Trường hấp dẫn

Định nghĩa

Một trường hấp dẫn là vùng không gian nơi một khối lượng cảm nhận được lực từ các khối lượng khác. Cường độ trường hấp dẫn $g$ tại một điểm là lực hấp dẫn trên mỗi đơn vị khối lượng tác dụng lên một thử mass nhỏ đặt tại đó:

Đơn vị: $\text{N kg}^{-1}$ (cũng giống như $\text{m s}^{-2}$ — gia tốc rơi tự do trong trường). $g$ là một vector, chỉ hướng mà lực tác dụng — về phía khối lượng nguồn.

Cách diễn đạt của giám khảo. Một trường hấp dẫn là vùng không gian nơi một khối lượng chịu tác dụng của một lực. Cường độ trường hấp dẫn tại một điểm là lực hấp dẫn trên mỗi đơn vị khối lượng tác dụng lên một thử mass nhỏ đặt tại điểm đó. Hướng của một đường sức tại một điểm là hướng của lực tác dụng lên một (thử mass) nhỏ đặt tại đó. Cả ba đều là định nghĩa 1 điểm; cụm từ "lực trên mỗi đơn vị khối lượng" mới được điểm, còn "lực tác dụng lên 1 kg" thì không.

Đường sức

Trường hấp dẫn được biểu diễn bằng các đường sức chỉ hướng mà lực tác dụng lên một thử mass:

• xung quanh một khối lượng điểm hoặc một quả cầu đồng nhất (xét từ bên ngoài coi như một khối lượng điểm), các đường sức là phân bố theo tia, chỉ hướng vào trong.
• gần bề mặt Trái Đất trên một khu vực nhỏ, các đường sức gần như song song và cách đều nhau, chỉ thẳng xuống dưới — một trường đều.

Các đường càng gần nhau nghĩa là trường càng mạnh.

Tại sao $g$ không đổi gần bề mặt, giải thích theo thuật ngữ đường sức (một lời giải thích 2 điểm): trên một vùng có kích thước nhỏ so với bán kính Trái Đất, các đường sức phân bố theo tia gần như song song và khoảng cách giữa chúng hầu như không thay đổi theo độ cao, vì vậy cường độ trường — đại diện cho khoảng cách đó — gần như giống nhau ở đỉnh vùng so với đáy. Trên toàn bộ hành tinh, các đường tỏa rộng ra theo khoảng cách và trường giảm đi.

Ví dụ minh họa. Một điểm P đại diện cho một khối lượng điểm. Vẽ các đường để biểu diễn trường hấp dẫn xung quanh P, và nêu ý nghĩa của hướng đường vẽ.

Các đường thẳng phân bố theo tia, cách đều nhau xung quanh P, với các mũi tên chỉ vào trong về phía P. Hướng của một đường là hướng của lực tác dụng lên một thử mass nhỏ đặt tại đó — luôn về phía khối lượng tạo ra trường, vì lực hấp dẫn chỉ có tính hút.

Đối với hai khối lượng điểm $m_{1}, m_{2}$ cách nhau một khoảng $r$, lực tác dụng lên mỗi chất là

kéo chúng lại gần nhau dọc theo đường nối chúng. Đây là Định luật vạn vật hấp dẫn của Newton. Hằng số $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \text{N m}^{2}\ \text{kg}^{-2}$ là hằng số hấp dẫn universal.

Viết bằng lời, đúng như yêu cầu của đáp án: lực hấp dẫn giữa hai khối lượng điểm tỷ lệ thuận với tích khối lượng của chúng và tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng — cả hai tỷ lệ thuận/nghịch, và "khối lượng điểm". Khi được yêu cầu "nêu phương trình và ý nghĩa của bất kỳ ký hiệu nào khác", hãy đưa ra $F = Gm_{1}m_{2}/r^{2}$ kèm theo $G$ là hằng số hấp dẫn và $r$ là khoảng cách giữa các tâm.

Ví dụ minh họa. Hai quả cầu đồng nhất cô lập, mỗi quả có khối lượng $1.0 \times 10^{3}\ \text{kg}$, có các tâm cách nhau $2.0\ \text{m}$. Tìm lực hấp dẫn giữa chúng và nhận xét về độ lớn của nó.

