân liên hệ giữa một hàm số của biến độc lập và các đạo hàm của hàm số đó.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

A differential equation 微分方程 relates a function to its derivatives. Many real situations are described by a rate: "the population grows at a rate proportional to its size" becomes $\dfrac{dP}{dt}=kP$. Setting up the equation from a verbal description – identifying what changes and what it is proportional to – is the first skill.

Tiếng Việt

Một phương trình vi phân liên hệ giữa một hàm với các đạo hàm của nó. Nhiều tình huống thực tế được mô tả qua tốc độ: "dân số tăng với tốc độ tỷ lệ thuận với kích thước của nó" trở thành $\dfrac{dP}{dt}=kP$. Thiết lập phương trình từ mô tả bằng lời nói – xác định những gì thay đổi và chúng tỷ lệ thuận với điều gì – là kỹ năng đầu tiên.

7.2

Verifying Solutions for Differential Equations · ⁨Kiểm chứng Nghiệm của Phương trình vi phân⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.B: Verify solutions to differential equations.

FUN-7.B.1 Derivatives can be used to verify that a function is a solution to a given differential equation.
FUN-7.B.2 There may be infinitely many general solutions to a differential equation.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (FUN-7): Giải phương trình vi phân cho phép chúng ta xác định các hàm số và xây dựng mô hình.

Mục tiêu học tập FUN-7.B: Kiểm tra nghiệm của phương trình vi phân.

FUN-7.B.1 Đạo hàm có thể được sử dụng để kiểm chứng xem một hàm số có phải là nghiệm của phương trình vi phân đã cho hay không.
FUN-7.B.2 Có thể có vô số nghiệm tổng quát của một phương trình vi phân.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

A solution is a function that satisfies the equation. To verify a proposed solution, differentiate it and substitute into the equation, checking that both sides agree. A general solution contains a constant $C$; a particular solution fixes $C$ from a condition.

Tiếng Việt

Một nghiệm là một hàm thỏa mãn phương trình. Để kiểm chứng một nghiệm đề xuất, hãy lấy đạo hàm của nó và thay vào phương trình, kiểm tra xem cả hai vế có khớp nhau hay không. Một nghiệm tổng quát chứa hằng số $C$; một nghiệm riêng xác định $C$ từ một điều kiện.

7.3

Sketching Slope Fields · ⁨Vẽ Trường Vectơ (Slope Fields)⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.C: Estimate solutions to differential equations.

FUN-7.C.1 A slope field is a graphical representation of a differential equation on a finite set of points in the plane.
FUN-7.C.2 Slope fields provide information about the behavior of solutions to first-order differential equations.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (FUN-7): Giải phương trình vi phân cho phép chúng ta xác định các hàm số và xây dựng mô hình.

Mục tiêu học tập FUN-7.C: Ước lượng nghiệm của phương trình vi phân.

FUN-7.C.1 Trường slope là biểu diễn đồ thị của một phương trình vi phân trên một tập hợp hữu hạn các điểm trong mặt phẳng.
FUN-7.C.2 Trường slope cung cấp thông tin về hành vi của các nghiệm của phương trình vi phân bậc nhất.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

Slope fields & solution curves

A slope field 斜率场 draws a short line segment at many points, each with the slope $\dfrac{dy}{dx}$ the equation gives there. It pictures the family of solution curves without solving. To sketch one, evaluate the right-hand side at each grid point and draw a segment of that slope.

Tiếng Việt

Trường độ dốc & đường nghiệm

Một trường hướng vẽ các đoạn thẳng ngắn tại nhiều điểm, mỗi điểm có độ dốc $\dfrac{dy}{dx}$ mà phương trình đưa ra tại đó. Nó minh họa họ nghiệm mà không cần giải. Để vẽ một trường hướng, hãy tính giá trị vế phải tại mỗi điểm lưới và vẽ một đoạn thẳng có độ dốc đó.

