Vật lý hạt nhân

Thuyết tương đối hẹp của Einstein đưa ra mối liên hệ nổi tiếng (tương đương khối lượng-năng lượng):

trong đó $c = 3.00 \times 10^{8}\ \text{m s}^{-1}$. Một khối lượng $m$ tương ứng với một năng lượng $E$ — hai đại lượng này có thể chuyển hóa qua lại. Đối với sự thay đổi khối lượng $\Delta m$:

Ví dụ minh họa. Sao Sirius mất khối lượng thông qua phản ứng tổng hợp hạt nhân ở $1.09 \times 10^{11}\ \text{kg s}^{-1}$. Hãy tìm công suất bức xạ của nó.

Mỗi kilogram biến mất đều được giải phóng dưới dạng năng lượng: $P = c^{2} \times (\text{mass lost per second}) = (3.00 \times 10^{8})^{2}(1.09 \times 10^{11}) = 9.8 \times 10^{27}\ \text{W}$. Đây là brightness (độ sáng) của sao (Chủ đề 25); độ sáng của Mặt Trời là $3.8 \times 10^{26}\ \text{W}$, do đó nó mất khoảng $4$ triệu tấn mỗi giây. Ý tưởng ngược lại: một nhà máy điện sản xuất $1\ \text{GW}$ trong một năm sẽ chuyển đổi $E/c^{2} = 3.2 \times 10^{16}/9.0 \times 10^{16} = 0.35\ \text{kg}$ khối lượng, đó là lý do tại sao nhiên liệu sau khi dùng gần như không giảm trọng lượng.

Trong vật lý hạt nhân, các khối lượng rất nhỏ nhưng $c^{2}$ thì cực lớn, nên một sự thay đổi khối lượng nhỏ dẫn đến năng lượng lớn. Sự thay đổi khối lượng $1\ \text{u}$ ($1.661 \times 10^{-27}\ \text{kg}$) tương ứng với $\Delta E \approx 1.49 \times 10^{-10}\ \text{J}$. Điều này cho ra hệ số chuyển đổi mà bạn sẽ sử dụng nhiều lần:

Một phản ứng hạt nhân được viết như sau

với số nucleon được bảo toàn (các số trên: $14 + 4 = 17 + 1$) và điện tích được bảo toàn (các số dưới: $7 + 2 = 8 + 1$) — đây là định luật bảo toàn điện tích. Sử dụng các quy tắc này để điền vào phần chưa biết: xác định loại hạt, sau đó cân bằng các số trên và số dưới.

Các phương trình phân rã. Phân rã alpha loại bỏ $^{4}_{2}\text{He}$, do đó $A$ giảm đi 4 và $Z$ giảm đi 2: $^{211}_{84}\text{Po} \to {}^{207}_{82}\text{Pb} + {}^{4}_{2}\text{He}$. Phân rã beta-trừ biến một neutron thành proton, phát ra electron và antineutrino: $^{15}_{6}\text{C} \to {}^{15}_{7}\text{N} + {}^{0}_{-1}\text{e} + \bar{\nu}$ ($A$ không đổi, $Z$ tăng 1). Phân rã beta-dương biến một proton thành neutron, phát ra positron và neutrino: $^{18}_{9}\text{F} \to {}^{18}_{8}\text{O} + {}^{0}_{+1}\text{e} + \nu$ ($Z$ giảm 1). Phát gamma không làm thay đổi bất kỳ số nào. Trong chuỗi phân rã, chỉ cần ghi chép cẩn thận: một hạt nhân W phát ra $\beta^{-}$, sau đó $\alpha$, rồi $\beta^{-}$ sẽ kết thúc thành $A - 4$ và $Z + 1 - 2 + 1 = Z$, là một đồng vị của W. Kiểm tra cả hai hàng của mọi phương trình bạn hoàn thành, và nhớ rằng neutrino luôn có mặt: đáp án thi bao gồm nó.

