Integration and Accumulation of Change · ⁨Tích phân và Tích lũy thay đổi⁩

AP Calculus BC · ⁨AP Giải tích BC⁩ · Topic 6 · ⁨Chủ đề 6⁩

View Slides · ⁨Xem Slides⁩ Train · ⁨Luyện tập⁩

Video lesson for this topic · ⁨Bài học video cho chủ đề này⁩ Open the video page · ⁨Mở trang video⁩

6.1

Exploring Accumulations of Change · ⁨Khám phá Tích lũy Thay đổi⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.A: Interpret the meaning of areas associated with the graph of a rate of change in context.

CHA-4.A.1 The area of the region between the graph of a rate of change function and the $x$ axis gives the accumulation of change.
CHA-4.A.2 In some cases, accumulation of change can be evaluated by using geometry.
CHA-4.A.3 If a rate of change is positive (negative) over an interval, then the accumulated change is positive (negative).
CHA-4.A.4 The unit for the area of a region defined by rate of change is the unit for the rate of change multiplied by the unit for the independent variable.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (CHA-4): Tích phân xác định cho phép chúng ta giải quyết các bài toán liên quan đến sự tích lũy thay đổi trên một khoảng.

Mục tiêu học tập CHA-4.A: Giải thích ý nghĩa của các diện tích liên quan đến đồ thị của tốc độ thay đổi trong ngữ cảnh cụ thể.

CHA-4.A.1 Diện tích của vùng nằm giữa đồ thị của hàm tốc độ thay đổi và trục $x$ cho biết giá trị của sự tích lũy thay đổi.
CHA-4.A.2 Trong một số trường hợp, sự tích lũy thay đổi có thể được tính toán bằng cách sử dụng hình học.
CHA-4.A.3 Nếu tốc độ thay đổi mang dấu dương (âm) trên một khoảng, thì sự tích lũy thay đổi cũng mang dấu dương (âm).
CHA-4.A.4 Đơn vị đo của diện tích vùng được xác định bởi tốc độ thay đổi là đơn vị của tốc độ thay đổi nhân với đơn vị của biến độc lập.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

Where a derivative measures a rate, an integral 积分 measures an accumulation 累积 – a total built up from a rate. If a rate of change acts over an interval, the area between its graph and the axis gives the net accumulated change. This "area = total change" idea is the foundation of integral calculus.

Tiếng Việt

Bể chứa nước: tích phân tích lũy thay đổi – thể tích tổng cộng từ tốc độ dòng chảy

Nơi đạo hàm đo lường một tốc độ, thì tích phân đo lường sự tích lũy – một tổng được xây dựng từ tốc độ đó. Nếu một tốc độ biến thiên tác động qua một khoảng, diện tích giữa đồ thị của nó và trục tọa độ sẽ cho biết sự biến thiên tích lũy ròng. Ý tưởng "diện tích = biến thiên tổng" là nền tảng của giải tích tích phân.

6.2

Approximating Areas with Riemann Sums · ⁨xấp xỉ Diện tích bằng Tổng Riemann⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (LIM-5): Definite integrals can be approximated using geometric and numerical methods.

Learning Objective LIM-5.A: Approximate a definite integral using geometric and numerical methods.

LIM-5.A.1 Definite integrals can be approximated for functions that are represented graphically, numerically, analytically, and verbally.
LIM-5.A.2 Definite integrals can be approximated using a left Riemann sum, a right Riemann sum, a midpoint Riemann sum, or a trapezoidal sum; approximations can be computed using either uniform or nonuniform partitions.
LIM-5.A.3 Definite integrals can be approximated using numerical methods, with or without technology.
LIM-5.A.4 Depending on the behavior of a function, it may be possible to determine whether an approximation for a definite integral is an underestimate or overestimate for the value of the definite integral.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (LIM-5): Tích phân xác định có thể được xấp xỉ bằng các phương pháp hình học và số học.

Mục tiêu học tập LIM-5.A: Xấp xỉ một tích phân xác định bằng các phương pháp hình học và số học.