$F = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 1.0 \times 10^{3} \times 1.0 \times 10^{3}}{2.0^{2}} = 1.7 \times 10^{-5}\ \text{N}$. Đây là về $10^{-9}$ trọng lượng của mỗi quả cầu ($9.8 \times 10^{3}\ \text{N}$): lực hấp dẫn giữa các vật thể hàng ngày là không đáng kể, và chỉ có khối lượng lớn bằng kích thước hành tinh mới tạo ra trường rõ rệt. "Cô lập" trong một câu hỏi có nghĩa là không cần xét đến các vật thể khác.

Quả cầu được xem như các khối lượng điểm

Đối với một quả cầu đồng nhất (như hành tinh hoặc ngôi sao), trường tại bất kỳ điểm nào bên ngoài đều giống như của một khối điểm có khối lượng bằng tổng khối lượng đặt ở tâm. Vì vậy, từ trên bề mặt nhìn xuống, bạn có thể coi Trái Đất là một khối điểm đặt ở tâm. (Các điểm bên trong quả cầu thì khác và không nằm trong chương trình.)

Giữa hai khối lượng, các trường trừ nhau còn thế năng cộng lại. Cường độ trường là đại lượng vector: trên đường nối hai quả cầu, hai trường chỉ theo hai hướng ngược nhau, nên có một điểm mà chúng triệt tiêu lẫn nhau và trường hợp thành bằng không. Thế năng là đại lượng vô hướng: hai thế năng đơn giản cộng lại, và cả hai đều âm, nên thế năng ít âm nhất (cực đại) tại điểm mà trường bằng không.

Ví dụ minh họa. Hai quả cầu đồng đều cô lập giống hệt nhau X và Y, mỗi quả có khối lượng $M$ và bán kính $R$, tâm của chúng cách nhau một khoảng $L$. Điểm P nằm trên đường nối hai tâm. Hãy xác định vị trí trên đường này mà độ mạnh trường hợp lại bằng 0, và tìm thế năng tại đó.

Theo đối xứng, trường của X và Y bằng nhau và ngược chiều tại trung điểm, $L/2$ từ mỗi tâm, nên trường hợp thành bằng không tại đó. Thế năng tại P là tổng $\phi = -\dfrac{GM}{L/2} - \dfrac{GM}{L/2} = -\dfrac{4GM}{L}$. Một vật được thả tại P sẽ giữ nguyên vị trí; một vật được thả ở bất kỳ đâu khác trên đường nối sẽ rơi về phía quả cầu gần hơn.

Cường độ trường từ một khối điểm

Đặt lực hấp dẫn tác dụng lên một vật thử $m$ ở khoảng cách $r$ từ một khối điểm $M$ vào $g = F/m$:

Vì vậy $g$ giảm theo $1/r^{2}$ khi ta di chuyển ra xa nguồn phát.

Lập luận 2 điểm. Lực tác dụng lên một vật thử $m$ ở khoảng cách $r$ từ một khối điểm $M$ là $F = GMm/r^{2}$ (định luật Newton). Cường độ trường là lực trên một đơn vị khối lượng, $g = F/m$, nên $g = GM/r^{2}$. Viết cả hai dòng: định luật và định nghĩa là hai điểm. Vì $g \propto 1/r^{2}$, việc giảm nửa khoảng cách làm cho trường mạnh gấp bốn lần: tại khoảng cách $x/2$, trường có độ lớn $4g$, cùng hướng, về phía $M$.

Ví dụ minh họa. Tìm cường độ trường trọng trường tại bề mặt Trái Đất. (Khối lượng Trái Đất $M = 6.0 \times 10^{24}\ \text{kg}$, bán kính $R = 6.4 \times 10^{6}\ \text{m}$, $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \text{N m}^{2}\ \text{kg}^{-2}$.)