Trường hướng cho thấy độ dốc tại mọi điểm; các đường nghiệm theo nó

Explore · ⁨Khám phá⁩

Read a differential equation as a slope field · ⁨Đọc phương trình vi phân như một trường độ dốc⁩

A slope field draws the slope $dy/dx$ at each point. A solution curve threads through, always tangent to the little segments — you can sketch it by following the flow. · ⁨Một trường độ dốc vẽ độ dốc $dy/dx$ tại mỗi điểm. Một đường cong nghiệm luồn lách vào, luôn tiếp xúc với các đoạn thẳng nhỏ — bạn có thể phác thảo nó bằng cách theo dòng chảy.⁩

Vocabulary · ⁨Từ vựng⁩ Train · ⁨Luyện tập⁩

English	Tiếng Việt
differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/	phương trình vi phân
slope field/sləʊp fiːld/	trường phương trình
Euler's method/ˈɔɪləz ˈmeθəd/	phương pháp Euler
separable/ˈsepərəbl/	có thể tách biến
initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/	điều kiện ban đầu
exponential growth or decay/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ ɔː dɪˈkeɪ/	tăng trưởng hoặc suy giảm hàm mũ
logistic model/ləˈdʒɪstɪk ˈmɒdl/	mô hình logistic
carrying capacity/ˈkæriɪŋ kəˈpæsɪti/	sức chứa môi trường

7.4

Reasoning Using Slope Fields · ⁨Suy luận using Trường Vectơ⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.C: Estimate solutions to differential equations.

FUN-7.C.3 Solutions to differential equations are functions or families of functions.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (FUN-7): Giải phương trình vi phân cho phép chúng ta xác định các hàm số và xây dựng mô hình.

Mục tiêu học tập FUN-7.C: Ước lượng nghiệm của phương trình vi phân.

FUN-7.C.3 Nghiệm của phương trình vi phân là các hàm số hoặc họ các hàm số.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

A solution curve follows the segments like a boat following a current. From a slope field you can sketch the particular solution through a given point, describe long-run behavior, and locate where solutions level off (slopes near zero) – reasoning about solutions purely from the picture.

Tiếng Việt

Một đường nghiệm tuân theo các đoạn thẳng giống như một chiếc thuyền trôi theo dòng nước. Từ một trường hướng, bạn có thể phác thảo nghiệm riêng qua một điểm cho trước, mô tả hành vi dài hạn, và tìm nơi các nghiệm chững lại (độ dốc gần bằng 0) – suy luận về nghiệm hoàn toàn dựa trên hình ảnh.

7.5

Approximating Solutions Using Euler's Method · ⁨xấp xỉ Nghiệm bằng Phương pháp Euler⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.C: Estimate solutions to differential equations.

FUN-7.C.4 Euler's method provides a procedure for approximating a solution to a differential equation or a point on a solution curve. BC ONLY

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (FUN-7): Giải phương trình vi phân cho phép chúng ta xác định các hàm số và xây dựng mô hình.

Mục tiêu học tập FUN-7.C: Ước lượng nghiệm của phương trình vi phân.

FUN-7.C.4 Phương pháp Euler cung cấp quy trình để xấp xỉ nghiệm của phương trình vi phân hoặc một điểm trên đường cong nghiệm. CHỈ DÀNH CHO BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

Euler's method

Euler's method 欧拉方法 approximates a solution numerically by stepping along the slope field. Starting from a known point, take a small step $\Delta x$ and update:

$$y_{\text{new}}=y_{\text{old}}+\frac{dy}{dx}\cdot\Delta x.$$

Repeat for each step. Smaller steps give a better approximation. (This is a BC-only technique.)

Exam skill: be able to carry out two or three Euler steps by hand from a table, and know that Euler's method under- or over-estimates depending on the solution's concavity.

Worked example. Approximate $y(1)$ for $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$, with step $\Delta x=0.5$. Step 1: slope at $(0,1)$ is $0+1=1$, so $y(0.5)\approx 1+1(0.5)=1.5$. Step 2: slope at $(0.5,1.5)$ is $0.5+1.5=2$, so $y(1)\approx 1.5+2(0.5)=2.5$.

