ความสมบูรณ์ของเมตริกและความปิดจากฐาน
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| complete metric space/kəmˈpliːt ˈmetrɪk speɪs/ | สเปซเมตริกที่สมบูรณ์ |
| neighbourhood basis/ˈneɪbəhʊd ˈbeɪsɪs/ | ฐานของเพื่อนบ้าน |
ตัดสินใจก่อนตอบคำถาม
- การเปลี่ยนสูตรระยะทางสามารถทำให้ sequence เป็น Cauchy แม้ bahwa ordinary values ของมันจะเติบโตโดยไม่จำกัด Relevant limit ยังคงต้องเป็นจุดของ metric space
- เป้าหมายของคุณ: ตรวจสอบเมตริกแบบดึงกลับ (pullback metric) โดยใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันที่นิยามมัน
อ่านความสัมพันธ์
- สำหรับฟังก์ชัน injective h:X→R, d(x,y)=|h(x)−h(y)| เป็นเมตริก: สมมาตรและอสมการสามเหลี่ยมมาจาก R และการเป็น injective รับประกันว่า d(x,y)=0 ก็ต่อเมื่อ x=y ฟังก์ชัน h เป็น isometry ลงบนภาพ h(X) หาก h ไม่ใช่ injective การสร้างนี้อาจเป็นเพียง pseudometric ระยะทางที่มีขอบเขตไม่พิสูจน์ความสมบูรณ์ (completeness) ของสเปซ และเซตจุดที่คุ้นเคยอาจมีพฤติกรรม Cauchy ที่แตกต่างกันมากภายใต้เมตริกที่ต่างกัน
- ตัดสินใจเรื่องความสมบูรณ์ผ่านภาพของ isometry
Which statement holds for d(x,y)=|arctan x−arctan y| on R?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The injective map defines a metric. The image is an open bounded interval, and arctan n tends to a missing endpoint.
ใช้กฎที่กำหนด
- เมตริกแบบดึงกลับจะสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อภาพ h(X) เป็นสมบูรณ์ในระยะทางจริงมาตรฐาน เซตย่อยที่เป็นปิดของ R เป็นสมบูรณ์ สำหรับ h(x)=arctan x บน R ภาพคือ (−π/2,π/2) ซึ่งขาดจุดปลายลำดับ การเรียงลำดับ n เป็น Cauchy ในเมตริกแบบดึงกลับเพราะ arctan n→π/2 แต่ไม่มีจำนวนจริง x ใดที่ทำให้ arctan x=π/2 ดังนั้นเมตริกนี้จึงไม่สมบูรณ์ สำหรับ h(x)=x³ ภาพคือ R ทั้งหมดและเมตริกแบบดึงกลับเป็นสมบูรณ์ ความเทียบเท่าทางโทโพโลยีเพียงอย่างเดียวไม่รักษาความสมบูรณ์
- กำหนดความปิดโดยใช้ฐานเปิดพื้นฐานทุกชุดแทนสัญชาตญาณแบบยูคลิด
For the divisor basis in the lesson, which point belongs to closure of {8}?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Closure consists of multiples of 8. The point 16 has every neighbourhood containing 8; U_4 demonstrates why the divisor 4 does not belong.