Tại sao $g$ gần như không đổi gần bề mặt Trái Đất

Bán kính Trái Đất là $R \approx 6.4 \times 10^{6}\ \text{m}$. Nhấn cao độ $h$ làm thay đổi khoảng cách từ tâm từ $R$ sang $R + h$. Đối với $h \ll R$ (bất kỳ tòa nhà hay ngọn núi nào), $(R + h)/R \approx 1$, nên $g$ thay đổi rất ít — việc tăng độ cao từ $5\ \text{m}$ lên $10\ \text{m}$ làm thay đổi $r$ khoảng một phần triệu. Trong phòng thí nghiệm, $g$ thực chất là hằng số.

Đối với một vệ tinh có khối lượng $m$ đang ở quỹ đạo tròn bán kính $r$ quanh một thiên thể có khối lượng $M$, lực hấp dẫn cung cấp lực hướng tâm:

Triệt tiêu $m$ (tốc độ orbit không phụ thuộc vào khối lượng của vệ tinh):

Ví dụ minh họa. Một vệ tinh orbit quanh Trái Đất trên quỹ đạo tròn bán kính $r = 7.0 \times 10^{6}\ \text{m}$. Tìm tốc độ orbit của nó. (Đối với Trái Đất, $GM = 4.0 \times 10^{14}\ \text{m}^{3}\ \text{s}^{-2}$.)

Chu kỳ được suy ra từ $T = 2\pi r / v$:

Đây là định luật Kepler thứ ba cho các quỹ đạo tròn: $T^{2} \propto r^{3}$. Đồ thị biểu diễn $T^{2}$ theo $r^{3}$ là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ với hệ số góc $4\pi^{2}/(GM)$, vì vậy dữ liệu orbit cho phép xác định khối lượng trung tâm.

Bài suy luận hai điểm, theo cách đề thi đặt ra. Đối với vệ tinh khối lượng $m$ trong quỹ đạo tròn bán kính $R$ và chu kỳ $T$ quanh một hành tinh khối lượng $M$: lực hấp dẫn cung cấp lực hướng tâm, $\dfrac{GMm}{R^{2}} = mR\omega^{2}$, và $\omega = 2\pi/T$; do đó $\dfrac{GM}{R^{2}} = \dfrac{4\pi^{2}R}{T^{2}}$, dẫn đến $T^{2} = \dfrac{4\pi^{2}R^{3}}{GM}$. Đối với quỹ đạo ở độ cao $h$ phía trên bề mặt hành tinh có bán kính $R_{\text{p}}$ thì bán kính quỹ đạo là $R_{\text{p}} + h$, vì vậy $T^{2} = 4\pi^{2}(R_{\text{p}} + h)^{3}/GM$: đồ thị $T^{2}$ theo $(R_{\text{p}} + h)^{3}$ là đường thẳng đi qua gốc tọa độ, hệ số góc của nó cho biết $M$.

Ví dụ minh họa. Vệ tinh X, có khối lượng $M_{\text{s}}$, quỹ đạo quanh một hành tinh ở khoảng cách $4R$ từ tâm; vệ tinh Y, có khối lượng $2M_{\text{s}}$, quỹ đạo ở $3R$. So sánh tốc độ, chu kỳ và động năng của chúng.

Từ $v = \sqrt{GM/r}$, $\dfrac{v_{\text{Y}}}{v_{\text{X}}} = \sqrt{\dfrac{4R}{3R}} = 1.15$: Y di chuyển nhanh hơn, và khối lượng vệ tinh không xuất hiện. Từ $T \propto r^{3/2}$, $\dfrac{T_{\text{Y}}}{T_{\text{X}}} = \left(\dfrac{3}{4}\right)^{3/2} = 0.65$. Động năng $= \tfrac{1}{2}mv^{2} = \dfrac{GMm}{2r}$, nên $\dfrac{E_{\text{Y}}}{E_{\text{X}}} = \dfrac{2M_{\text{s}}/3R}{M_{\text{s}}/4R} = \dfrac{8}{3}$. Trong các bài toán tỉ số, hãy triệt tiêu $G$, $M$ và khối lượng vệ tinh trước; chỉ còn lại bán kính và khối lượng khác nhau thì giữ lại.

