C.9 · Интегрирующий множитель и неоднородные дифференциальные уравнения

Подготовка к GRE для бакалавров. Локальные цели в рамках пересмотренного диапазона ETS; это оригинальное обучение, а не официальный тест или предиктор баллов.

Предварительные требования: правило дифференцирования произведения первого порядка, показательные функции и характеристические уравнения.

• Решать линейные уравнения первого порядка с использованием интегрирующего множителя
• Строить однородную и частную части решения с постоянными коэффициентами
• Обрабатывать резонанс и проверять результат в исходном уравнении

интегрирующий множитель: Множитель, превращающий линейное уравнение первого порядка в производную произведения.

частное решение: Одно решение, обеспечивающее заданную неоднородную вынуждающую силу.

Линейное уравнение первого порядка имеет вид y′+p(x)y=q(x) на интервале, где его коэффициенты непрерывны. Оно не обязательно допускает разделение переменных. Задайте μ(x)=exp(∫p(x)dx). Поскольку μ′=pμ, умножение дает (μy)′=μq, откуда y=μ⁻¹(∫μq dx+C). Выберите любое удобное первообразное для p; константа интегрирования лишь масштабирует μ и сокращается в решении. Примените начальные данные после интегрирования и исключите точки сингулярности коэффициентов за пределы выбранного интервала.

Для y′+2xy=x с условием y(0)=1, μ=e^(x²). Тогда (e^(x²)y)′=x e^(x²), интеграл которого равен e^(x²)/2+C. Таким образом, y=1/2+C e^(−x²), а начальное условие дает C=1/2. Прямая подстановка проверяет y′+2xy=x. Интегрирующий множитель делает левую часть производной произведения; это не дополнительный множитель, который остается при умножении исходной правой части в окончательном ответе.

Для ay″+by′+cy=r(x) при nonzero a решите характеристическое уравнение aλ²+bλ+c=0 для однородной части. Различные действительные корни дают две экспоненты; кратный корень λ дает (C₁+C₂x)e^(λx); комплексные корни α±iβ дают e^(αx)(C₁ cos βx+C₂ sin βx). Полное решение равно y_h+y_p. Полиномиальная вынуждающая сила предполагает полиномиальное частное пробное решение; показательная или синусоидальная/косинусоидальная вынуждающая сила предполагает соответствующее семейство с достаточным количеством коэффициентов для учета дифференцирования.

Если частное пробное решение дублирует однородное решение, оно не сможет создать вынуждающую силу: умножьте на x один раз для простого корня, дважды для кратного. Для y″−3y′+2y=e^x наивное Ke^x аннулируется. Пробное Kxe^x дает −Ke^x, поэтому y_p=−xe^x. Начальные условия определяют константы однородной части только после добавления y_p. Подставьте итоговую функцию в исходное уравнение для проверки знаков и вынуждающей силы; проверка только по начальным условиям не может подтвердить дифференциальное уравнение.

Для y″−3y′+2y=4, характеристические корни равны 1 и 2. Константная частная часть y_p=2 дает 2y_p=4, так что y=C₁e^x+C₂e^(2x)+2. Для y′+2xy=x и y(0)=1, отдельное решение первого порядка имеет вид y=(1+e^(−x²))/2. Эти примеры иллюстрируют различные методы; ни одно уравнение не становится однородным только потому, что его левая часть линейна.

*Когда вынуждающий член является решением однородного уравнения, умножьте пробное решение на x

Сохраните частное решение. Резонансная пробная часть требует множителя x. Вывод с использованием интегрирующего множителя применяется на допустимом интервале коэффициентов и не должен включать деление на y или молчаливое отбрасывание нулевых решений.

Решите $y'+2y=e^x$, $y(0)=1$, используя интегрирующий множитель. Проверьте ответ непосредственно.

Разобранное решение

Коэффициенты непрерывны повсюду. Интегрирующий множитель равен $\mu=e^{2x}$. Умножение дает $(e^{2x}y)'=e^{3x}$. Интегрирование дает $y=e^x/3+Ce^{-2x}$. Начальное условие дает C=2/3, следовательно, $y=e^x/3+2e^{-2x}/3$. Дифференцирование дает $y'=e^x/3-4e^{-2x}/3$; прибавление 2y дает $e^x$, и y(0)=1.

Решите $y''-2y'+y=e^x$ с $y(0)=0,y'(0)=0$. Объясните, почему ни $Ke^x$, ни $Kxe^x$ не являются допустимыми частными решениями.

Проверка после выполнения

Однородный корень равен 1 с кратностью два, поэтому $y_h=(C_1+C_2x)e^x$. Оба предложенных пробных решения уже принадлежат этому однородному пространству и аннигилируются. Подставьте $y=e^xv$; тогда $y''-2y'+y=e^xv''$. Следовательно, $v''=1$ и $v=x^2/2+C_2x+C_1$. Два начальных условия дают $C_1=C_2=0$, отсюда $y=x^2e^x/2$. Эта подстановка также проверяет вынуждающее без опоры только на начальные значения.