LIM-5.A.1 Tích phân xác định có thể được xấp xỉ đối với các hàm số được biểu diễn dưới dạng đồ thị, bảng số liệu, biểu thức giải tích và văn bản mô tả.
LIM-5.A.2 Tích phân xác định có thể được xấp xỉ bằng tổng Riemann trái, tổng Riemann phải, tổng Riemann điểm giữa, hoặc tổng hình thang; các giá trị xấp xỉ có thể được tính toán bằng cách sử dụng các phân hoạch đều hoặc không đều.
LIM-5.A.3 Tích phân xác định có thể được xấp xỉ bằng các phương pháp số học, có hoặc không có sự hỗ trợ của công nghệ.
LIM-5.A.4 Tùy thuộc vào tính chất của hàm số, có thể xác định được liệu giá trị xấp xỉ của một tích phân xác định là ước lượng thấp hay ước lượng cao so với giá trị thực tế của tích phân đó.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

The integral as area (Riemann sums)

Trapezoidal sums approximate area

A Riemann sum 黎曼和 estimates the area under a curve by adding the areas of thin rectangles. Split $[a,b]$ into subintervals and use the function's height at the left endpoint, right endpoint, or midpoint of each. A trapezoidal sum 梯形法 uses trapezoids instead, averaging the two endpoint heights – usually more accurate. With more, thinner rectangles the estimate improves.

Exam skill: be able to compute left, right, midpoint, and trapezoidal estimates from a table or graph, and state whether each over- or under-estimates based on whether the function is increasing/decreasing or concave up/down.

Tiếng Việt

The integral as area (Riemann sums)

Trapezoidal sums approximate area

Một tổng Riemann ước tính diện tích dưới đường cong bằng cách cộng diện tích của các hình chữ nhật mỏng. Chia $[a,b]$ thành các khoảng con và sử dụng chiều cao của hàm số tại điểm bên trái, bên phải, hoặc trung điểm của mỗi khoảng. Một tổng hình thang sử dụng các hình thang thay thế, lấy trung bình hai chiều cao đầu mút – thường chính xác hơn. Càng nhiều, càng mỏng các hình chữ nhật thì ước lượng càng tốt.

Tổng Riemann xấp xỉ diện tích dưới đường cong bằng các hình chữ nhật

Các dải có độ rộng h xấp xỉ diện tích dưới đường cong

Kỹ năng thi: có thể tính toán các ước lượng bên trái, bên phải, trung điểm và hình thang từ bảng số liệu hoặc đồ thị, và chỉ ra từng cái ước lượng cao hay thấp dựa trên việc hàm số đang tăng/giảm hay lồi lên/lồi xuống.

Explore · ⁨Khám phá⁩

Approximate area with rectangles · ⁨Xấp xỉ diện tích bằng hình chữ nhật⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

A Riemann sum approximates the area under a curve with rectangles. Add more, thinner rectangles and the estimate converges to the exact definite integral. · ⁨Một tổng Riemann xấp xỉ diện tích dưới đường cong bằng các hình chữ nhật. Thêm nhiều hình chữ nhật mỏng hơn và ước lượng sẽ hội tụ về tích phân xác định chính xác.⁩

Vocabulary · ⁨Từ vựng⁩ Train · ⁨Luyện tập⁩

English	Tiếng Việt
integral/ˈɪntɪɡrəl/	tích phân
Riemann sum/ˈriːmən sʌm/	tổng Riemann
trapezoidal sum/ˈtræpɪzɔɪdl sʌm/	tổng hình thang
definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/	tích phân xác định

6.3

Riemann Sums, Summation Notation, and Definite Integral Notation · ⁨Tổng Riemann, Ký hiệu tổng, và Ký hiệu tích phân xác định⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (LIM-5): Definite integrals can be approximated using geometric and numerical methods.

Learning Objective LIM-5.B: Interpret the limiting case of the Riemann sum as a definite integral.

LIM-5.B.1 The limit of an approximating Riemann sum can be interpreted as a definite integral.
LIM-5.B.2 A Riemann sum, which requires a partition of an interval $I$, is the sum of products, each of which is the value of the function at a point in a subinterval multiplied by the length of that subinterval of the partition.

Learning Objective LIM-5.C: Represent the limiting case of the Riemann sum as a definite integral.

LIM-5.C.1 The definite integral of a continuous function $f$ over the interval $[a, b]$, denoted by $\int_{a}^{b} f(x)\,dx$, is the limit of Riemann sums as the widths of the subintervals approach 0. That is, $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\Delta x_i$, where $n$ is the number of subintervals, $\Delta x_i$ is the width of the $i$th subinterval, and $x_i^*$ is a value in the $i$th subinterval.
LIM-5.C.2 A definite integral can be translated into the limit of a related Riemann sum, and the limit of a Riemann sum can be written as a definite integral.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (LIM-5): Tích phân xác định có thể được xấp xỉ bằng các phương pháp hình học và số học.

Mục tiêu học tập LIM-5.B: Diễn giải giới hạn của tổng Riemann dưới dạng tích phân xác định.

LIM-5.B.1 Giới hạn của một tổng Riemann xấp xỉ có thể được diễn giải là một tích phân xác định.
LIM-5.B.2 Một tổng Riemann, đòi hỏi một phân hoạch của khoảng $I$, là tổng của các tích, mỗi tích bao gồm giá trị của hàm số tại một điểm trong phân đoạn nhỏ nhân với độ dài của phân đoạn nhỏ đó trong phân hoạch.