Khối lượng của một hạt nhân nhỏ hơn tổng khối lượng của các proton và neutron riêng lẻ bên trong nó. Phần chênh lệch gọi là độ hụt khối $\Delta m$:

Theo $E = mc^{2}$, khối lượng "mất" này đã được giải phóng dưới dạng năng lượng khi hạt nhân hình thành. Để tách rời hạt nhân hoàn toàn, bạn phải cung cấp lại chính lượng năng lượng đó — đây là năng lượng liên kết $B$:

Ví dụ minh họa. Hạt nhân heli-4 có độ hụt khối là $\Delta m = 0.0304\ \text{u}$. Hãy tính năng lượng liên kết của nó. ($1\ \text{u}$ tương ứng với $931\ \text{MeV}$.)

Một hạt nhân liên kết chặt chẽ hơn sẽ có độ hụt khối lớn hơn và năng lượng liên kết lớn hơn. Năng lượng liên kết trên mỗi nucleon là $B/A$ (thường tính bằng MeV trên mỗi nucleon) — là thước đo mức độ liên kết chặt chẽ của từng nucleon, hữu ích để so sánh các nguyên tử khác nhau.

Các định nghĩa điểm hai. Độ hụt khối của một hạt nhân là hiệu số giữa tổng khối lượng các nucleon riêng lẻ và khối lượng của hạt nhân. Năng lượng liên kết là năng lượng tối thiểu cần thiết để tách hạt nhân thành các nucleon riêng lẻ (hoặc tương đương, năng lượng giải phóng khi hạt nhân hình thành từ các nucleon riêng lẻ). Nên nói "các nucleon riêng lẻ" hoặc "các proton và neutron riêng biệt"; câu nói "năng lượng giữ hạt nhân lại với nhau" sẽ không được chấm điểm. Năng lượng liên kết được giải phóng, không được lưu trữ: hạt nhân có năng lượng thấp hơn tổng các bộ phận cấu tạo nên nó.

Ví dụ minh họa. Các khối lượng là: proton $1.007\,276\ \text{u}$, neutron $1.008\,665\ \text{u}$, hạt nhân poloni-212 $211.945\,4\ \text{u}$. Hãy tính độ hụt khối và năng lượng liên kết trên mỗi nucleon của $^{212}_{84}\text{Po}$.

$Z = 84$ proton và $N = 212 - 84 = 128$ neutron: tổng cộng $84 \times 1.007\,276 + 128 \times 1.008\,665 = 84.611\,2 + 129.109\,1 = 213.720\,3\ \text{u}$. Độ hụt khối $\Delta m = 213.720\,3 - 211.945\,4 = 1.774\,9\ \text{u}$. Năng lượng liên kết $= 1.774\,9 \times 931.5 = 1653\ \text{MeV}$, do đó trên mỗi nucleon là $1653/212 = 7.80\ \text{MeV}$, nằm trên phần giảm dần của đồ thị. Giữ lại tất cả các chữ số thập phân cho đến bước trừ: độ hụt khối là một hiệu số nhỏ giữa hai con số lớn.

Năng lượng liên kết trên mỗi nucleon theo số nucleon

Biểu đồ vẽ $B/A$ theo $A$ thường có dạng:

• đối với hạt nhân nhẹ ($A < 20$), $B/A$ tăng nhanh (với đỉnh nhọn tại hạt nhân rất bền $^{4}_{2}\text{He}$).
• quanh $A \sim 56$ (sắt), $B/A$ đạt cực đại khoảng $8.8\ \text{MeV}$. Hạt nhân Sắt-56 là bền nhất.
• đối với hạt nhân nặng ($A > 100$), $B/A$ giảm chậm, xuống khoảng $7.5\ \text{MeV}$ đối với urani.

Vì vậy, đường cong có dạng vòm, tăng lên đến sắt rồi mới giảm.

