อัตราที่เกี่ยวข้องและลิมิตของผลหารที่ลบออกได้
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| removable limit/rɪˈmuːvəbl ˈlɪmɪt/ | ลิมิตที่กำจัดได้ |
| related rate/rɪˈleɪtɪd reɪt/ | อัตราเปลี่ยนแปลงที่เกี่ยวข้อง |
ตัดสินใจก่อนตอบคำถาม
- อัตราความลึกน้ำไม่ใช่อัตราไหลของปริมาตร: พื้นที่หน้าตัดของถังเปลี่ยนตามความลึก ค่าลิมิตของquotient ก็อาจมีค่าจำกัดโดยไม่ทำให้ฟังก์ชัน extended ที่ differentiable ได้
- เป้าหมายของคุณ: แปลงอัตราการทางเรขาคณิตให้เป็น derivative ของปริมาณที่เกี่ยวข้อง
อ่านความสัมพันธ์
- สำหรับปริมาณ V ที่ขึ้นอยู่กับความลึก h(t) ที่เปลี่ยนแปลง rule ของ chain ให้ dV/dt=V′(h) dh/dt ถังที่กำลังระบายน้ำจะมี dh/dt<0 ดังนั้น signed dV/dt จะมีค่าลบ; ขนาดของการไหลออกคือค่าลบของมัน วาดเรขาคณิตและตั้งชื่อความลึกขณะนั้นก่อนแทนตัวเลข อย่า treating rate เป็น static volume หารด้วยเวลาผ่านไปเว้นแต่สถานการณ์จะระบุ average rate ที่คงที่จริงๆ
- สันนิษฐานและ differentiate สูตรปริมาตร spherical-cap
A radius-3 spherical tank has depth 1 decreasing at 1/4 per time unit. What is the positive outflow magnitude?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Cross-section area is π(2Rh−h²)=5π. Multiply by depth-decrease magnitude 1/4.
ใช้กฎที่กำหนด
- ถังทรงกลมที่มีรัศมี R มีรัศมีหน้าตัดกำลังสอง R²−(R−h)²=2Rh−h² ที่ความลึก h จากด้านล่าง การ integrate พื้นที่วงกลมเหล่านี้ให้ปริมาตร cap V(h)=π(Rh²−h³/3), สำหรับ 0≤h≤2R Derivative ของมันคือ π(2Rh−h²) ซึ่งเป็นพื้นที่หน้าตัดปัจจุบัน ที่ R=3,h=1,dh/dt=−1/4, อัตราการเปลี่ยนแปลงปริมาตร signed คือ −5π/4 และขนาดการไหลออก 5π/4 สูตรนี้ใช้ได้ทั้ง cap ตื้นและลึกภายในช่วงที่กำหนด
- แยก continuous quotient extension ออกจาก differentiable extension
For x≠0, f(x)=x|x|,g(x)=x. What happens when f/g is filled in at zero?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The quotient is |x|. Filling in zero gives continuity, while the left and right derivatives are −1 and 1.
ตรวจสอบเงื่อนไข
- ถ้า f และ g เป็น continuously differentiable ใกล้จุด 0, f(0)=g(0)=0 และ g′(0)≠0, แล้ว f(x)/g(x) มีแนวโน้ม toward f′(0)/g′(0) สิ่งนี้มาจาก f(x)=f′(0)x+o(x) และ g(x)=g′(0)x+o(x); continuity ของ g′ ทำให้ quotient ถูกกำหนด nearby ยกเว้นที่จุด 0 การเติม limit นี้เข้าให้ continuous extension ข้อคิดนี้ไม่จำเป็นต้อง f′(0) ไม่เป็นศูนย์ และ它也ไม่ได้พิสูจน์ว่า quotient ที่ extended นั้น differentiable
- แยก continuous quotient extension ออกจาก differentiable extension
สำหรับทรงกลมที่มี R=3 และความลึก h=1 พื้นที่หน้าตัดคือ π(6−1)=5π การลดลงของความลึก 1/4 ต่อหน่วยเวลา จึงลดปริมาตรในอัตรา 5π/4 ต่อหน่วยเวลา สำหรับ f(x)=sin(2x), g(x)=3x, ผลหารต่อขยายได้ที่ศูนย์ด้วยค่า 2/3 ลิมิตนี้บอกอะไรเกี่ยวกับขนาดถังไม่ได้และไม่ควรแทนที่ด้วยอัตราการเปลี่ยนแปลงโดยไม่ระบุตัวแปรที่เกี่ยวข้อง
For f(x)=sin(2x) and g(x)=3x, express the removable quotient value as a fraction: ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The derivatives at zero are 2 and 3, so their quotient gives the limit 2/3.
ใช้รูปแบบงาน
- สำหรับ f(x)=x|x| และ g(x)=x, ทั้งสองฟังก์ชันมีความต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ได้, f(0)=g(0)=0 และ g′(0)=1. ผลหารของพวก它为 x≠0 คือ |x|, ซึ่งต่อขยายได้ต่อเนื่องที่ศูนย์แต่มีอนุพันธ์ด้านซ้าย-ขวาไม่เท่ากัน สำหรับ (f²−f)/(2g−g³), ดึงตัวร่วมได้เป็น (f/g)(f−1)/(2−g²); ลิมิตที่ลบออกได้คือ −f′(0)/(2g′(0)). ตัวประกอบเพิ่มเติมลู่เข้าหา −1 และ 2. แยกแยะลิมิตของผลหารกับอนุพันธ์ของการต่อขยายมัน
- แยก continuous quotient extension ออกจาก differentiable extension
ใช้ instantaneous cross-section area, ไม่ใช่พื้นที่ผิวทั้งหมดของถัง รายงานการเปลี่ยนแปลงปริมาตร signed หรือการไหลออกที่เป็นบวกตามที่ขอ Finite removable quotient limit ก่อให้เกิดความต่อเนื่อง, ไม่ใช่ differentiability ของ quotient ที่ถูกเติมเข้าไป
คำตอบใดสอดคล้องกับกรณีนี้?
แปลงอัตราส่วนทางเรขาคณิตให้อยู่ในรูปอนุพันธ์ของปริมาณที่เกี่ยวข้อง
A continuously differentiable numerator and denominator with simple denominator zero always give a differentiable quotient extension.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The numerator x|x| and denominator x meet the assumptions, but their filled-in quotient |x| is not differentiable at zero.
รักษาระยะห่าง
- related rate — อัตราที่ได้จากการ differentiate ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณที่เปลี่ยนแปลง
- removable limit — ลิมิตที่จำกัดอยู่ใกล้เคียงที่ใช้เติมค่าฟังก์ชันที่หายไปอย่าง continuous
- แปลงอัตราการทางเรขาคณิตให้เป็น derivative ของปริมาณที่เกี่ยวข้อง
- สันนิษฐานและ differentiate สูตรปริมาตร spherical-cap
- แยก continuous quotient extension ออกจาก differentiable extension
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.