Mục tiêu học tập LIM-5.C: Biểu diễn giới hạn của tổng Riemann dưới dạng tích phân xác định.

LIM-5.C.1 Tích phân xác định của hàm liên tục $f$ trên khoảng $[a, b]$, ký hiệu bởi $\int_{a}^{b} f(x)\,dx$, là giới hạn của các tổng Riemann khi độ rộng của các đoạn con tiến tới 0. Tức là, $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\Delta x_i$, trong đó $n$ là số lượng đoạn con, $\Delta x_i$ là độ rộng của đoạn con thứ $i$, và $x_i^*$ là một giá trị nằm trong đoạn con thứ $i$.
LIM-5.C.2 Một tích phân xác định có thể được chuyển đổi thành giới hạn của một tổng Riemann liên quan, và giới hạn của một tổng Riemann có thể được viết dưới dạng tích phân xác định.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

Writing a Riemann sum with summation notation $\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x$ and letting the number of rectangles grow without bound gives the exact area – the definite integral 定积分:

$$\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x.$$

The integral is the limit of Riemann sums; $a$ and $b$ are the limits of integration.

Tiếng Việt

Viết một tổng Riemann với ký hiệu tổng $\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x$ và để số lượng hình chữ nhật tiến tới vô cùng sẽ cho diện tích chính xác – tích phân xác định:

$$\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x.$$

Tích phân là giới hạn của các tổng Riemann; $a$ và $b$ là giới hạn của tích phân.

6.4

The Fundamental Theorem of Calculus and Accumulation Functions · ⁨Định lý Cơ bản của Giải tích và Hàm Tích lũy⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (FUN-5): The Fundamental Theorem of Calculus connects differentiation and integration.

Learning Objective FUN-5.A: Represent accumulation functions using definite integrals.

FUN-5.A.1 The definite integral can be used to define new functions.
- Illustrative examples for FUN-5.A.1: $f(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2}\,dt$.
FUN-5.A.2 If $f$ is a continuous function on an interval containing $a$, then $\dfrac{d}{dx}\left( \int_{a}^{x} f(t)\,dt \right) = f(x)$, where $x$ is in the interval.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (FUN-5): Định lý Cơ bản của Giải tích kết nối vi phân và tích phân.

Mục tiêu học tập FUN-5.A: Biểu diễn các hàm số tích lũy bằng tích phân xác định.

FUN-5.A.1 Tích phân xác định có thể được sử dụng để định nghĩa các hàm số mới.
- Ví dụ minh họa cho FUN-5.A.1: $f(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2}\,dt$.
FUN-5.A.2 Nếu $f$ là một hàm liên tục trên một khoảng chứa $a$, thì $\dfrac{d}{dx}\left( \int_{a}^{x} f(t)\,dt \right) = f(x)$, trong đó $x$ nằm trong khoảng đó.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

The Fundamental Theorem of Calculus

An accumulation function 累积函数 $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ gives the accumulated area from $a$ up to $x$. The Fundamental Theorem of Calculus (FTC) 微积分基本定理 says its derivative is the integrand:

$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x).$$

Differentiation and integration are inverse operations. With a variable upper limit and the chain rule, $\dfrac{d}{dx}\int_a^{u(x)} f(t)\,dt=f(u(x))\,u'(x)$.

Tiếng Việt

Định lý cơ bản của giải tích

Một hàm tích lũy $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ cho biết diện tích tích lũy từ $a$ lên đến $x$. Định lý cơ bản của Giải tích (FTC) nói rằng đạo hàm của nó chính là biểu thức dưới dấu tích phân:

$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x).$$

Vi phân và tích phân là các phép toán nghịch đảo. Với cận trên là biến số và quy tắc chuỗi, $\dfrac{d}{dx}\int_a^{u(x)} f(t)\,dt=f(u(x))\,u'(x)$.