Vẽ nháp đường cong. Đề thi sẽ cho trục tọa độ trống ($A$ từ 1 đến 250, $B/A$ lên đến khoảng $9\ \text{MeV}$) và các điểm đánh dấu: một đường dốc đứng tăng từ gần zero tại $A = 1$, một điểm cực đại gần $A = 56$ ở mức khoảng $8.8\ \text{MeV}$, sau đó là một đường giảm chậm, nhẹ nhàng xuống còn khoảng $7.5\ \text{MeV}$ tại $A = 238$. Đừng bắt đầu đường cong chính xác tại gốc tọa độ (heli-1 không có năng lượng liên kết nhưng là một điểm đơn lẻ), đừng làm cho phần giảm dốc bằng phần tăng, và đừng để đường cong chạm về zero ở phía bên phải. Khi được yêu cầu đánh dấu một hạt nhân trải qua phân rã alpha, hãy đặt X ở phía xa bên phải, $A > 200$; một hạt nhân trải qua tổng hợp hạt nhân nằm ở phía xa bên trái, $A < 10$; cả hai đều nằm ở vị trí có $B/A$ thấp, di chuyển lên trên đường cong khi phản ứng xảy ra.

Năng lượng được giải phóng khi các hạt nhân di chuyển về phía đỉnh sắt — bằng cách kết hợp các hạt nhân nhẹ hoặc tách các hạt nhân nặng.

Phản ứng tổng hợp hạt nhân

Phản ứng tổng hợp hạt nhân nối hai hạt nhân nhẹ thành một hạt nhân nặng hơn:

Sản phẩm có năng lượng liên kết lớn hơn mỗi nucleon so với chất tham gia, nên năng lượng được giải phóng. Tổng hợp là nguồn năng lượng của các ngôi sao. Quá trình này cần nhiệt độ rất cao (hàng triệu kelvin) để các hạt nhân có đủ năng lượng động vượt qua lực đẩy điện tĩnh giữa chúng và đến gần nhau đủ để lực hạt nhân mạnh chiếm ưu thế.

Phản ứng phân hạch hạt nhân

Phản ứng phân hạch hạt nhân tách một hạt nhân nặng thành hai hạt nhân nhẹ hơn:

Các sản phẩm có năng lượng liên kết lớn hơn mỗi nucleon so với $^{235}$U, nên năng lượng được giải phóng. Các neutron dư thừa có thể gây ra thêm phản ứng phân hạch — tạo thành phản ứng dây chuyền trong một khối lượng nhiên liệu đủ lớn (khối lượng tới hạn). Đây là cơ sở của năng lượng hạt nhân và vũ khí hạt nhân.

"Mô tả sự khác biệt giữa phân hạch và tổng hợp." Phân hạch: một hạt nhân nặng (có $A$ lớn) bị tách thành hai hạt nhân nhẹ hơn có khối lượng tương đương nhau, thường sau khi hấp thụ một neutron, đồng thời giải phóng thêm các neutron. Tổng hợp: hai hạt nhân nhẹ (có $A$ nhỏ) kết hợp để tạo thành một hạt nhân nặng hơn; quá trình này cần nhiệt độ và áp suất rất cao để passphrase lực đẩy điện tĩnh giữa các hạt nhân. Cả hai đều giải phóng năng lượng, nhưng trên mỗi kilogram nhiên liệu, tổng hợp giải phóng nhiều năng lượng hơn.

"Giải thích, dựa vào đồ thị, tại sao năng lượng lại được giải phóng." Trong cả hai quá trình, các sản phẩm nằm ở vị trí cao hơn trên đồ thị năng lượng liên kết mỗi nucleon so với các chất tham gia: mỗi nucleon cuối cùng bị liên kết chặt chẽ hơn, nên tổng năng lượng liên kết tăng lên. Phần năng lượng liên kết dư thừa được giải phóng (dưới dạng năng lượng động của các sản phẩm và dưới dạng photon), và tổng khối lượng của các sản phẩm nhỏ hơn khối lượng của các chất tham gia đi một lượng $\Delta E/c^{2}$. Một hạt nhân gần đỉnh (sắt) không thể giải phóng năng lượng bằng bất kỳ quá trình nào, đó là lý do tại sao quá trình tổng hợp trong các ngôi sao dừng lại ở sắt.

Tính toán năng lượng giải phóng

1. tìm tổng khối lượng của các chất tham gia.
2. tìm tổng khối lượng của các sản phẩm.
3. độ thay đổi khối lượng $\Delta m = m_{\text{reactants}} - m_{\text{products}}$ (dương khi năng lượng được giải phóng).
4. năng lượng giải phóng $\Delta E = c^{2} \Delta m$.