Tiếng Việt

Phương pháp Euler

Phương pháp Euler xấp xỉ nghiệm bằng số bằng cách bước dọc theo trường hướng. Bắt đầu từ một điểm đã biết, hãy đi một bước nhỏ $\Delta x$ và cập nhật:

$$y_{\text{new}}=y_{\text{old}}+\frac{dy}{dx}\cdot\Delta x.$$

Lặp lại cho mỗi bước. Bước càng nhỏ thì xấp xỉ càng tốt. (Đây là kỹ thuật chỉ dành cho BC.)

Kỹ năng làm bài thi: có khả năng thực hiện hai hoặc ba bước Euler bằng tay từ bảng số liệu, và biết rằng phương pháp Euler ước lượng thấp hoặc ước lượng cao tùy thuộc vào độ lồi/lõm của nghiệm.

Ví dụ minh họa. xấp xỉ $y(1)$ cho $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$, với bước $\Delta x=0.5$. Bước 1: độ dốc tại $(0,1)$ là $0+1=1$, nên $y(0.5)\approx 1+1(0.5)=1.5$. Bước 2: độ dốc tại $(0.5,1.5)$ là $0.5+1.5=2$, nên $y(1)\approx 1.5+2(0.5)=2.5$.

7.6

Finding General Solutions Using Separation of Variables · ⁨Tìm Nghiệm Tổng quát bằng Phân ly Biến số⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.D: Determine general solutions to differential equations.

FUN-7.D.1 Some differential equations can be solved by separation of variables.
FUN-7.D.2 Antidifferentiation can be used to find general solutions to differential equations.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (FUN-7): Giải phương trình vi phân cho phép chúng ta xác định các hàm số và xây dựng mô hình.

Mục tiêu học tập FUN-7.D: Xác định nghiệm tổng quát của phương trình vi phân.

FUN-7.D.1 Một số phương trình vi phân có thể giải được bằng phương pháp tách biến.
FUN-7.D.2 Nguyên hàm hóa có thể được sử dụng để tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

A separable 可分离 differential equation can be written with all the $y$'s on one side and all the $x$'s on the other, then integrated:

$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)\ \Rightarrow\ \int\frac{dy}{h(y)}=\int g(x)\,dx.$$

This produces the general solution (with a $+C$), the main analytic method for solving differential equations in this course.

Worked example. Solve $\dfrac{dy}{dx}=xy$ with $y(0)=2$. Separating, $\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx$ gives $\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C$, so $y=Ae^{x^2/2}$. The condition $y(0)=2$ gives $A=2$, so $y=2e^{x^2/2}$.

Tiếng Việt

E. coli dưới kính hiển vi: phương trình vi phân mô tả sự tăng trưởng cấp số nhân

Một phương trình vi phân tách biến có thể được viết lại với tất cả các $y$ ở một vế và tất cả các $x$ ở vế kia, sau đó tích phân:

$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)\ \Rightarrow\ \int\frac{dy}{h(y)}=\int g(x)\,dx.$$

Điều này tạo ra nghiệm tổng quát (với một $+C$), phương pháp giải tích chính để giải phương trình vi phân trong khóa học này.

Ví dụ đã giải. Giải $\dfrac{dy}{dx}=xy$ với $y(0)=2$. Tách biến, $\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx$ cho $\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C$, nên $y=Ae^{x^2/2}$. Điều kiện $y(0)=2$ cho $A=2$, nên $y=2e^{x^2/2}$.

7.7

Finding Particular Solutions Using Initial Conditions · ⁨Tìm Nghiệm Riêng bằng Điều kiện ban đầu⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.E: Determine particular solutions to differential equations.