Hàm tích lũy cộng diện tích có dấu; Định lý cơ bản của giải tích nói đạo hàm của nó là f

Explore · ⁨Khám phá⁩

Accumulate area as an integral · ⁨Tích lũy diện tích như một tích phân⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

An accumulation function $\int_a^x f(t)\,dt$ builds up signed area as $x$ moves. The Fundamental Theorem says its derivative is just $f(x)$. · ⁨Một hàm tích lũy $\int_a^x f(t)\,dt$ xây dựng diện tích có dấu khi $x$ di chuyển. Định lý Cơ bản nói rằng đạo hàm của nó chỉ đơn giản là $f(x)$.⁩

Vocabulary · ⁨Từ vựng⁩ Train · ⁨Luyện tập⁩

English	Tiếng Việt
accumulation/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn/	tích lũy
accumulation function/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn ˈfʌŋkʃn/	hàm tích lũy
Fundamental Theorem of Calculus (FTC)/ˌfʌndəˈmentl ˈθɪərəm ɒv ˈkælkjʊləs/	Định lý cơ bản của Giải tích (FTC)
antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/	nguyên hàm
indefinite integral/ɪnˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/	tích phân bất định

6.5

Interpreting the Behavior of Accumulation Functions · ⁨Giải thích hành vi của các hàm tích lũy⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (FUN-5): The Fundamental Theorem of Calculus connects differentiation and integration.

Learning Objective FUN-5.A: Represent accumulation functions using definite integrals.

FUN-5.A.3 Graphical, numerical, analytical, and verbal representations of a function $f$ provide information about the function $g$ defined as $g(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (FUN-5): Định lý Cơ bản của Giải tích kết nối vi phân và tích phân.

Mục tiêu học tập FUN-5.A: Biểu diễn các hàm số tích lũy bằng tích phân xác định.

FUN-5.A.3 Các biểu diễn đồ thị, số học, giải tích và văn bản của hàm số $f$ cung cấp thông tin về hàm số $g$ được định nghĩa là $g(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

Because $g'(x)=f(x)$, the graph of $f$ tells you everything about $g$: $g$ increases where $f>0$, decreases where $f<0$, has extrema where $f$ crosses zero, and is concave up where $f$ is increasing. Reading these connections off a graph of $f$ is a classic free-response task.

Tiếng Việt

Vì $g'(x)=f(x)$, đồ thị của $f$ cho bạn biết mọi thứ về $g$: $g$ tăng nơi $f>0$, giảm nơi $f<0$, có cực đại nơi $f$ cắt trục hoành, và lồi lên nơi $f$ đang tăng. Đọc những mối liên hệ này từ đồ thị của $f$ là một nhiệm vụ tự luận kinh điển.

6.6

Applying Properties of Definite Integrals · ⁨Áp dụng các tính chất của Tích phân xác định⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.A: Calculate a definite integral using areas and properties of definite integrals.

FUN-6.A.1 In some cases, a definite integral can be evaluated by using geometry and the connection between the definite integral and area.
FUN-6.A.2 Properties of definite integrals include the integral of a constant times a function, the integral of the sum of two functions, reversal of limits of integration, and the integral of a function over adjacent intervals.
FUN-6.A.3 The definition of the definite integral may be extended to functions with removable or jump discontinuities.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (FUN-6): Nhận ra các cơ hội để áp dụng kiến thức về hình học và các quy tắc toán học có thể đơn giản hóa việc tìm nguyên hàm/tích phân.

Mục tiêu học tập FUN-6.A: Tính toán một tích phân xác định bằng cách sử dụng diện tích và các tính chất của tích phân xác định.

FUN-6.A.1 Trong một số trường hợp, tích phân xác định có thể được tính toán bằng cách sử dụng hình học và mối liên hệ giữa tích phân xác định với diện tích.
FUN-6.A.2 Các tính chất của tích phân xác định bao gồm: tích phân của hằng số nhân với hàm số, tích phân của tổng hai hàm số, đảo ngược cận của tích phân, và tích phân của một hàm số trên các khoảng kề nhau.
FUN-6.A.3 Định nghĩa của tích phân xác định có thể được mở rộng cho các hàm số có điểm gián đoạn có thể loại bỏ hoặc điểm nhảy.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

Definite integrals obey useful rules: reversing the limits negates the value ($\int_b^a=-\int_a^b$), an integral over a zero-width interval is $0$, they add over adjacent intervals ($\int_a^c=\int_a^b+\int_b^c$), and constants factor out. Use these to combine or split given integral values.

Tiếng Việt

Tích phân xác định tuân theo các quy tắc hữu ích: đảo ngược các giới hạn sẽ đổi dấu giá trị ($\int_b^a=-\int_a^b$), tích phân trên khoảng có độ rộng bằng không là $0$, chúng cộng lại trên các khoảng liền kề ($\int_a^c=\int_a^b+\int_b^c$), và hằng số có thể đưa ra ngoài. Sử dụng những điều này để kết hợp hoặc tách rời các giá trị tích phân đã cho.

6.7

The Fundamental Theorem of Calculus and Definite Integrals · ⁨Định lý cơ bản của Giải tích và Tích phân xác định⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.B: Evaluate definite integrals analytically using the Fundamental Theorem of Calculus.