Ngôi sao đôi. Hai ngôi sao có khối lượng $M_{\text{A}}$ và $M_{\text{B}}$ cách nhau $d$, quay quanh trung tâm khối lượng chung của chúng, luôn nằm ở hai phía đối diện trung tâm, với chu kỳ giống nhau. Trung tâm khối lượng chia $d$ theo tỷ lệ nghịch với khối lượng, $M_{\text{A}}r_{\text{A}} = M_{\text{B}}r_{\text{B}}$ với $r_{\text{A}} + r_{\text{B}} = d$, và cùng một lực hấp dẫn $GM_{\text{A}}M_{\text{B}}/d^{2}$ là lực hướng tâm cho mỗi ngôi sao.

Ví dụ minh họa. Một ngôi sao đôi gồm ngôi sao A, khối lượng $4.0 \times 10^{30}\ \text{kg}$, và ngôi sao B, khối lượng $2.0 \times 10^{30}\ \text{kg}$, với tâm cách nhau $3.3 \times 10^{11}\ \text{m}$. Tính khoảng cách từ A đến trung tâm khối lượng và chu kỳ quỹ đạo.

$M_{\text{A}}r_{\text{A}} = M_{\text{B}}r_{\text{B}}$ với $r_{\text{A}} + r_{\text{B}} = 3.3 \times 10^{11}$ cho $r_{\text{A}} = \dfrac{2.0}{6.0} \times 3.3 \times 10^{11} = 1.1 \times 10^{11}\ \text{m}$ (và $r_{\text{B}} = 2.2 \times 10^{11}\ \text{m}$). Đối với ngôi sao A: $\dfrac{GM_{\text{A}}M_{\text{B}}}{d^{2}} = M_{\text{A}}r_{\text{A}}\omega^{2}$, nên $\omega^{2} = \dfrac{GM_{\text{B}}}{d^{2}r_{\text{A}}} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 2.0 \times 10^{30}}{(3.3 \times 10^{11})^{2} \times 1.1 \times 10^{11}} = 1.1 \times 10^{-14}\ \text{s}^{-2}$, $\omega = 1.06 \times 10^{-7}\ \text{rad s}^{-1}$ và $T = 2\pi/\omega = 6.0 \times 10^{7}\ \text{s}$, khoảng $1.9$ năm. Việc sử dụng $d$ trong biểu thức lực nhưng $r_{\text{A}}$ trong thành phần lực hướng tâm chính là mấu chốt của câu hỏi.

Quỹ đạo địa tĩnh

Một vệ tinh địa tĩnh:

• luôn nằm trực tiếp trên cùng một điểm cố định trên Trái Đất (nên anten parabol cố định vẫn luôn chỉ vào nó),
• có chu kỳ 24 giờ (giống như sự tự quay của Trái Đất),
• quỹ đạo từ tây sang đông (cùng chiều với sự tự quay của Trái Đất),
• phải nằm trực tiếp trên xích đạo.

Nó phải có cùng tốc độ góc với Trái Đất, cùng chiều, trong mặt phẳng xích đạo (nếu không sẽ bị lệch về phía bắc–nam trong ngày). Từ $T = 24\ \text{h}$ và $T^{2} = 4\pi^{2} r^{3}/(GM)$, bán kính là $r \approx 4.2 \times 10^{7}\ \text{m}$ (khoảng $3.6 \times 10^{7}\ \text{m}$ so với bề mặt).

Ví dụ minh họa. Tính bán kính của một quỹ đạo địa tĩnh quanh Trái Đất ($M = 5.98 \times 10^{24}\ \text{kg}$), và giải thích tại sao một vệ tinh có cùng bán kính quỹ đạo và chu kỳ vẫn có thể không phải là vệ tinh địa tĩnh.