Tính theo kg sẽ ra đơn vị joule; tính theo đơn vị khối lượng nguyên tử thì dùng $\Delta E\ (\text{MeV}) = \Delta m\ (\text{u}) \times 931$.

Ví dụ minh họa. Trong một phản ứng hạt nhân, tổng khối lượng giảm đi $0.020\ \text{u}$. Tìm năng lượng được giải phóng.

Ví dụ minh họa (tổng hợp). Độ hụt mass của deuterium $^{2}_{1}\text{H}$ là $0.002\,388\ \text{u}$ và của heli-4 là $0.030\,377\ \text{u}$. Tìm năng lượng giải phóng khi hai hạt nhân deuterium tổng hợp để tạo thành một hạt nhân heli-4.

Năng lượng giải phóng $=$ (năng lượng liên kết của sản phẩm) $-$ (năng lượng liên kết của chất tham gia) $= [0.030\,377 - 2 \times 0.002\,388] \times 931.5 = 0.025\,601 \times 931.5 = 23.8\ \text{MeV}$ ($3.82 \times 10^{-12}\ \text{J}$). Độ hụt mass có thể được sử dụng trực tiếp như vậy vì số lượng nucleon ở hai vế bằng nhau; hiệu số giữa các độ hụt mass chính là phần khối lượng đã bị chuyển hóa. Trên mỗi kilogram deuterium, điều này tương đương với $5.7 \times 10^{14}\ \text{J}$, khoảng một triệu lần so với nhiên liệu hóa học.

Ví dụ minh họa (phân hạch). $^{235}_{92}\text{U} + {}^{1}_{0}\text{n} \to {}^{141}_{56}\text{Ba} + {}^{92}_{36}\text{Kr} + 3\,{}^{1}_{0}\text{n}$. Khối lượng: U-235 $235.043\,9\ \text{u}$, n $1.008\,665\ \text{u}$, Ba-141 $140.914\,4\ \text{u}$, Kr-92 $91.926\,2\ \text{u}$. Tìm năng lượng giải phóng.

Chất tham gia: $235.043\,9 + 1.008\,665 = 236.052\,6\ \text{u}$. Sản phẩm: $140.914\,4 + 91.926\,2 + 3 \times 1.008\,665 = 235.866\,6\ \text{u}$. $\Delta m = 0.186\,0\ \text{u}$, do đó $\Delta E = 0.186\,0 \times 931.5 = 173\ \text{MeV} = 2.8 \times 10^{-11}\ \text{J}$ mỗi lần phân hạch. Đếm ba neutron ở vế phải và một neutron ở vế trái: việc bỏ sót một hạt sẽ làm sai lệch kết quả bằng đúng khối lượng của một nucleon.

Ví dụ minh họa (phân rã alpha và động lượng). Một hạt nhân $^{238}_{92}\text{U}$ đang đứng yên phân rã thành $^{234}_{90}\text{Th}$ bằng cách phát ra một hạt $\alpha$; tổng năng lượng động được giải phóng là $4.27\ \text{MeV}$. Tìm năng lượng động của hạt $\alpha$.

Động lượng được bảo toàn và hạt mẹ ở trạng thái nghỉ, nên $\alpha$ và hạt nhân thorium có động lượng bằng nhau và ngược chiều $p$. Với $E_{\text{K}} = p^{2}/2m$, năng lượng tỉ lệ nghịch với khối lượng: $E_{\alpha}/E_{\text{Th}} = m_{\text{Th}}/m_{\alpha} = 234/4$. Vì vậy, $E_{\alpha} = 4.27 \times 234/238 = 4.20\ \text{MeV}$ và sự chuyển động lùi của thorium chỉ nhận một phần năng lượng rất nhỏ là $0.07\ \text{MeV}$. Các hạt $\alpha$ phát ra từ một quá trình phân rã cụ thể đều có cùng một mức năng lượng này, đây là dấu hiệu cho thấy năng lượng chỉ được chia sẻ giữa hai vật thể.