ตรวจสอบเงื่อนไข
- ในโทโพโลژیที่มีฐาน x อยู่ในการปิด (closure) ของ A เมื่อแต่ละฐานเปิดพื้นฐานรอบ x ตัดกับ A นี่คือเงื่อนไขการสมาชิกภาพ ไม่ใช่การดำเนินการจุดปลายแบบยูคลิดโดยอัตโนมัติ ฐานต้องครอบคลุมสเปซ และสำหรับจุดที่อยู่ภายในสองชุดของฐาน จะต้อง有一套ของฐานย่อยที่ประกอบด้วยจุดนั้นอยู่ในส่วนตัดของทั้งสองชุด จุดสามารถอยู่ในการปิดของเซตจุดเดียวได้แม้ว่าจะไม่ใช่จุดเดียวกันกับเซตจุดนั้น的可能性ขึ้นอยู่กับโทโพโลژی
- กำหนดความปิดโดยใช้ฐานเปิดพื้นฐานทุกชุดแทนสัญชาตญาณแบบยูคลิด
ภายใต้ d(x,y)=|arctan x−arctan y|, ลำดับจำนวนเต็มลู่เข้าหาจุดปลายภาพที่หายไปแทนที่จะเป็นจุดใน R, ดังนั้นเป็น Cauchy แต่ไม่ลู่เข้าในสเปสนี้ ในฐานของตัวหาร 16 อยู่ใน closure ของ {8}, เพราะเซตพื้นฐานใดๆ ที่มี 16 ก็จะมี 8 ด้วย แต่ 4 ไม่มี: U_4={2,4} เป็นเพื่อนบ้านของ 4 ที่ไม่มี 8. สิ่งนี้แยกตัวคูณออกจากตัวหารอย่างชัดเจน
For h(x)=x³, d(1,2)=|h(1)−h(2)| is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The transformed coordinates are 1 and 8, with difference 7.
ใช้รูปแบบงาน
- บน X={2,3,4,…}, ให้ชุดพื้นฐาน U_k={n in X: n divides k}, สำหรับ k≥2 พวกเขาครอบคลุม X เพราะ x∈U_x; ส่วนตัดคือ U_gcd(k,l) เมื่อ gcd ≥ 2, หรือว่างเปล่า จุด x อยู่ในการปิดของ {n} ก็ต่อเมื่อแต่ละ k ที่หารด้วย x ได้ ก็หารด้วย n ด้วย: เท่ากับ n หาร x ได้ โดยตรงกว่านั้น ฐานเปิดพื้นฐานรอบ x ที่มีขนาดเล็กที่สุดจะประกอบด้วย n ก็ต่อเมื่อ n หาร x ได้ และเพื่อนบ้านอื่นๆ ที่รวม x ไว้ก็จะรวมตัวหารเหล่านี้ด้วย ดังนั้น closure ของ {8} ประกอบด้วยผลคูณบวกของ 8 ไม่ใช่ตัวหารของ 8
- กำหนดความปิดโดยใช้ฐานเปิดพื้นฐานทุกชุดแทนสัญชาตญาณแบบยูคลิด
ลิมิตของ Cauchy ต้องอยู่ในพื้นที่เดียวกัน ความสมบูรณ์เป็นคุณสมบัติของเมตริก ไม่ใช่เพียงทอโพโลยีเท่านั้น สำหรับการปิด ให้ทดสอบเพื่อนบ้านทุกอันของจุดที่เสนอ ไม่ใช่เพื่อนบ้านทุกอันของเซตค่าเดียว
คำตอบใดสอดคล้องกับกรณีนี้?
ตรวจสอบเมตริกที่ดึงกลับโดยใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันที่กำหนดมัน
Two metrics defining the same topology must either both be complete or both be incomplete.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Ordinary distance and the arctan pullback give the usual topology on R, but only ordinary distance is complete.
รักษาระยะห่าง
- สเปซเมตริกสมบูรณ์ — สเปซเมตริกที่ลำดับ Cauchy ทุกลำดับลู่เข้าหาจุดหนึ่งในสเปสนั้น
- ฐานเพื่อนบ้าน — เพื่อนบ้านพื้นฐานเพียงพอต่อการทดสอบคุณสมบัติโทโพโลژیท้องถิ่น
- ตรวจสอบเมตริกแบบดึงกลับโดยใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันที่นิยามมัน
- ตัดสินใจเรื่องความสมบูรณ์ผ่านภาพของ isometry
- กำหนดความปิดโดยใช้ฐานเปิดพื้นฐานทุกชุดแทนสัญชาตญาณแบบยูคลิด
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.