FUN-6.B.1 An antiderivative of a function $f$ is a function $g$ whose derivative is $f$.
FUN-6.B.2 If a function $f$ is continuous on an interval containing $a$, the function defined by $F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$ is an antiderivative of $f$ for $x$ in the interval.
FUN-6.B.3 If $f$ is continuous on the interval $[a, b]$ and $F$ is an antiderivative of $f$, then $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (FUN-6): Nhận ra các cơ hội để áp dụng kiến thức về hình học và các quy tắc toán học có thể đơn giản hóa việc tìm nguyên hàm/tích phân.

Mục tiêu học tập FUN-6.B: Tính toán các tích phân xác định theo giải tích bằng cách sử dụng Định lý Cơ bản của Giải tích.

FUN-6.B.1 Một nguyên hàm của hàm số $f$ là một hàm số $g$ có đạo hàm là $f$.
FUN-6.B.2 Nếu một hàm số $f$ liên tục trên một khoảng chứa $a$, thì hàm số được xác định bởi $F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$ là một nguyên hàm của $f$ đối với mọi $x$ trong khoảng đó.
FUN-6.B.3 Nếu $f$ liên tục trên khoảng $[a, b]$ và $F$ là một nguyên hàm của $f$, thì $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

The evaluation form of the FTC computes a definite integral from an antiderivative 原函数 $F$ (where $F'=f$):

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

So integrating a rate of change over $[a,b]$ gives the net change in the quantity – the single most-used result in the course.

Worked example. $\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,dx$: an antiderivative is $F(x)=x^2+x$, so the value is $F(3)-F(1)=12-2=10$.

Tiếng Việt

Dạng tính toán của FTC tính một tích phân xác định từ một nguyên hàm $F$ (ở đâu $F'=f$):

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

Vậy tích phân của một tốc độ biến thiên trên $[a,b]$ sẽ cho biến thiên ròng của đại lượng – kết quả được sử dụng phổ biến nhất trong khóa học.

Ví dụ mẫu. $\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,dx$: một nguyên hàm là $F(x)=x^2+x$, nên giá trị là $F(3)-F(1)=12-2=10$.

Một tích phân xác định là diện tích có dấu giữa đường cong và trục x

6.8

Finding Antiderivatives and Indefinite Integrals · ⁨Tìm Nguyên hàm và Tích phân bất định⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.C: Determine antiderivatives of functions and indefinite integrals, using knowledge of derivatives.

FUN-6.C.1 $\int f(x)\,dx$ is an indefinite integral of the function $f$ and can be expressed as $\int f(x)\,dx = F(x) + C$, where $F'(x) = f(x)$ and $C$ is any constant.
FUN-6.C.2 Differentiation rules provide the foundation for finding antiderivatives.
FUN-6.C.3 Many functions do not have closed-form antiderivatives.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (FUN-6): Nhận ra các cơ hội để áp dụng kiến thức về hình học và các quy tắc toán học có thể đơn giản hóa việc tìm nguyên hàm/tích phân.

Mục tiêu học tập FUN-6.C: Xác định nguyên hàm của các hàm số và tích phân không xác định, sử dụng kiến thức về đạo hàm.

FUN-6.C.1 $\int f(x)\,dx$ là nguyên hàm của hàm số $f$ và có thể biểu diễn dưới dạng $\int f(x)\,dx = F(x) + C$, trong đó $F'(x) = f(x)$ và $C$ là bất kỳ hằng số nào.
FUN-6.C.2 Các quy tắc đạo hàm cung cấp nền tảng để tìm nguyên hàm.
FUN-6.C.3 Nhiều hàm số không có nguyên hàm ở dạng đóng (closed-form).

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

An indefinite integral 不定积分 $\int f(x)\,dx=F(x)+C$ is the family of all antiderivatives (hence the constant of integration $C$). Reverse each derivative rule: the power rule becomes $\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ (for $n\neq-1$), with $\int \frac1x\,dx=\ln|x|+C$, and the antiderivatives of $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, and $\sec^2 x$ come straight from their derivatives.

Tiếng Việt

Một tích phân bất định $\int f(x)\,dx=F(x)+C$ là họ tất cả các nguyên hàm (do đó có hằng số tích phân $C$). Đảo ngược từng quy tắc vi phân: quy tắc lũy thừa trở thành $\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ (cho $n\neq-1$), với $\int \frac1x\,dx=\ln|x|+C$, và các nguyên hàm của $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, và $\sec^2 x$ thu được trực tiếp từ đạo hàm của chúng.

6.9

Integrating Using Substitution · ⁨Tích phân bằng Phương pháp Đặt ẩn phụ⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.D: For integrands requiring substitution or rearrangements into equivalent forms: (a) Determine indefinite integrals. (b) Evaluate definite integrals.