Ví dụ minh họa (nguồn điện phóng xạ). Một tàu thăm dò vũ trụ được cung cấp năng lượng bởi $0.874\ \text{kg}$ plutoni-238, chu kỳ bán rã $87.7$ năm, mỗi lần phân rã giải phóng $5.59\ \text{MeV}$. Tìm công suất có sẵn tại thời điểm phóng.

Số hạt nhân: $N = 0.874/(238 \times 1.661 \times 10^{-27}) = 2.21 \times 10^{24}$. Hằng số phân rã: $\lambda = 0.693/(87.7 \times 3.156 \times 10^{7}) = 2.50 \times 10^{-10}\ \text{s}^{-1}$. Độ hoạt động: $A = \lambda N = 5.53 \times 10^{14}\ \text{Bq}$. Công suất $= A \times E = 5.53 \times 10^{14} \times 5.59 \times 1.60 \times 10^{-13} = 490\ \text{W}$, giảm một nửa sau $87.7$ năm. Một nuclide có thời gian bán rã ngắn hơn sẽ cung cấp nhiều công suất hơn mỗi kilogram nhưng sẽ không đủ dùng cho nhiệm vụ; polonium-210 ($138$ ngày) sẽ mạnh hơn rất nhiều ban đầu nhưng vô dụng trong vòng hai năm.

Ngẫu nhiên và tự phát

Phân rã phóng xạ là:

• tự phát — nó xảy ra mà không cần kích thích bên ngoài, và tốc độ không bị thay đổi bởi nhiệt độ, áp suất hay trạng thái hóa học; và
• ngẫu nhiên — bạn không thể dự đoán chính xác khi nào một hạt nhân cụ thể sẽ phân rã, chỉ có thể tính được xác suất để nó phân rã trong một khoảng thời gian.

Bằng chứng về tính ngẫu nhiên: tỷ lệ đếm biến thiên. Một máy đếm Geiger đặt gần nguồn phát ra tiếng "bíp" ở các khoảng cách không đều — không bao giờ là dòng liên tục — mặc dù trung bình dài hạn của tỷ lệ này được xác định rõ ràng.

Định nghĩa hai điểm. Phân rã phóng xạ là sự phát xạ tự phát và ngẫu nhiên của một hạt ($\alpha$ hoặc $\beta$) hoặc photon ($\gamma$) từ một hạt nhân không bền. Tự phát có nghĩa là sự phân rã không bị ảnh hưởng bởi các yếu tố bên ngoài: nhiệt độ, áp suất, trạng thái hóa học, hoặc sự hiện diện của các hạt nhân khác. Ngẫu nhiên có nghĩa là không thể dự đoán được hạt nhân nào sẽ phân rã tiếp theo, hoặc khi nào một hạt nhân cụ thể sẽ phân rã; chỉ có thể đưa ra xác suất. Bằng chứng cho tính ngẫu nhiên: tỷ lệ đếm biến thiên từ khoảng thời gian này sang khoảng thời gian khác, ngay cả đối với nguồn phát có độ hoạt động không thay đổi trong suốt quá trình thí nghiệm.

Độ hoạt động và hằng số phân rã

Đối với $N$ hạt nhân chưa phân rã của một radionuclide, tốc độ phân rã là

• $A$ là hoạt độ — số phân rã trên đơn vị thời gian. Đơn vị: becquerel (Bq) $= \text{s}^{-1}$.
• $\lambda$ là hằng số phân rã — xác suất trên đơn vị thời gian để một hạt nhân phân rã. Đơn vị: $\text{s}^{-1}$.

$\lambda$ là cố định cho một nuclide; mẫu lớn hơn (có $N$ lớn hơn) sẽ có độ hoạt động tương ứng lớn hơn.

Định nghĩa một điểm. Độ hoạt động là số phân rã (của các hạt nhân) trên đơn vị thời gian, hay tốc độ phân rã. Hằng số phân rã là xác suất trên đơn vị thời gian để một (cho trước) hạt nhân sẽ phân rã. Không phải "tốc độ phân rã": đó chính là độ hoạt động. Lưu ý rằng đơn vị giống nhau là $\text{s}^{-1}$, nhưng $A$ đếm số sự kiện còn $\lambda$ là xác suất trên giây.