$T = 24 \times 3600 = 8.64 \times 10^{4}\ \text{s}$; $r^{3} = \dfrac{GMT^{2}}{4\pi^{2}} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.98 \times 10^{24} \times (8.64 \times 10^{4})^{2}}{4\pi^{2}} = 7.5 \times 10^{22}\ \text{m}^{3}$, nên $r = 4.2 \times 10^{7}\ \text{m}$ — độ cao khoảng $3.6 \times 10^{7}\ \text{m}$ so với bề mặt. Một vệ tinh có chu kỳ này chỉ là vệ tinh địa tĩnh nếu quỹ đạo nằm trong mặt phẳng xích đạo và nó di chuyển từ tây sang đông; nếu có cùng chu kỳ trong một quỹ đạo nghiêng (ví dụ đi qua hai cực) thì mỗi ngày nó trở lại cùng một điểm nhưng không lúc nào cũng nằm ngay phía trên điểm đó. Sao Hỏa quay một vòng hết khoảng $25$ giờ, nên một vệ tinh giữ nguyên vị trí trên một điểm của Sao Hỏa sẽ có chu kỳ $25$ giờ và hai đặc tính khác tương tự.

Thế năng hấp dẫn $\phi$ tại một điểm là công thực hiện trên một đơn vị khối lượng khi đưa một khối lượng thử nhỏ từ vô cùng đến điểm đó:

Đơn vị: $\text{J kg}^{-1}$.

Thế năng được lấy bằng không ở vô cùng. Khi khối lượng thử rơi vào gần nguồn, trọng lực làm công thay bạn, nên $\phi$ luôn âm trừ ở vô cùng. Đối với khối lượng điểm $M$ ở khoảng cách $r$:

$\phi$ là đại lượng vô hướng. Với nhiều khối lượng, ta cộng các thế năng lại.

Định nghĩa hai điểm, và lý do tại sao nó mang giá trị âm. Thế năng hấp dẫn tại một điểm là công thực hiện trên một đơn vị khối lượng khi đưa một khối lượng thử nhỏ từ vô cùng đến điểm đó. Thế năng được xác định bằng không ở vô cùng; lực hấp dẫn là lực hút, nên khi khối lượng thử di chuyển từ vô cùng vào, trường làm công lên nó và khối lượng tỏa ra năng lượng — công mà một tác nhân bên ngoài phải thực hiện là âm. Do đó thế năng tại mọi khoảng cách hữu hạn đều nhỏ hơn không. (Điện thế gần một điện tích dương mang giá trị dương vì lý do ngược lại: trường đẩy, nên phải tốn công để đưa một điện tích thử dương vào.)

Điểm giống và khác nhau với điện thế. Cả hai đều được định nghĩa là công thực hiện trên một đơn vị khối lượng hoặc một đơn vị điện tích dương từ vô cùng, cả hai đều là đại lượng vô hướng, cả hai đều biến thiên theo $1/r$ từ nguồn điểm và cả hai đều bằng không ở vô cùng. Điểm khác biệt: thế năng hấp dẫn luôn âm, vì lực hấp dẫn chỉ hút, trong khi điện thế có thể dương hoặc âm tùy thuộc vào dấu của điện tích.

Đọc đồ thị thế năng. Hai đồ thị xuất hiện trong câu hỏi. Trên đồ thị $\phi$ theo $r$, đường cong là $-GM/r$: giá trị bề mặt $\phi_{\text{s}} = -GM/R$ cho ta biết khối lượng hành tinh, và hệ số góc tại bất kỳ điểm nào cho cường độ trường tại điểm đó, vì $g = -\dfrac{\Delta\phi}{\Delta r}$ — cường độ trường là âm của độ dốc thế năng (đây là "mối liên hệ giữa thế năng và cường độ trường" mà một câu hỏi có thể yêu cầu). Trên đồ thị $\phi$ theo $1/r$, đồ thị là đường thẳng đi qua gốc tọa độ với hệ số góc $-GM$, đây là cách gọn gàng hơn để lấy $M$.

Ví dụ minh họa. Mặt Trăng là một hình cầu đồng nhất cô lập có khối lượng $7.3 \times 10^{22}\ \text{kg}$ và bán kính $1.7 \times 10^{6}\ \text{m}$. Tính thế năng hấp dẫn tại bề mặt của nó, và tốc độ tối thiểu mà một hạt phải có để thoát ra khỏi bề mặt.

