ขอบเขตและเงื่อนไขก่อนเข้าเรียน
อ้างอิงตามกรอบ Digital SAT งานทดสอบบนกระดาษเหล่านี้ไม่ใช่แบบ adaptive และไม่ทำนายคะแนนที่ปรับระดับแล้ว
- ตีความจุดศูนย์ จุดยอด และพารามิเตอร์จากรูปแบบฟังก์ชันที่มีประโยชน์
- แยกแยะการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้นแบบบวกกับการเปลี่ยนแปลงเอ็กซ์โพเนนเชียลแบบคูณ
- แปลงกราฟโดยติดตามอินพุตและเอาต์พุตของกราฟ
ความรู้ก่อนหน้า: สัญลักษณ์ฟังก์ชัน; สี่เหลี่ยมสมบูรณ์; ตัวคูณการเติบโต
อธิบายและเลือกวิธีการ
รูปยอด a(x-h)²+k ช่วยระบุจุดยอด (h,k) และทิศทางที่กราฟเปิด; รูปตัวประกอบช่วยระบุค่าศูนย์ ฟังก์ชันเดียวกันสามารถมีได้ทั้งสองรูปแบบ ในบริบทให้พิจารณาว่าคุณสมบัติใดมีความหมาย: ความสูงสูงสุดเกิดขึ้นที่จุดยอดของพาราโบลาที่กราฟเปิดลง ในขณะที่ค่าศูนย์อาจหมายถึงการกลับสู่ระดับพื้นดิน
สำหรับ y=A b^t, A คือค่าที่ t=0 และ b คือปัจจัยต่อหน่วยเวลา อัตราการเติบโต r ให้ b=1+r; การลดลงให้ b=1-r. ผลต่างเท่ากันบ่งชี้โมเดลเชิงเส้น ส่วนอัตราส่วนเท่ากันบ่งชี้โมเดลเอ็กซ์โพเนนเชียลสำหรับขั้นตอนอินพุตที่เท่ากัน Neither model should be extrapolated beyond a justified domain without a contextual reason.
การเลื่อนเอาต์พุท f(x)+k ย้ายทุกจุดในแนวตั้งตาม k การเลื่อนอินพุท f(x-h) ย้ายกราฟไปทางขวา h: อินพุทเดิมจะถึงได้เมื่อ x ใหม่มีค่าน้อยกว่าตัวคูณด้านนอกขยายขนาดเอาต์พุท; ตัวลบด้านนอกสะท้อนผ่านแกน x ให้หาค่าการเปลี่ยนแปลงทางพีชคณิตแทนการท่องจำทิศทางโดยไม่ตรวจสอบจุด
สำหรับตัวคูณเอ็กซ์โพเนนเชียลที่กำหนดเป็นช่วงเวลาหลายหน่วย ให้แยกแยะช่วงนั้นออกจากหนึ่งหน่วย การเพิ่มสองเท่าทุกสามชั่วโมงคือ 2^(t/3), ไม่ใช่ 2^t สำหรับพาราโบลา ให้ใช้รูปแบบที่โจทย์ต้องการเพื่ออ่านค่าสุดขั้วหรือแก้หาอินพุท รักษาค่าเริ่มต้น ตัวคูณการเติบโต และเปอร์เซ็นต์การเติบโตไว้แยกกัน
รูปแบบจุดยอด $a(x-h)^2+k$ เผยให้เห็นจุดเปลี่ยน $(h,k)$. สำหรับ $H(t)=-2(t-4)^2+32$, ค่าสูงสุดคือ 32 เมื่อ $t=4$. การกำหนด $H(t)=0$ จะได้ $(t-4)^2=16$, ดังนั้น $t=0,8$ จำกัดเวลาในช่วงทางกายภาพเมื่อโจทย์แสดงถึงการบิน
ตัวอย่างวิธีทำ. h(t)=-4(t-3)²+36 มีค่าสูงสุด 36 ที่ t=3, และจุดตัดแกน t=0 และ 6. N(t)=80(1.25)^t เริ่มที่ 80 และเพิ่มขึ้น 25% ต่อหน่วย; N(2)=125. ปริมาณที่เพิ่มเป็นสองเท่าทุกสามชั่วโมงคือ 80·2^(t/3), ดังนั้นหลังจากหกชั่วโมงจะเป็น 320. ถ้า f(x)=x², f(x-2)+5 มีจุดยอดที่ (2,5).
วัสดุฝึกฝน
แต่ละคำถามฝึกฝนด้านล่างระบุข้อมูลทั้งหมดที่จำเป็น
ฝึกฝนด้วยเหตุผล
ฝึก 1
ความสูงของโมเดลคือ $H(t)=-3(t-2)^2+12$ เมตร, ใช้เวลา $t$ วินาทีตั้งแต่ปล่อยจนกลับมาสู่พื้นดิน หาโดเมน, ความสูงสูงสุด, และช่วงเวลาที่ความสูงอย่างน้อย 9 เมตร
เหตุผล. การตัดแกนหมายถึง $H=0$, ดังนั้น $(t-2)^2=4$ และ $t=0,4$. โดเมนคือ $0\le t\le4\,\mathrm{s}$. สัมประสิทธิ์ x² ที่เป็นลบให้ค่าสูงสุด $H(2)=12\,\mathrm{m}$. สำหรับ $H\ge9\,\mathrm{m}$, $(t-2)^2\le1$, ดังนั้น $1\le t\le3\,\mathrm{s}$.
ฝึก 2
แบบจำลองวัฒนธรรมเริ่มด้วยเซลล์ 120 และเพิ่มขึ้นเป็น 1.5 เท่า ทุกสองชั่วโมง เขียน $N(t)$ สำหรับชั่วโมง $t$, หา $N(4)$, และแยกความแตกต่างระหว่างตัวคูณกับการเติบโตเป็นเปอร์เซ็นต์
การให้เหตุผล เซลล์ $N(t)=120(1.5)^{t/2}$. เซลล์ $N(4)=120(1.5)^2=270$. การเติบโตคือ 50% ต่อสองชั่วโมง ไม่ใช่ 150%; ปัจจัยสี่ชั่วโมงคือ 2.25. ปัจจัยต่อชั่วโมงจะเป็น $\sqrt{1.5}$.
ฝึก 3
ถ้า $f(x)=(x+1)^2$, จงหาจุดยอดของ $g(x)=-2f(x-3)+5$ และหาค่าสูงสุดหรือต่ำสุด.
เหตุผล. แทนค่าเข้าไปก่อนตีความเครื่องหมาย. $g(x)=-2(x-2)^2+5$ มีจุดยอด $(2,5)$ และมีค่าสูงสุด 5. จุดยอดเดิมที่ $-1$ ย้ายไปทางขวา 3 หน่วย ไปอยู่ที่ 2.
ข้อจำกัดและการใช้งานต่อไป
ตัวคูณ 1.25 หมายถึงการเติบโต 25%, ไม่ใช่ 125%; f(x-2) ย้ายไปทางขวา และการใช้เปอร์เซ็นต์ซ้ำจะใช้จำนวนเงินที่อัปเดตแล้ว
นี่คือโจทย์ฝึกฝนต้นฉบับที่เขียนขึ้นสำหรับรายวิชานี้ ไม่ใช่ข้อสอบอย่างเป็นทางการ