FUN-7.E.1 A general solution may describe infinitely many solutions to a differential equation. There is only one particular solution passing through a given point.
FUN-7.E.2 The function $F$ defined by $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$ is a particular solution to the differential equation $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$, satisfying $F(a) = y_0$.
FUN-7.E.3 Solutions to differential equations may be subject to domain restrictions.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (FUN-7): Giải phương trình vi phân cho phép chúng ta xác định các hàm số và xây dựng mô hình.

Mục tiêu học tập FUN-7.E: Xác định nghiệm đặc biệt của phương trình vi phân.

FUN-7.E.1 Nghiệm tổng quát có thể mô tả vô số nghiệm của một phương trình vi phân. Chỉ có duy nhất một nghiệm đặc biệt đi qua một điểm cho trước.
FUN-7.E.2 Hàm số $F$ được xác định bởi $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$ là một nghiệm đặc biệt của phương trình vi phân $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$, thỏa mãn $F(a) = y_0$.
FUN-7.E.3 Nghiệm của phương trình vi phân có thể chịu sự giới hạn về miền xác định.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

An initial condition 初始条件 (a known point, e.g. $y(0)=5$) pins down the constant $C$. Solve for the general solution, substitute the condition to find $C$, then write the particular solution. Watch the domain – a particular solution is valid only on the interval containing the initial point.

Tiếng Việt

Một điều kiện ban đầu (một điểm đã biết, ví dụ $y(0)=5$) cố định hằng số $C$. Giải để tìm nghiệm tổng quát, thay điều kiện vào để tìm $C$, rồi viết nghiệm riêng. Chú ý miền xác định – nghiệm riêng chỉ hợp lệ trong khoảng chứa điểm ban đầu.

Hằng số tạo ra một họ đường cong; điều kiện ban đầu xác định một đường cụ thể — Hằng số tạo ra họ đường cong; điều kiện ban đầu chọn ra một đường cụ thể

7.8

Exponential Models with Differential Equations · ⁨Mô hình Lũy thừa Với Phương trình Vi phân⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.F: Interpret the meaning of a differential equation and its variables in context.

FUN-7.F.1 Specific applications of finding general and particular solutions to differential equations include motion along a line and exponential growth and decay.
FUN-7.F.2 The model for exponential growth and decay that arises from the statement "The rate of change of a quantity is proportional to the size of the quantity" is $\dfrac{dy}{dt} = ky$.

Learning Objective FUN-7.G: Determine general and particular solutions for problems involving differential equations in context.

FUN-7.G.1 The exponential growth and decay model, $\dfrac{dy}{dt} = ky$, with initial condition $y = y_0$ when $t = 0$, has solutions of the form $y = y_0 e^{kt}$.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (FUN-7): Giải phương trình vi phân cho phép chúng ta xác định các hàm số và xây dựng mô hình.

Mục tiêu học tập FUN-7.F: Diễn giải ý nghĩa của một phương trình vi phân và các biến số của nó trong ngữ cảnh cụ thể.

FUN-7.F.1 Các ứng dụng cụ thể của việc tìm nghiệm tổng quát và nghiệm đặc biệt của phương trình vi phân bao gồm chuyển động dọc theo đường thẳng và sự tăng trưởng/làm giảm lũy thừa.
FUN-7.F.2 Mô hình cho sự tăng trưởng/làm giảm lũy thừa phát sinh từ phát biểu "Tốc độ thay đổi của một đại lượng tỷ lệ thuận với kích thước của đại lượng đó" là $\dfrac{dy}{dt} = ky$.

Mục tiêu học tập FUN-7.G: Xác định nghiệm tổng quát và nghiệm đặc biệt cho các bài toán liên quan đến phương trình vi phân trong ngữ cảnh cụ thể.

FUN-7.G.1 Mô hình tăng trưởng/làm giảm lũy thừa, $\dfrac{dy}{dt} = ky$, với điều kiện ban đầu $y = y_0$ khi $t = 0$, có các nghiệm có dạng $y = y_0 e^{kt}$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

Exponential vs logistic growth

The equation $\dfrac{dy}{dt}=ky$ says the rate of change is proportional to the amount – giving exponential growth or decay 指数增长. Separating variables yields

$$y=y_0 e^{kt},$$

with $k>0$ for growth and $k<0$ for decay. This models unrestricted population growth, radioactive decay, and continuously compounded interest.

