C.12 · อัตราที่เกี่ยวข้องและลิมิตของเศษส่วนที่ขจัดได้

เตรียมสอบ GRE ระดับปริญญาตรี วัตถุประสงค์ภายในขอบเขต ETS ที่ทบทวนนี้คือการสอนต้นฉบับ ไม่ใช่การทดสอบหรือตัวทำนายคะแนนอย่างเป็นทางการ

เงื่อนไขก่อนหน้า: กฎลูกโซ่, หน้าตัดวงกลม และลิมิต

• แปลงอัตราการเปลี่ยนแปลงทางเรขาคณิตให้เป็นอนุพันธ์ของปริมาณที่เกี่ยวข้อง
• สันนิษฐานและดิฟสูตรปริมาตรทรงกระบอกทรงกลม
• แยกการต่อฟังก์ชันแบบต่อเนื่องของผลหารออกจากฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้

อัตราส่วนที่เกี่ยวข้อง: อัตราที่ได้จากการหาอนุพันธ์ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณที่เปลี่ยนแปลง

ลิมิตที่ลบออกได้: ลิมิตที่มีค่าใกล้ๆ ที่ใช้เติมค่าฟังก์ชันที่หายไปอย่างต่อเนื่อง

สำหรับปริมาณ V ที่ขึ้นอยู่กับความลึก h(t) ที่เปลี่ยนไป กฎโซ่ให้ dV/dt=V′(h) dh/dt ถังกำลังระบายน้ำจะมี dh/dt<0 ดังนั้น dV/dt ที่มีเครื่องหมายจะเป็นลบ; ขนาดการไหลออกคือค่าลบของมัน วาดเรขาคณิตและตั้งชื่อความลึก ณ วินาทีนั้นก่อนแทนค่าตัวเลข อย่า Treat อัตราเป็นปริมาตรคงที่หารด้วยเวลาเว้นแต่สถานการณ์จะระบุอัตราการเฉลี่ยคงที่จริง ๆ

A spherical tank of radius R has cross-section radius squared R²−(R−h)²=2Rh−h² at depth h from the bottom. Integrating these circular areas gives the cap volume V(h)=π(Rh²−h³/3), for 0≤h≤2R. Its derivative π(2Rh−h²) is the current cross-sectional area. At R=3,h=1,dh/dt=−1/4, signed volume rate is −5π/4 and outflow magnitude 5π/4. The formula works for both shallow and deep caps within the stated range.

ถ้า f และ g หาอนุพันธ์ได้ต่อเนื่องใกล้ศูนย์, f(0)=g(0)=0 และ g′(0)≠0, แล้ว f(x)/g(x) มีลิมิตเข้าหา f′(0)/g′(0) สิ่งนี้มาจาก f(x)=f′(0)x+o(x) และ g(x)=g′(0)x+o(x); ความต่อเนื่องของ g′ ทำให้ผลหารนิยามได้ใกล้เคียงยกเว้นที่ศูนย์ การเติมลิมิตนี้จะทำให้มีการต่อฟังก์ชันแบบต่อเนื่อง ข้อพิสูจน์นี้ไม่จำเป็นต้องใช้ f′(0) เป็นศูนย์ และไม่พิสูจน์ว่าผลหารที่ต่อแล้วหาอนุพันธ์ได้

สำหรับ f(x)=x|x| และ g(x)=x, ทั้งคู่หาอนุพันธ์ได้ต่อเนื่อง, f(0)=g(0)=0 และ g′(0)=1 ผลหารของพวกมันสำหรับ x≠0 คือ |x|, ซึ่งต่อได้ต่อเนื่องที่ศูนย์แต่มีอนุพันธ์ทางซ้ายและขวาไม่เท่ากัน สำหรับ (f²−f)/(2g−g³), จัดรูปเป็น (f/g)(f−1)/(2−g²); ลิมิตที่ตัดออกได้คือ −f′(0)/(2g′(0)) ปัจจัยเพิ่มเติมเข้าหา −1 และ 2 แยกแยะลิมิตของผลหารจากอนุพันธ์ของการต่อฟังก์ชัน

สำหรับทรงกลมที่มี R=3 และความลึก h=1 พื้นที่หน้าตัดคือ π(6−1)=5π การลดลงของความลึก 1/4 ต่อหน่วยเวลา จึงลดปริมาตรในอัตรา 5π/4 ต่อหน่วยเวลา สำหรับ f(x)=sin(2x), g(x)=3x, ผลหารต่อขยายได้ที่ศูนย์ด้วยค่า 2/3 ลิมิตนี้บอกอะไรเกี่ยวกับขนาดถังไม่ได้และไม่ควรแทนที่ด้วยอัตราการเปลี่ยนแปลงโดยไม่ระบุตัวแปรที่เกี่ยวข้อง

ใช้ instantaneous cross-section area, ไม่ใช่พื้นที่ผิวทั้งหมดของถัง รายงานการเปลี่ยนแปลงปริมาตร signed หรือการไหลออกที่เป็นบวกตามที่ขอ Finite removable quotient limit ก่อให้เกิดความต่อเนื่อง, ไม่ใช่ differentiability ของ quotient ที่ถูกเติมเข้าไป

ถังทรงกลมมีรัศมี 2 เมตร และความลึกน้ำ h วัดจากด้านล่าง แสดงวิธีทำ V(h). เมื่อ h=1 เมตร และ $dh/dt=-0.1\ \mathrm{m/min}$, หาอัตราการเปลี่ยนแปลงปริมาตรที่มีเครื่องหมายและขนาดการไหลออก

วิธีทำตัวอย่าง

ที่ความลึก s, รัศมีหน้าตัดเป็นไปตาม $r(s)^2=2Rs-s^2$. การอินทิเกรตดิสก์จะได้ $V(h)=\pi(Rh^2-h^3/3)$ สำหรับ $0\le h\le2R$.

Suppose f,g are continuously differentiable near zero, $f(0)=g(0)=0$, $f'(0)=4$, $g'(0)=2$. Find the removable limit of $(f^2-f)/(2g-g^3)$. Do these assumptions imply differentiability of the extended quotient? Give a counterexample to that general implication.

ตรวจสอบหลังทำแบบฝึกหัดแล้ว

Since g'(0) is nonzero, the denominator is nonzero near zero except at zero. Factor the expression as $(f/g)(f-1)/(2-g^2)$. Its limit is $(4/2)(-1)/2=-1$. First-order differentiability gives $f/g\to f'(0)/g'(0)$; it does not give second-order control. For a counterexample preserving these derivatives, take $f(x)=4x+x|x|$ and $g(x)=2x$. They are continuously differentiable. For nonzero x the quotient becomes $(2+|x|/2)(-1+4x+x|x|)/(2-4x^2)$. Its expansion is $-1+4x-|x|/4+O(x^2)$, giving different one-sided derivatives. Thus the extension is continuous but not differentiable.