อัตราส่วน สัดส่วน และอัตราการเปลี่ยนแปลง

AQA GCSE คณิตศาสตร์ 8300 หัวข้อ 3.3 (หลักสูตรฉบับ 1.0, 12 กันยายน 2014, การสอบครั้งแรก 2017). แถวพื้นฐาน R1–R16 แบ่งเป็นสามระดับ; ส่วนเพิ่มสำหรับระดับสูงเท่านั้นคือหน่วยผสม (ความหนาแน่น, ความดัน) ทั้งในบริบทเชิงตัวเลข AND เชิงพีชคณิต การเพิ่มพจน์คือหน่วยรวม (ความหนาแน่น, ความดัน) ทั้งในบริบทเชิงตัวเลขและพีชคณิต (R1), การทำงานกับเปอร์เซ็นต์เกิน 100% และโจทย์ค่าเริ่มต้น (R9), $k : k^2 : อัตราส่วนความคล้ายคลึง k^3$ (R12), การสร้างสมการสำหรับสัดส่วนโดยตรงและผกผัน กระบวนการทำซ้ำที่เกินกว่าดอกเบี้ยทบต้น (R13). ข้อสอบระดับสูงเดือนมิถุนายน 15 จัดเตรียม กระบวนการซ้ำซ้อนที่เหนือกว่าดอกเบี้ยทบต้น (R16). ชุดข้อสอบ Higher เดือนมิถุนายน 2024 จัดเตรียม จุดยึดที่ยืนยันแล้วด้านล่างนี้

สิ่งที่ต้องรู้สำหรับหัวข้อ 3.3:

เปลี่ยนระหว่างหน่วยมาตรฐานที่เกี่ยวข้องได้อย่างอิสระ (เวลา, ความยาว, พื้นที่, ปริมาตร/ความจุ, มวล) และหน่วยผสม (ความเร็ว, อัตราค่าจ้าง, ราคา) ในบริบทเชิงตัวเลข; additional foundation adds density and pressure, and Higher works them in numerical และบริบททางพีชคณิต — กระบอกทรงมีปริมาตร $V = 2x^3$ และมวล $m = 5x^2$ มี ความหนาแน่น $\tfrac{5x^2}{2x^3} = \tfrac{5}{2x}$.

สัญลักษณ์อัตราส่วนลดรูปเป็นรูปอย่างง่าย ($45 : 60 = 3 : 4$); แสดงปริมาณหนึ่งเป็น เศษของอีกปริมาณหนึ่ง (เศษบนหรือใต้ 1); แบ่งปริมาณตามสัดส่วน ส่วน : ส่วน หรือ สัดส่วน ส่วน : ทั้งหมด — £350 ใน $2 : 5$ ให้ £100 และ £250. แสดงความสัมพันธ์แบบคูณด้วย อัตราส่วนหรือเศษ (R6); สัดส่วนเท่ากับสมการอัตราส่วน (R7); เชื่อมโยง อัตราส่วนกับเศษและฟังก์ชันเชิงเส้น (R8: วิธีหน่วยเดียวและ $y = kx$ คือ ขั้นบันไดเดียวกัน). ใช้比例ในบริบทจริง — การแปลง, เปรียบเทียบ, การปรับขนาด, การผสม, ความเข้มข้น, ปัญหาสินค้าคุ้มค่า/ซื้อดีที่สุด (R5): เปรียบเทียบราคาต่อหน่วย ก่อนตัดสินใจ.

ตัวอย่างวิธีทำ. การซื้อที่ดีที่สุดในราคา: ถุงขนาด 2.5 กก. ราคา £6.40 (ราคาต่อหน่วย £6.40 ÷ 2.5 = £2.56/กก.) เทียบกับกล่องขนาด 400 กรัม ราคา £1.12 (£1.12 ÷ 0.4 = £2.80/กก.) — ถุงที่ใหญ่กว่าให้มูลค่าดีกว่า และการเปรียบเทียบนี้จะใช้ได้ก็ต่อเมื่อ BOTH เป็นราคาต่อกิโลกรัมเท่านั้น ระบุราคาต่อหน่วย: ผู้สอบต้องการเห็นการหาร ไม่เพียงแต่ตัวเลือก