Tiếng Việt

Tăng trưởng lũy thừa so với tăng trưởng logarit

Phương trình $\dfrac{dy}{dt}=ky$ cho biết tốc độ thay đổi tỷ lệ thuận với lượng – tạo ra sự tăng trưởng hoặc suy giảm theo cấp số nhân. Tách biến số sẽ thu được

$$y=y_0 e^{kt},$$

với $k>0$ cho tăng trưởng và $k<0$ cho suy giảm. Điều này mô hình hóa sự tăng trưởng dân số không bị giới hạn, sự phân rã phóng xạ và lãi suất lũy compound liên tục.

Tách cà phê đang nguội: Định luật làm mát Newton là một mô hình phương trình vi phân điển hình

Explore · ⁨Khám phá⁩

An exponential growth/decay model · ⁨Mô hình tăng trưởng/suy giảm mũ⁩

y = a·e^(bx) + c

The equation $dy/dt=ky$ has exponential solutions: quantity changes at a rate proportional to itself, giving unbounded growth ($k>0$) or decay to zero ($k<0$). · ⁨Phương trình $dy/dt=ky$ có nghiệm mũ: đại lượng thay đổi với tốc độ tỷ lệ với chính nó, dẫn đến sự tăng trưởng vô hạn ($k>0$) hoặc suy giảm về 0 ($k<0$).⁩

7.9

Logistic Models with Differential Equations · ⁨Mô hình Logistic với Phương trình Vi phân⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.H: Interpret the meaning of the logistic growth model in context. BC ONLY

FUN-7.H.1 The model for logistic growth that arises from the statement "The rate of change of a quantity is jointly proportional to the size of the quantity and the difference between the quantity and the carrying capacity" is $\dfrac{dy}{dt} = ky(a - y)$. BC ONLY
FUN-7.H.2 The logistic differential equation and initial conditions can be interpreted without solving the differential equation. BC ONLY
FUN-7.H.3 The limiting value (carrying capacity) of a logistic differential equation as the independent variable approaches infinity can be determined using the logistic growth model and initial conditions. BC ONLY
FUN-7.H.4 The value of the dependent variable in a logistic differential equation at the point when it is changing fastest can be determined using the logistic growth model and initial conditions. BC ONLY

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (FUN-7): Giải phương trình vi phân cho phép chúng ta xác định các hàm số và xây dựng mô hình.

Mục tiêu học tập FUN-7.H: Giải thích ý nghĩa của mô hình tăng trưởng logistic trong ngữ cảnh. CHỈ DÀNH CHO BC

FUN-7.H.1 Mô hình tăng trưởng logistic xuất phát từ phát biểu "Tốc độ thay đổi của một đại lượng tỷ lệ thuận đồng thời với kích thước của đại lượng đó và hiệu số giữa đại lượng đó và sức chứa môi trường" là $\dfrac{dy}{dt} = ky(a - y)$. CHỈ DÀNH CHO BC
FUN-7.H.2 Phương trình vi phân logistic và điều kiện ban đầu có thể được giải thích mà không cần giải phương trình vi phân. CHỈ DÀNH CHO BC
FUN-7.H.3 Giá trị giới hạn (sức chứa môi trường) của phương trình vi phân logistic khi biến độc lập tiến tới vô cực có thể được xác định bằng cách sử dụng mô hình tăng trưởng logistic và điều kiện ban đầu. CHỈ DÀNH CHO BC
FUN-7.H.4 Giá trị của biến phụ thuộc trong phương trình vi phân logistic tại thời điểm nó thay đổi nhanh nhất có thể được xác định bằng cách sử dụng mô hình tăng trưởng logistic và điều kiện ban đầu. CHỈ DÀNH CHO BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