$\phi = -\dfrac{GM}{R} = -\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 7.3 \times 10^{22}}{1.7 \times 10^{6}} = -2.9 \times 10^{6}\ \text{J kg}^{-1}$. Để thoát khỏi, động năng trên mỗi đơn vị khối lượng của hạt phải bằng độ sâu của giếng thế năng: $\tfrac{1}{2}v^{2} = 2.9 \times 10^{6}$, nên $v = \sqrt{2 \times 2.9 \times 10^{6}} = 2.4 \times 10^{3}\ \text{m s}^{-1}$. Dấu trừ mang ý nghĩa: năng lượng $2.9\ \text{MJ}$ trên mỗi kilogram phải được cung cấp để đưa hạt ra khỏi giếng thế năng.

Thế năng hấp dẫn của hai khối điểm

Nếu một khối thử $m$ nằm tại nơi có thế là $\phi$, thì thế năng hấp dẫn của cặp khối này là

Giống như thế, $E_{\text{P}}$ luôn âm và chỉ bằng không khi khoảng cách vô cùng. Các khối gần nhau hơn sẽ có thế năng âm hơn (bị ràng buộc chặt chẽ hơn).

Liên hệ với $\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h$

Đối với các thay đổi chiều cao nhỏ gần bề mặt, $r$ hầu như không đổi, nên $\Delta E_{\text{P}} \approx mg\Delta h$. Đối với các thay đổi lớn (ví dụ: vệ tinh chuyển lên quỹ đạo cao hơn) hãy sử dụng $-GMm/r$ tại mỗi bán kính rồi lấy hiệu:

kết quả này dương (phải cung cấp năng lượng để nâng vệ tinh lên).

Ví dụ giải. Một vệ tinh có khối lượng $1200\ \text{kg}$ được di chuyển từ quỹ đạo tròn bán kính $7.0 \times 10^{6}\ \text{m}$ sang quỹ đạo bán kính $8.0 \times 10^{6}\ \text{m}$ quanh Trái Đất ($GM = 4.0 \times 10^{14}\ \text{m}^{3}\ \text{s}^{-2}$). Tính sự thay đổi của thế năng hấp dẫn, động năng và tổng năng lượng của nó.

$\Delta E_{\text{P}} = GMm\left(\dfrac{1}{r_{1}} - \dfrac{1}{r_{2}}\right) = 4.0 \times 10^{14} \times 1200 \times \left(\dfrac{1}{7.0 \times 10^{6}} - \dfrac{1}{8.0 \times 10^{6}}\right) = +8.6 \times 10^{9}\ \text{J}$. Trong quỹ đạo tròn $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2}mv^{2} = \dfrac{GMm}{2r}$, do đó $\Delta E_{\text{K}} = \dfrac{GMm}{2}\left(\dfrac{1}{r_{2}} - \dfrac{1}{r_{1}}\right) = -4.3 \times 10^{9}\ \text{J}$: vệ tinh ở độ cao lớn hơn chuyển động chậm hơn. Tổng năng lượng $E_{\text{K}} + E_{\text{P}} = -\dfrac{GMm}{2r}$ tăng lên $+4.3 \times 10^{9}\ \text{J}$, đây chính là năng lượng mà động cơ tên lửa phải cung cấp. Tổng năng lượng của vệ tinh luôn âm — tức là bị ràng buộc — và trở nên ít âm hơn khi quỹ đạo mở rộng.

Vận tốc thoát ly (từ định luật bảo toàn năng lượng)

Để thoát khỏi bán kính $r$ ra vô cùng, động năng của vật phải bằng độ lớn thế năng hấp dẫn của nó:

Tại bề mặt Trái Đất, vận tốc thoát ly là $\approx 11\ \text{km s}^{-1}$. Nó không phụ thuộc vào khối lượng của vật.

Ví dụ giải. Tìm vận tốc thoát ly từ bề mặt Trái Đất. (Đối với Trái Đất, $GM = 4.0 \times 10^{14}\ \text{m}^{3}\ \text{s}^{-2}$, $R = 6.4 \times 10^{6}\ \text{m}$.)