Ví dụ minh họa. Fluorine-18 có thời gian bán rã là $110$ phút. Chứng minh rằng hằng số phân rã của nó là $1.05 \times 10^{-4}\ \text{s}^{-1}$, và tìm độ hoạt động của $2.1 \times 10^{-12}\ \text{kg}$ fluorine-18.

$\lambda = 0.693/(110 \times 60) = 1.05 \times 10^{-4}\ \text{s}^{-1}$. Số hạt nhân bằng khối lượng chia cho khối lượng của một hạt nhân: $N = 2.1 \times 10^{-12}/(18 \times 1.661 \times 10^{-27}) = 7.0 \times 10^{13}$. Do đó $A = \lambda N = 1.05 \times 10^{-4} \times 7.0 \times 10^{13} = 7.4 \times 10^{9}\ \text{Bq}$. Một khối lượng nhỏ sẽ tạo ra hoạt độ lớn vì chu kỳ bán rã ngắn; cùng một khối lượng uranium-238 (chu kỳ bán rã $4.5 \times 10^{9}$ năm) sẽ chỉ tạo ra khoảng $10^{-5}\ \text{Bq}$.

Phân rã hàm mũ

Vì $\lambda$ là tốc độ phân rã phân số, $\dfrac{dN}{dt} = -\lambda N$, có nghiệm là phân rã hàm mũ:

Do $A = \lambda N$, độ hoạt động (và bất kỳ tỷ lệ đếm nào tỷ lệ thuận với nó) cũng phân rã theo cách tương tự:

Tại sao lại là hàm mũ? Đối với mỗi hạt nhân, $\lambda$ là xác suất cố định trên đơn vị thời gian, độc lập với các hạt nhân khác và tuổi thọ của bản thân hạt nhân đó. Vì vậy, cùng một tỷ lệ phần trăm phân rã trong mỗi khoảng thời gian, dẫn đến sự phân rã hàm mũ.

Viết lời giải thích (ba điểm). (1) Hằng số phân rã là xác suất trên đơn vị thời gian để phân rã và là giống nhau cho mọi hạt nhân của nuclide đó, bất kể tuổi thọ của chúng. (2) Do đó, tốc độ phân rã, tức độ hoạt động, tỷ lệ thuận với số lượng hạt nhân chưa phân rã đang tồn tại: $A = \lambda N$. (3) Tốc độ biến thiên tỷ lệ thuận với chính lượng chất đó sẽ tạo ra sự biến đổi hàm mũ; nói cách khác, cùng một tỷ lệ phần trăm số hạt nhân còn lại phân rã trong mỗi khoảng thời gian bằng nhau, nên số lượng hạt nhân không bao giờ đạt về không mà luôn giảm đi một nửa trong mỗi thời gian bán rã.

Thời gian bán rã

Thời gian bán rã $t_{1/2}$ là thời gian để số lượng hạt nhân chưa phân rã (hoặc độ hoạt động, hoặc tỷ lệ đếm) giảm xuống một nửa. Từ $N = N_{0} e^{-\lambda t}$ với $N = N_{0}/2$:

Ví dụ minh họa. Một đồng vị phóng xạ có thời gian bán rã là $6.0$ giờ. Tìm hằng số phân rã của nó.

Chuyển đổi thời gian bán rã sang giây: $6.0\ \text{h} = 21\,600\ \text{s}$. Sau đó

Hằng số phân rã càng lớn thì thời gian bán rã càng ngắn. Sau $n$ lần thời gian bán rã, tỷ lệ phần trăm còn sót lại là $(1/2)^{n}$; sau 5 lần thời gian bán rã chỉ còn khoảng 3%.

Định nghĩa thời gian bán rã. Thời gian để số lượng hạt nhân chưa phân rã (hoặc độ hoạt động) của một mẫu giảm xuống còn một nửa giá trị ban đầu. "Một nửa số nguyên tử đã phân rã" được chấp nhận; "một nửa mẫu vật biến mất" là không chính xác, vì các hạt nhân đã phân rã vẫn tồn tại dưới dạng sản phẩm con.