FUN-6.D.1 Substitution of variables is a technique for finding antiderivatives.
FUN-6.D.2 For a definite integral, substitution of variables requires corresponding changes to the limits of integration.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (FUN-6): Nhận ra các cơ hội để áp dụng kiến thức về hình học và các quy tắc toán học có thể đơn giản hóa việc tìm nguyên hàm/tích phân.

Mục tiêu học tập FUN-6.D: Đối với các biểu thức dưới dấu tích phân yêu cầu phép thế hoặc sắp xếp lại thành các dạng tương đương: (a) Xác định các tích phân vô định. (b) Tính các tích phân xác định.

FUN-6.D.1 Đổi biến số là một kỹ thuật dùng để tìm nguyên hàm.
FUN-6.D.2 Đối với tích phân xác định, việc đổi biến số yêu cầu phải thay đổi tương ứng các cận của tích phân.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

u-substitution 换元积分 reverses the chain rule: choose $u=g(x)$ so that $g'(x)$ also appears, turning $\int f(g(x))g'(x)\,dx$ into $\int f(u)\,du$. Remember to convert $dx$ to $du$ and, for a definite integral, either change the limits to $u$-values or convert back to $x$ at the end.

Tiếng Việt

u-substitution (thay biến) đảo ngược quy tắc chuỗi: chọn $u=g(x)$ sao cho $g'(x)$ cũng xuất hiện, biến $\int f(g(x))g'(x)\,dx$ thành $\int f(u)\,du$. Nhớ chuyển đổi $dx$ sang $du$ và, đối với tích phân xác định, hoặc thay đổi cận thành các giá trị $u$ hoặc quay trở lại $x$ ở cuối cùng.

Vocabulary · ⁨Từ vựng⁩ Train · ⁨Luyện tập⁩

English	Tiếng Việt
u-substitution/juː ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/	đặt ẩn phụ u
Integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/	Tích phân từng phần
Partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/	Phân tích phân thức

6.10

Integrating Using Long Division and Completing the Square · ⁨Tích phân bằng Phép Chia Dài và Hoàn thành Bình phương⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.D: For integrands requiring substitution or rearrangements into equivalent forms: (a) Determine indefinite integrals. (b) Evaluate definite integrals.

FUN-6.D.3 Techniques for finding antiderivatives include rearrangements into equivalent forms, such as long division and completing the square.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (FUN-6): Nhận ra các cơ hội để áp dụng kiến thức về hình học và các quy tắc toán học có thể đơn giản hóa việc tìm nguyên hàm/tích phân.

Mục tiêu học tập FUN-6.D: Đối với các biểu thức dưới dấu tích phân yêu cầu phép thế hoặc sắp xếp lại thành các dạng tương đương: (a) Xác định các tích phân vô định. (b) Tính các tích phân xác định.

FUN-6.D.3 Các kỹ thuật tìm nguyên hàm bao gồm việc biến đổi sang các dạng tương đương, chẳng hạn như chia đa thức và hoàn thành bình phương.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

When a rational integrand is "top-heavy" (numerator degree $\ge$ denominator degree), long division rewrites it as a polynomial plus a proper fraction you can integrate. Completing the square in a denominator turns it into a form like $u^2+a^2$, leading to an arctangent antiderivative $\frac1a\arctan\frac{u}{a}+C$.

Tiếng Việt

Khi hàm dưới dấu tích phân dạng hữu tỷ có "tử cao hơn mẫu" (bậc tử $\ge$ bậc mẫu), phép chia dài viết lại nó thành một đa thức cộng với một phân thức thực mà bạn có thể tích phân được. Hoàn thành bình phương trong mẫu số biến nó về dạng như $u^2+a^2$, dẫn đến nguyên hàm arctangent $\frac1a\arctan\frac{u}{a}+C$.

6.11

Integrating Using Integration by Parts · ⁨Tích phân bằng Phương pháp Tích phân từng phần⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.E: For integrands requiring integration by parts: (a) Determine indefinite integrals. BC ONLY (b) Evaluate definite integrals. BC ONLY

FUN-6.E.1 Integration by parts is a technique for finding antiderivatives. BC ONLY

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (FUN-6): Nhận ra các cơ hội để áp dụng kiến thức về hình học và các quy tắc toán học có thể đơn giản hóa việc tìm nguyên hàm/tích phân.