ร้อยละคือส่วนต่อร้อย; interpret ร้อยละและการเปลี่ยนแปลงของร้อยละในลักษณะเป็น เศษส่วน/ทศนิยม และแบบคูณ (R9). ความรู้พื้นฐานเพิ่มเติม: แสดงปริมาณหนึ่งเป็น ร้อยละของอีกปริมาณหนึ่ง เปรียบเทียบปริมาณสองอย่าง ทำงานเหนือ 100% percentage increase/decrease, original-value problems and simple interest. The ตัวคูณ Discipline: +12% คือ ×1.12; −17% คือ ×0.83; ค่าเริ่มต้นหารค่าสุดท้ายด้วย ตัวคูณนั้น

ตัวอย่างวิธีทำ: 2H มิถุนายน 2024 Q2, ปรับแล้ว. ประชากรในเมืองลดลง 12% เหลือ 2200. ค่าเริ่มต้น $= 2200 \div 0.88 = 2500$. การตรวจสอบด้วยตัวคูณของผู้สอน: $2{,}200{,}000 \div 0.88 = 2.5 \times 10^6$ ในรูปมาตรฐาน — การหารเดียวกัน, ตัวเลขที่ขยายขนาด

Solve direct and inverse proportion problems with graphical and ALGEBRAIC (meta-representation) (R10). Higher ตีความและสร้าง EQUATIONS อธิบาย หมายถึง 13. ถ้า $X \propto Y$ เมื่อ $X = kY$ ที่ $X$, แล้ว ค่าคงที่ของสัดส่วน คือ $Y$; ถ้า $X = k/Y$ เมื่อ $y \propto x^3$ ที่ $y = 24$, แล้ว $x = 2$ และ $k = 3$. $p \propto \tfrac1{x^2}$ ด้วย $p = 8$ ที่ $x = 2$, จากนั้น $k = 32$ และ $p = \tfrac{32}{x^2}$. จดจำและตีความกราฟ: แปรผันตรง คือเส้นตรงที่ผ่านจุด กำเนิด (กำลังสูงกว่าทำให้โค้งขึ้น); แปรผกผัน เป็นเส้นโค้งรูปเศษส่วนกลับ (R14 เชื่อมโยงความชันของเส้นตรงกับอัตราการเปลี่ยนแปลง).

ใช้หน่วยผสม — ความเร็ว, อัตราค่าจ้าง, ราคาต่อหน่วย (พื้นฐานเพิ่มเติม); ความหนาแน่นและความดัน (R11), รวมถึงการเปรียบเทียบ. การเดินทาง 234 กิโลเมตรใน 2 ชั่วโมง 36 นาที เฉลี่ย $234 \div 2.6 = 90$ กม./ชม.; £9.20/ชม. สำหรับ 7.5 ชม. จ่ายเงิน £69; การเปรียบเทียบสินค้าคุ้มราคาที่สุด นำราคาหารด้วยปริมาณและเปรียบเทียบแบบเดียวกัน.

ใช้ สเกล-factor, แผนภาพสเกล และแผนที่ (R2, รวมปัญหาเรขาคณิต). เปรียบเทียบความยาว พื้นที่ และปริมาตร โดยใช้สัญลักษณ์อัตราส่วนและสเกล-factor (R12): ความยาว $k$ : สเกล-factor พื้นที่ $k^2$ : ปริมาตร $k^3$, พร้อมเชื่อมโยงกับความคล้ายคลึง รวมถึง อัตราส่วนตรีโกณมิติ; ระดับสูงขยายไปยัง $k : k^2 : k^3$บันไดในโจทย์ปัญหา — ประติมากรรมคล้ายกันที่มีความสูง $3 : 5$ มีปริมาตรเป็นอัตราส่วน $27 : 125$, ดังนั้นประติมากรรมที่เล็กกว่า 216 ซม.³ จะสเกลไปเป็น $216 \times \tfrac{125}{27} = 1000$ ซม.³.