Real growth is limited by resources, so the logistic model 逻辑斯蒂模型 adds a carrying capacity 环境容纳量 $L$:

$$\frac{dP}{dt}=kP\!\left(1-\frac{P}{L}\right).$$

Growth is nearly exponential when $P$ is small, slows as $P$ approaches $L$, and stops at $P=L$. Key BC facts: the population levels off at $L$ ($\lim_{t\to\infty}P=L$), and it grows fastest when $P=\tfrac{L}{2}$ (the inflection point of the S-shaped curve). You are expected to read $L$ and the fastest-growth value directly from the equation.

Worked example. For $\dfrac{dP}{dt}=0.05\,P\!\left(1-\dfrac{P}{2000}\right)$, the carrying capacity is $L=2000$ (the population levels off there), and growth is fastest when $P=\dfrac{L}{2}=1000$ – both read straight off the equation, no solving needed.

Tiếng Việt

Sự tăng trưởng thực tế bị giới hạn bởi tài nguyên, vì vậy mô hình logistic thêm vào một sức chứa môi trường $L$:

$$\frac{dP}{dt}=kP\!\left(1-\frac{P}{L}\right).$$

Sự tăng trưởng gần như hàm mũ khi $P$ nhỏ, chậm lại khi $P$ tiến tới $L$, và dừng lại tại $P=L$. Các kiến thức quan trọng của BC: dân số bằng phẳng tại $L$ ($\lim_{t\to\infty}P=L$), và tăng trưởng nhanh nhất khi $P=\tfrac{L}{2}$ (điểm uốn của đường cong hình chữ S). Bạn cần đọc được $L$ và giá trị tăng trưởng nhanh nhất trực tiếp từ phương trình.

Ví dụ minh họa. Đối với $\dfrac{dP}{dt}=0.05\,P\!\left(1-\dfrac{P}{2000}\right)$, sức chứa môi trường là $L=2000$ (dân số đạt mức ổn định ở đó), và sự tăng trưởng nhanh nhất khi $P=\dfrac{L}{2}=1000$ – cả hai đều đọc trực tiếp từ phương trình, không cần giải.

Mô hình logarit tăng trưởng nhanh nhất tại P=L/2 và bằng phẳng tại sức chứa L

7.9

Exam tips · ⁨Mẹo làm bài thi⁩

English

Solve a separable equation by getting all $y$ on one side and all $x$ on the other, then integrating both sides (add $+C$ once).
Use the initial condition to find $C$ (a particular solution).
Sketch or read a slope field: the little segments show $\tfrac{dy}{dx}$ at each point, and a solution curve follows them.
Recognise exponential models $\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$ (growth/decay).
A differential equation gives the slope — you must integrate to recover the function.

Tiếng Việt

Giải một phương trình có thể tách biến bằng cách đưa tất cả $y$ về một vế và tất cả $x$ về vế kia, rồi tích phân hai vế (thêm $+C$ một lần).
Sử dụng điều kiện ban đầu để tìm $C$ (một nghiệm riêng).
Vẽ hoặc đọc trường độ dốc: các đoạn thẳng nhỏ biểu thị $\tfrac{dy}{dx}$ tại mỗi điểm, và một đường cong nghiệm sẽ chạy dọc theo chúng.
Nhận diện các mô hình lũy thừa $\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$ (tăng trưởng/suy giảm).
Một phương trình vi phân cung cấp độ dốc – bạn phải tích phân để khôi phục lại hàm số.

Interactive lessons on this topic · ⁨Bài học tương tác về chủ đề này⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨Làm theo từng bước, kèm theo bài tập kiểm tra ngay lập tức.⁩

Past Papers · ⁨Đề thi cũ⁩

More topics in AP Calculus BC · ⁨AP Giải tích BC⁩ · ⁨Nhiều chủ đề hơn trong AP Calculus BC · ⁨AP Giải tích BC⁩⁩