Mục tiêu học tập FUN-6.E: Đối với các biểu thức dưới dấu tích phân yêu cầu tích phân theo phần: (a) Xác định các tích phân vô định. CHỈ DÀNH CHO BC (b) Tính các tích phân xác định. CHỈ DÀNH CHO BC

FUN-6.E.1 Tích phân theo phần là một kỹ thuật để tìm nguyên hàm. CHỈ DÀNH CHO BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

Integration by parts 分部积分 reverses the product rule:

$$\int u\,dv = uv-\int v\,du.$$

Choose $u$ to simplify when differentiated and $dv$ to be easy to integrate (the LIATE guide: logs, inverse-trig, algebraic, trig, exponential). It handles products like $\int x e^x\,dx$ and $\int x\ln x\,dx$, sometimes applied twice.

Worked example. For $\int x e^x\,dx$, choose $u=x$ ($du=dx$) and $dv=e^x\,dx$ ($v=e^x$):

$$\int x e^x\,dx = x e^x-\int e^x\,dx = x e^x - e^x + C = e^x(x-1)+C.$$

Tiếng Việt

Tích phân từng phần đảo ngược quy tắc tích:

$$\int u\,dv = uv-\int v\,du.$$

Chọn $u$ để đơn giản hóa khi lấy đạo hàm và $dv$ để dễ dàng tích phân (hướng dẫn LIATE: logarit, lượng giác nghịch đảo, đại số, lượng giác, mũ). Nó xử lý các tích như $\int x e^x\,dx$ và $\int x\ln x\,dx$, đôi khi áp dụng hai lần.

Ví dụ đã giải. Đối với $\int x e^x\,dx$, chọn $u=x$ ($du=dx$) và $dv=e^x\,dx$ ($v=e^x$):

$$\int x e^x\,dx = x e^x-\int e^x\,dx = x e^x - e^x + C = e^x(x-1)+C.$$

6.12

Integrating Using Linear Partial Fractions · ⁨Tích phân bằng Phân tích Phân thức Đơn⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.F: For integrands requiring integration by linear partial fractions: (a) Determine indefinite integrals. BC ONLY (b) Evaluate definite integrals. BC ONLY

FUN-6.F.1 Some rational functions can be decomposed into sums of ratios of linear, nonrepeating factors to which basic integration techniques can be applied. BC ONLY

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (FUN-6): Nhận ra các cơ hội để áp dụng kiến thức về hình học và các quy tắc toán học có thể đơn giản hóa việc tìm nguyên hàm/tích phân.

Mục tiêu học tập FUN-6.F: Đối với các biểu thức dưới dấu tích phân yêu cầu tích phân theo phân thức riêng tuyến tính: (a) Xác định các tích phân vô định. CHỈ DÀNH CHO BC (b) Tính các tích phân xác định. CHỈ DÀNH CHO BC

FUN-6.F.1 Một số hàm hữu tỷ có thể được phân tích thành tổng của các tỷ số có mẫu số là các nhân tử tuyến tính, không lặp lại mà các kỹ thuật tích phân cơ bản có thể áp dụng. CHỈ DÀNH CHO BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

Partial fractions 部分分式 split a rational function with a factorable denominator into a sum of simpler fractions:

$$\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b},$$

each of which integrates to a logarithm. This technique is essential for the logistic differential equation in the next unit.

Tiếng Việt

Phân tích phân thức đơn tách một hàm hữu tỷ có mẫu số nhân tử hóa được thành tổng của các phân thức đơn giản hơn:

$$\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b},$$

mỗi cái đều tích phân ra một logarit. Kỹ thuật này rất quan trọng cho phương trình vi phân logistic trong chương tiếp theo.

6.13

Evaluating Improper Integrals · ⁨Đánh giá Tích phân Không xác định⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (LIM-6): The use of limits allows us to show that the areas of unbounded regions may be finite.

Learning Objective LIM-6.A: Evaluate an improper integral or determine that the integral diverges. BC ONLY

LIM-6.A.1 An improper integral is an integral that has one or both limits infinite or has an integrand that is unbounded in the interval of integration. BC ONLY
LIM-6.A.2 Improper integrals can be determined using limits of definite integrals. BC ONLY

Tiếng Việt

Hiểu Biết Bền Vững (LIM-6): Việc sử dụng giới hạn cho phép chúng ta chứng minh rằng diện tích của các vùng không bị chặn có thể hữu hạn.

Mục tiêu học tập LIM-6.A: Tính một tích phân không xác định hoặc xác định rằng tích phân đó phân tụ. CHỈ DÀNH CHO BC

LIM-6.A.1 Tích phân improper là tích phân có một hoặc cả hai cận vô hạn, hoặc có hàm dưới dấu tích phân không bị chặn trên khoảng lấy tích phân. CHỈ DÀNH CHO BC
LIM-6.A.2 Tích phân improper có thể được xác định thông qua giới hạn của các tích phân xác định. CHỈ DÀNH CHO BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

Improper integrals: converge or diverge

An improper integral 反常积分 has an infinite limit of integration or an infinite discontinuity in the integrand. Evaluate it as a limit: $\int_a^\infty f\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f\,dx$. If the limit is a finite number the integral converges 收敛; otherwise it diverges 发散.