ตีความความชันของกราฟเส้นตรงว่าเป็น อัตราการเปลี่ยนแปลง (R14) — บน กราฟระยะเวลา-เวลา ความเร็วคือ; ในกราฟความเร็ว-เวลา ความชันคือ ความเร่ง และ พื้นที่ใต้กราฟ คือ ระยะทาง การอ่านค่า (R15) หาความชันที่จุดหนึ่ง บนเส้นโค้ง เพื่อหาอัตราการเปลี่ยนแปลงทันที: วาดเส้นสัมผัสแล้วนำ ความชัน ของเส้นนั้นไปใช้ เป็น อัตราการเปลี่ยนแปลงขึ้น/ลง — และนำไปใช้กับอัตราเฉลี่ย (เส้นคอร์ด) และอัตราทันที (เส้นสัมผัส) ใน บริบทของตัวเลข สมการ และกราฟ

ตั้งโจทย์ แก้และ ตีความ ปัญหาการเติบโตและการลดลง รวมถึง ดอกเบี้ยทบต้น (R16): $A = P\left(1 \pm \tfrac r{100}\right)^n$. £2000 ที่ดอกเบี้ยทบต้น 3% เป็นเวลา 4 ปี เพิ่มขึ้นเป็น $2000 \times 1.03^4 = £2251.02$; รถที่มีมูลค่า £12000 ลดลงปีละ 15% จะเหลือมูลค่า $12000 \times 0.85^3 = £7369.50$.

ตัวอย่างวิธีทำ: 2H มิถุนายน 2024 Q10, ปรับแล้ว. ราคาบ้าน £90000 เพิ่มขึ้น 3% แล้ว 8%: $90000 \times 1.03 \times 1.08 = £100116$ — สูงกว่า £100000 ดังนั้นใช่ ตัวเลขในคู่มือ เส้นทางตัวคูณ: $1.03 \times 1.08 = 1.1124 > 1.111\ldots = 100000/90000$. ระดับสูง เพิ่ม กระบวนการทำซ้ำ โดยทั่วไป: $x_{n+1} = f(x_n)$ รอบสำหรับการคำนวณซ้ำ ของเปอร์เซ็นต์ — ปริมาณที่เพิ่มขึ้น 5% ในแต่ละรอบจะทำซ้ำ $x_{n+1} = 1.05x_n$ และ ค่าลิมิต (ถ้ามี) แก้ $x = f(x)$. ตีความคำตอบตามบริบท: ปัดเศษอย่างเหมาะสมและ ระบุหน่วย

*ดอกเบี้ยแบบ simple เพิ่ม 100 ทุกปี; ดอกเบี้ยแบบ compound เติบโตขึ้น 10% จากยอดคงเหลือใหม่

*Bₙ₊₁ = 1.1Bₙ + 50: 1000, 1150, 1315, 1496.5 ดังนั้นจึงผ่าน 1400 ครั้งแรกหลังจาก 3 ปี

• การแปลงหน่วยและการแปลงหน่วยผสม รวมถึงความหนาแน่นและความดัน แบบพีชคณิตในระดับสูง (R1, R11).
• Scale factors, diagrams and maps (R2); quantities as fractions; ratio notation, sharing, real-context and best-buy problems (R3–R5).
• ความสัมพันธ์แบบคูณในรูปอัตราส่วน/เศษส่วน; สัดส่วนเป็นสมการของอัตราส่วน; อัตราส่วนไปยังเศษส่วนและฟังก์ชันเชิงเส้น (R6–R8).
• ตัวคูณเปอร์เซ็นต์ รวมถึงเหนือ 100%, การเปลี่ยนแปลง, ค่าเริ่มต้น, และดอกเบี้ยแบบ simple (R9; Q2 anchor).
• สัดส่วนโดยตรงและสัดส่วนผกผันทั้งแบบกราฟและแบบพีชคณิต; วิเคราะห์และสร้างสมการสัดส่วน (R10, R13).
• ความชันในฐานะอัตราการเปลี่ยนแปลง; เกลือก (เฉลี่ย) และสัมผัส (ทันที) (R14–R15).
• อัตราส่วนความยาว : พื้นที่ : ปริมาตร $k : k^2 : k^3$ พร้อมเชื่อมโยงความคล้ายคลึงกัน (R12).
• Growth and decay incl. compound interest; general iterative processes with interpretation (R16; Q10 anchor).

หมายเหตุขอบเขต: ใบสูตรให้ข้อมูลสำหรับหัวข้อนี้เลย; การเปรียบเทียบการซื้อที่ดีที่สุด ต้องแสดงราคาต่อหน่วย; กระบวนการ iterative ระดับสูงรวมถึงการตรวจสอบการลู่เข้า. ตัวอย่างที่ ทำแล้วปรับมาจากข้อสอบระดับสูงเดือนมิถุนายน 2024 (ดูหลักฐานการประเมินของ meta) หรือเป็นต้นฉบับ.