T.12 · ความสมบูรณ์ของเมตริกและการปิดจากฐาน

เตรียมสอบ GRE ระดับปริญญาตรี วัตถุประสงค์ภายในขอบเขต ETS ที่ทบทวนนี้คือการสอนต้นฉบับ ไม่ใช่การทดสอบหรือตัวทำนายคะแนนอย่างเป็นทางการ

ความรู้ก่อนหน้า: สัจพจน์ของเมตริก, ลำดับโคชี และโทโพโลยีจากฐาน

• ตรวจสอบ metric แบบ pullback โดยใช้คุณสมบัติของ map ที่กำหนดมัน
• ตัดสินความสมบูรณ์ผ่านภาพของ isometry
• กำหนด closure โดยใช้ neighbourhood พื้นฐานทุกตัวแทนที่จะใช้สัญชาตญาณ Euclidean

metric space ที่สมบูรณ์: Metric space ที่ในนั้นทุก Cauchy sequence ลิมิตเข้าหาจุดของ metric space นั้น

ฐานของเพื่อนบ้าน: เพื่อนบ้านพื้นฐานที่เพียงพอสำหรับการทดสอบคุณสมบัติโทโพโลยีในท้องถิ่น

สำหรับฟังก์ชัน injective h:X→R, d(x,y)=|h(x)−h(y)| เป็นเมตริก: ความสมมาตรและอสมการสามเหลี่ยมมาจาก R และความ injective รับประกันว่า d(x,y)=0 ก็ต่อเมื่อ x=y เท่านั้น ฟังก์ชัน h เป็น isometry ลงบนภาพ h(X) หาก h ไม่เป็น injective การสร้างนี้อาจเป็นเพียง pseudometric ระยะที่มีขอบเขตไม่พิสูจน์ว่าปริภูมิสมบูรณ์ และเซตจุดที่คุ้นเคยอาจมีพฤติกรรม Cauchy ที่แตกต่างกันมากภายใต้เมตริกที่แตกต่างกัน

เมตริก pullback จะสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อภาพ h(X) สมบูรณ์ในระยะจริงมาตรฐาน เซตปิดของ R นั้นสมบูรณ์ สำหรับ h(x)=arctan x บน R ภาพคือ (−π/2,π/2) ซึ่งขาดจุดปลาย ลำดับ n เป็น Cauchy ในเมตริก pullback เพราะ arctan n→π/2 แต่ไม่มีค่าจริง x ใดที่ทำให้ arctan x=π/2 ดังนั้นเมตริกนี้จึงไม่สมบูรณ์ สำหรับ h(x)=x³ ภาพคือ R ทั้งหมดและเมตริก pullback สมบูรณ์ ความเทียบเท่าทางทอโพโลยีเพียงอย่างเดียวไม่รักษาความสมบูรณ์

ในโทโพโลยีที่มีฐาน, x อยู่ในการปิดของ A เมื่อทุกเพื่อนบ้านเปิดพื้นฐานของ x ตัดกับ A นี่คือเงื่อนไขสมาชิกภาพ ไม่ใช่การดำเนินการจุดปลายแบบยูคลิดอัตโนมัติ ฐานต้องครอบคลุมพื้นที่, และสำหรับจุดในเซตพื้นฐานสองเซต ต้องมีเซตพื้นฐานที่เล็กลงซึ่งมีจุดนั้นอยู่ภายในส่วนตัด ของมัน จุดสามารถอยู่ในการปิดของเซตเดี่ยวแม้ว่ามันจะไม่ใช่จุดของเซตเดี่ยวนั้น possibility ขึ้นอยู่กับโทโพโลยี

On X={2,3,4,…}, take basic sets U_k={n in X: n divides k}, for k≥2. They cover X since x∈U_x; intersections are U_gcd(k,l) when the gcd is at least 2, or empty. A point x lies in closure of {n} exactly when every k divisible by x is also divisible by n: equivalently n divides x. More directly, the smallest basic neighbourhood U_x contains n precisely when n divides x, and every other neighbourhood containing x includes these divisors. Thus closure of {8} consists of positive multiples of 8, not the divisors of 8.

ภายใต้ d(x,y)=|arctan x−arctan y|, ลำดับจำนวนเต็มลู่เข้าหาจุดปลายภาพที่หายไปแทนที่จะเป็นจุดใน R, ดังนั้นเป็น Cauchy แต่ไม่ลู่เข้าในสเปสนี้ ในฐานของตัวหาร 16 อยู่ใน closure ของ {8}, เพราะเซตพื้นฐานใดๆ ที่มี 16 ก็จะมี 8 ด้วย แต่ 4 ไม่มี: U_4={2,4} เป็นเพื่อนบ้านของ 4 ที่ไม่มี 8. สิ่งนี้แยกตัวคูณออกจากตัวหารอย่างชัดเจน

*ภาพของ Cauchy sequence สามารถลู่เข้าสู่จุดภายนอกภาพ

ลิมิตของ Cauchy ต้องอยู่ในพื้นที่เดียวกัน ความสมบูรณ์เป็นคุณสมบัติของเมตริก ไม่ใช่เพียงทอโพโลยีเท่านั้น สำหรับการปิด ให้ทดสอบเพื่อนบ้านทุกอันของจุดที่เสนอ ไม่ใช่เพื่อนบ้านทุกอันของเซตค่าเดียว

On $\mathbb R$ compare $d_1(x,y)=|x^3-y^3|$ and $d_2(x,y)=|\arctan x-\arctan y|$. Prove they are metrics and decide completeness.

วิธีทำตัวอย่าง

Both defining maps are injective, giving positive separation; absolute distance gives symmetry and the triangle inequality. Each map is an isometry onto its real image. The cube map has image all of $\mathbb R$, a complete space, so d1 is complete. The arctangent image is the open interval $(-\pi/2,\pi/2)$, which is incomplete. The sequence n is d2-Cauchy because arctan n tends to pi/2, but no real point has that image, so it has no d2-limit. Bounded metric values do not imply completeness.

บน $X=\{2,3,4,\ldots\}$ ใช้ divisor basis $U_k=\{n\in X:n\mid k\}$. หา closure ของ $\{6\}$ และ interior ของ $\{6\}$. ตรวจสอบ conditions ของ basis รวมถึงส่วนตัดที่เป็นว่างเปล่า

ตรวจสอบหลังทำแบบฝึกหัดแล้ว

ทุก x อยู่ภายใน Ux. ส่วนตัดจะเป็น $U_{\gcd(k,l)}$ ถ้า gcd ≥ สอง และเป็นว่างเปล่าสำหรับ gcd หนึ่ง ดังนั้นจุดในส่วนตัดจะมี basic neighbourhood ภายในมัน The smallest basic neighbourhood of x is Ux, contained in every Uk that contains x. It meets {6} exactly when $6\mid x$. Therefore the closure is $\{6,12,18,\ldots\}$, the multiples of six. The point six is not interior to its singleton because U6 also contains two and three. No other point is in that singleton, so its interior is empty. This closure calculation uses all basic neighbourhoods, not Euclidean intuition.