Ví dụ giải. Một hạt được phóng thẳng đứng từ bề mặt một hành tinh cô lập có bán kính $R$, nơi thế hấp dẫn là $\phi_{\text{s}}$. Chứng minh rằng hạt vừa đủ đạt đến khoảng cách $r$ từ tâm nếu vận tốc phóng $v$ thỏa mãn $\tfrac{1}{2}v^{2} = -\phi_{\text{s}}\left(1 - \dfrac{R}{r}\right)$, và suy ra vận tốc thoát ly.

Thế năng biến thiên theo $1/r$, nên tại khoảng cách $r$ nó là $\phi_{\text{s}}R/r$. Khi hạt dừng lại, động năng trên đơn vị khối lượng đã hoàn toàn chuyển thành thế năng trên đơn vị khối lượng: $\tfrac{1}{2}v^{2} = \phi(r) - \phi_{\text{s}} = \phi_{\text{s}}\dfrac{R}{r} - \phi_{\text{s}} = -\phi_{\text{s}}\left(1 - \dfrac{R}{r}\right)$, giá trị này dương vì $\phi_{\text{s}}$ âm. Đặt $r \to \infty$ ta thu được $\tfrac{1}{2}v_{\text{esc}}^{2} = -\phi_{\text{s}} = GM/R$ — kết quả vận tốc thoát ly lần nữa, giờ đọc trực tiếp từ đồ thị thế năng.

Câu hỏi định nghĩa được chấm dựa trên văn phong cố định. Hãy học thuộc những định nghĩa này và chỉ đưa ra một đáp án duy nhất.

• Định luật vạn引力 Newton $F = GMm/r^2$ (luật bình phương ngược); cường độ trường $g = GM/r^2$ — và trích dẫn phần chứng minh dưới dạng hai dòng, gồm định luật và định nghĩa $g$.
• Phân biệt thế hấp dẫn ($\phi = -GM/r$, luôn âm, bằng 0 ở vô cùng) với cường độ trường; $g$ là đạo hàm âm của đồ thị $\phi$–$r$.
• Đối với quỹ đạo, đặt lực hấp dẫn $=$ lực hướng tâm để tìm $T^2 \propto r^3$; quỹ đạo địa tĩnh có $T = 24\ \text{h}$ cộng thêm hai đặc điểm nữa: nằm trên mặt phẳng xích đạo và hướng từ tây sang đông.
• Sử dụng bán kính quỹ đạo (tâm đến tâm, $R_{\text{p}} + h$), không bao giờ dùng độ cao; đối với sao đôi, khoảng cách $d$ xuất hiện trong biểu thức lực nhưng bán kính quỹ đạo $r_{\text{A}}$ xuất hiện trong số hạng hướng tâm.
• Sự thay đổi năng lượng đến từ $-GMm/r$ tại mỗi bán kính; đối với quỹ đạo tròn $E_{\text{K}} = GMm/2r$ và tổng năng lượng là $-GMm/2r$.

Lỗi thường gặp

• Định nghĩa thế năng là "lực trên đơn vị khối lượng" hoặc cường độ trường là "công trên đơn vị khối lượng". Nếu đảo ngược hai khái niệm này, cả hai điểm sẽ bị mất.
• Nói thế năng là âm "vì trọng lực hút" và dừng lại ở đó. Điểm cần thiết phải có lập luận về công: bằng 0 ở vô cùng, và trường thực hiện công khi khối đi vào.
• Sử dụng độ cao trên bề mặt làm $r$ trong $GM/r^{2}$ hoặc $T^{2} \propto r^{3}$. Phải cộng thêm bán kính hành tinh trước.
• Viết định luật Kepler dưới dạng $T \propto r$ hoặc $T^{2} \propto r^{2}$. Thực tế nó là $T^{2} \propto r^{3}$: chỉ là đường thẳng khi vẽ $T^{2}$ theo $r^{3}$.
• Hiểu "quỹ đạo địa tĩnh" chỉ có nghĩa là "chu kỳ 24 giờ". Không có mặt phẳng xích đạo và hướng từ tây sang đông thì chưa phải là quỹ đạo địa tĩnh.
• Ununintentionally bỏ qua fact that động năng của vệ tinh giảm khi nó được đưa lên quỹ đạo cao hơn, mặc dù năng lượng đã phải được cung cấp.