Đọc biểu đồ hai đồng vị. Khi X phân rã thành Y ổn định, $N_{\text{Y}} = N_{0} - N_{\text{X}} = N_{0}(1 - e^{-\lambda t})$. Chu kỳ bán rã là thời điểm mà các đường cong cắt nhau ($N_{\text{X}} = N_{\text{Y}} = N_{0}/2$), hoặc là thời gian để $N_{\text{X}}$ giảm đi một nửa. Nếu biểu đồ cho biết số lượng ban đầu $N_{0}$ và khối lượng ban đầu $m$, thì số nucleon suy ra từ $m = N_{0} A u$: đối với $m = 7.3 \times 10^{-4}\ \text{kg}$ và $N_{0} = 2.0 \times 10^{21}$, $A = m/(N_{0} u) = 7.3 \times 10^{-4}/(2.0 \times 10^{21} \times 1.661 \times 10^{-27}) = 220$.

Ví dụ có lời giải. Một mẫu chứa một đồng vị phóng xạ duy nhất có độ hoạt động $180\ \text{Bq}$ tại thời điểm $t = 0$ và $45\ \text{Bq}$ tại thời điểm $t = 8.4$ phút. Hãy tìm chu kỳ bán rã và hằng số phân rã, cũng như độ hoạt động sau thêm $8.4$ phút nữa.

$45/180 = 1/4 = (1/2)^{2}$: hai chu kỳ bán rã trong $8.4$ phút, nên $t_{1/2} = 4.2\ \text{min} = 252\ \text{s}$ và $\lambda = 0.693/252 = 2.8 \times 10^{-3}\ \text{s}^{-1}$. Sau hai chu kỳ bán rã tiếp theo, độ hoạt động sẽ là $45/4 = 11\ \text{Bq}$. Khi tỷ lệ không phải là lũy thừa nguyên của hai, hãy sử dụng $t = \ln(A_{0}/A)/\lambda$: để độ hoạt động giảm từ $180$ xuống $50\ \text{Bq}$ cần $\ln(3.6)/2.75 \times 10^{-3} = 466\ \text{s}$. Luôn chuyển đổi chu kỳ bán rã sang giây trước khi tính $\lambda$ nếu độ hoạt động tính bằng becquerel.

*Số hạt nhân chưa phân rã giảm đi một nửa trong mỗi chu kỳ bán rã

Tìm $\lambda$ từ dữ liệu

Cho biết $A_{0}$ và $A$ tại thời điểm $t$:

Lấy logarit tự nhiên của $A = A_{0} e^{-\lambda t}$ sẽ thu được $\ln A = \ln A_{0} - \lambda t$, do đó biểu đồ vẽ $\ln A$ theo $t$ sẽ là một đường thẳng có hệ số góc là $-\lambda$. Sử dụng phương pháp này kết hợp với nhiều điểm dữ liệu.

Tốc độ đếm không phải là độ hoạt động. Máy dò chỉ ghi nhận phần bức xạ chạm vào và bị hấp thụ bởi nó: một phần phụ thuộc vào góc solid mà máy bao phủ, sự hấp thụ trong không khí và chính nguồn phát, cũng như độ nhạy của máy. Do đó, tốc độ đếm đo được luôn nhỏ hơn độ hoạt động, nhưng tỷ lệ thuận với nó, và chu kỳ bán rã xác định từ biểu đồ tốc độ đếm vẫn chính xác. Trừ đi bức xạ nền (đo khi đã loại bỏ nguồn) khỏi mọi giá trị đọc trước khi lấy tỷ số hay logarit; việc không trừ bức xạ nền sẽ khiến đường cong dẹt lại và làm cho chu kỳ bán rã dường như dài hơn thực tế.