Worked example. $\displaystyle\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^b=\lim_{b\to\infty}\left(1-\frac1b\right)=1$, so it converges to $1$. By contrast $\int_1^\infty \frac1x\,dx$ gives $\lim_{b\to\infty}\ln b=\infty$ and diverges – the same integrand-shape can go either way.

Tiếng Việt

Tích phân không xác định: hội tụ hay phân kỳ

Một tích phân không xác định có cận vô hạn hoặc một điểm gián đoạn vô hạn trong hàm dưới dấu tích phân. Đánh giá nó như một giới hạn: $\int_a^\infty f\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f\,dx$. Nếu giới hạn là một số hữu hạn thì tích phân hội tụ; nếu không thì nó phân kỳ.

Ví dụ đã giải. $\displaystyle\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^b=\lim_{b\to\infty}\left(1-\frac1b\right)=1$, do đó nó hội tụ về $1$. Ngược lại, $\int_1^\infty \frac1x\,dx$ cho kết quả là $\lim_{b\to\infty}\ln b=\infty$ và phân kỳ – cùng một dạng hàm dưới dấu tích phân có thể đi theo cả hai hướng.

Vocabulary · ⁨Từ vựng⁩ Train · ⁨Luyện tập⁩

English	Tiếng Việt
improper integral/ɪmˈprɒpə ˈɪntɪɡrəl/	tích phân bất thường
converges/kənˈvɜːdʒɪz/	hội tụ
diverges/daɪˈvɜːdʒɪz/	phân kỳ

6.14

Selecting Techniques for Antidifferentiation · ⁨Chọn Kỹ thuật cho Nguyên hàm⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

This topic is intended to focus on the skill of selecting an appropriate procedure for antidifferentiation. Students should be given opportunities to practice when and how to apply all learning objectives relating to antidifferentiation.

Tiếng Việt

Chủ đề này nhằm tập trung vào kỹ năng chọn thủ tục phù hợp để tìm nguyên hàm. Học sinh cần có cơ hội thực hành khi nào và làm thế nào để áp dụng tất cả các mục tiêu học tập liên quan đến tìm nguyên hàm.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

The BC exam expects you to recognize which method fits: basic rules, substitution (a chain-rule pattern), by parts (a product), partial fractions (a factorable rational), or long division/completing the square. Being able to look at an integral and pick the right tool quickly is itself a tested skill.

Tiếng Việt

Đề thi BC yêu cầu bạn nhận biết phương pháp nào phù hợp: các quy tắc cơ bản, thế biến (dạng quy tắc chuỗi), tích phân từng phần (một tích), phân tích phân thức đơn (hữu tỷ nhân tử hóa được), hoặc phép chia dài/hoàn thành bình phương. Khả năng nhìn vào một tích phân và chọn công cụ đúng ngay lập tức bản thân nó là một kỹ năng được kiểm tra.

6.14

Exam tips · ⁨Mẹo làm bài thi⁩

English

Integration is antidifferentiation; use the power rule $\int x^n\,dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ and don't forget the $+C$.
The Fundamental Theorem links the two: $\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$, and $\tfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$.
Approximate a definite integral with Riemann sums or the trapezoidal rule from a table of values.
A definite integral is a signed area (below the axis counts negative); split at sign changes for total area.
Use u-substitution and remember to change the limits (or back-substitute) accordingly.

Tiếng Việt

Tích phân là nguyên hàm; hãy sử dụng quy tắc lũy thừa $\int x^n\,dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ và đừng quên thêm $+C$.
Định lý Cơ bản liên kết hai khái niệm: $\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$, và $\tfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$.
xấp xỉ một tích phân xác định bằng tổng Riemann hoặc quy tắc hình thang từ bảng giá trị.
Một tích phân xác định là diện tích có dấu (phía dưới trục hoành tính âm); chia nhỏ tại các điểm đổi dấu để tìm tổng diện tích.
Sử dụng đặt u-substitution và nhớ thay đổi cận (hoặc thế ngược) tương ứng.

Interactive lessons on this topic · ⁨Bài học tương tác về chủ đề này⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨Làm theo từng bước, kèm theo bài tập kiểm tra ngay lập tức.⁩

Past Papers · ⁨Đề thi cũ⁩

More topics in AP Calculus BC · ⁨AP Giải tích BC⁩ · ⁨Nhiều chủ đề hơn trong AP Calculus BC · ⁨AP Giải tích BC⁩⁩