Vật đánh dấu trong y học. Fluorine-18 và oxygen-15 là các chất phát $\beta^{+}$ được dùng làm vật đánh dấu trong chụp PET (Chủ đề 24): positron triệt tiêu với electron, tạo ra hai photon gamma bay ra theo hai hướng ngược nhau để xác định vị trí của vật đánh dấu. Một chu kỳ bán rã ngắn ($110$ phút, $2$ phút) được chọn sao cho độ hoạt động giảm nhanh sau khi quét và liều lượng truyền cho bệnh nhân giữ ở mức thấp, đổi lại phải sản xuất đồng vị gần bệnh viện và sử dụng ngay lập tức.

Câu hỏi định nghĩa được chấm dựa trên văn phong cố định. Hãy học thuộc những định nghĩa này và chỉ đưa ra một đáp án duy nhất.

• $E = mc^{2}$ kết hợp với $1\ \text{u} = 931.5\ \text{MeV}$: tính toán theo đơn vị u và MeV cho phản ứng, sau đó chuyển sang joule nếu yêu cầu ($1\ \text{MeV} = 1.60 \times 10^{-13}\ \text{J}$).
• Năng lượng giải phóng $=$ (tổng khối lượng trước $-$ tổng khối lượng sau) $\times c^{2}$, hoặc (năng lượng liên kết sau $-$ năng lượng liên kết trước). Độ hụt khối có thể trừ trực tiếp khi số lượng nucleon không thay đổi.
• Đường cong: tăng dốc, đạt đỉnh $8.8\ \text{MeV}$ gần $A = 56$, giảm nhẹ. Các sản phẩm nằm cao hơn trên đường cong nghĩa là có năng lượng giải phóng; nhiệt hạch nằm bên trái, phân hạch (và phân rã α) nằm bên phải.
• Cân bằng mọi phương trình hai lần: số nucleon dọc theo phía trên, số proton dọc theo phía dưới; phân rã β mang theo neutrino hoặc antineutrino.
• $A = \lambda N$, $\lambda = 0.693/t_{1/2}$ kết hợp với $t_{1/2}$ tính bằng giây; $N$ lấy từ khối lượng: $N = m/(A u)$. Tỉ số giữa $1/2$, $1/4$, $1/8$ biểu thị số chu kỳ bán rã nguyên; nếu không thì dùng $t = \ln(x_{0}/x)/\lambda$.
• Các giải thích được đánh dấu trên các từ khóa: xác suất không đổi, tốc độ tỷ lệ thuận với số lượng, cùng một tỷ lệ trong mỗi khoảng; dao động tốc độ đếm để minh họa tính ngẫu nhiên; không bị ảnh hưởng bởi điều kiện bên ngoài để minh họa tính tự phát.

Lỗi thường gặp

• Định nghĩa năng lượng liên kết là "năng lượng giữ các hạt nhân với nhau" hoặc "năng lượng lưu trữ trong hạt nhân"; thực tế nó là năng lượng để tách các nucleon ra khỏi nhau.
• Trừ khối lượng theo chiều ngược lại và báo cáo năng lượng giải phóng âm, hoặc quên bỏ neutron(s) ở một vế của phương trình phân hạch.
• Vẽ đường cong năng lượng liên kết giảm xuống dốc như nó tăng lên, hoặc tiến tới zero ở giá trị $A$ lớn.
• Sử dụng chu kỳ bán rã tính bằng phút hoặc năm kết hợp với độ hoạt động tính bằng becquerel; hãy chuyển đổi sang giây trước.
• Nhầm lẫn giữa hằng số phân rã (xác suất mỗi giây) và độ hoạt động (số phân rã mỗi giây).
• Nói rằng "một nửa mẫu vật biến mất" đối với chu kỳ bán rã, hoặc cho rằng sau hai chu kỳ bán rã thì không còn gì cả.
• Cho rằng "ngẫu nhiên" có nghĩa là "xảy ra bất cứ lúc nào" mà không nói rõ "không thể dự đoán được hạt nhân nào hay khi nào", hoặc "tự phát" mà không giải thích "không bị ảnh hưởng bởi các yếu tố bên ngoài".
• Coi tốc độ đếm là hoạt tính, hoặc quên trừ nền.
• Giả sử hạt α và hạt nhân phản lực chia đều năng lượng; chúng chia đều động lượng.