Интегрирующий множитель и неоднородные дифференциальные уравнения
Введено| English | Значение |
|---|---|
| integrating factor/ˈɪntɪɡreɪtɪŋ ˈfæktə/ | интегрирующий множитель |
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | частное решение |
Решение перед ответом
- Вынуждающее воздействие изменяет отклик системы. Решение только однородного уравнения упускает установившийся вклад; деление на y также может привести к потере верного решения.
- Ваша цель: Решить линейные дифференциальные уравнения первого порядка с помощью интегрирующего множителя.
Прочитайте соотношение
- Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид y′+p(x)y=q(x) на интервале, где его коэффициенты непрерывны. Оно не обязательно является разделимым. Задайте μ(x)=exp(∫p(x)dx). Поскольку μ′=pμ, умножение дает (μy)′=μq, откуда y=μ⁻¹(∫μq dx+C). Выберите любой удобный первообразный для p; константа интегрирования лишь масштабирует μ и сокращается в решении. Применяйте начальные данные после интегрирования и исключайте любые особые точки коэффициентов из выбранного интервала.
- Постройте однородную и частную части решения с постоянными коэффициентами.
Which integrating factor works for y′+3y=x?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
p(x)=3, so μ=exp(∫3 dx)=e^(3x). Its derivative is 3μ.
Используйте определяющее правило
- Для y′+2xy=x с условием y(0)=1, имеем μ=e^(x²). Тогда (e^(x²)y)′=x e^(x²), интеграл которого равен e^(x²)/2+C. Следовательно, y=1/2+C e^(−x²), а начальное условие дает C=1/2. Прямая подстановка проверяет y′+2xy=x. Интегрирующий множитель превращает левую часть в производную произведения; это не дополнительный множитель, который остается при умножении исходной правой части в финальном ответе.
- Учет резонанса и проверка результата в исходном уравнении.
For y″−3y′+2y=4, which constant is a particular solution?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Both derivatives vanish for a constant. The equation reduces to 2y=4, so y=2.
Проверьте условия
- Для ay″+by′+cy=r(x) с nonzero a решите характеристическое уравнение aλ²+bλ+c=0 для однородной части. Различные действительные корни дают две экспоненты; кратный корень λ дает (C₁+C₂x)e^(λx); комплексные корни α±iβ дают e^(αx)(C₁ cos βx+C₂ sin βx). Полное решение есть y_h+y_p. Многочленовое вынуждающее воздействие предполагает многочленную пробную частную часть; экспоненциальное или синусоидально-косинусоидальное воздействие предполагает соответствующий семейство, с достаточным количеством коэффициентов для учета дифференцирования.
- Учет резонанса и проверка результата в исходном уравнении.
Для y″−3y′+2y=4, характеристические корни равны 1 и 2. Константная частная часть y_p=2 дает 2y_p=4, так что y=C₁e^x+C₂e^(2x)+2. Для y′+2xy=x и y(0)=1, отдельное решение первого порядка имеет вид y=(1+e^(−x²))/2. Эти примеры иллюстрируют различные методы; ни одно уравнение не становится однородным только потому, что его левая часть линейна.
For y′+2xy=x with y(0)=1, y=1/2+C e^(−x²). Give C as a decimal: ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
At x=0 the exponential is 1, so 1=1/2+C gives C=1/2.
Применяйте формат задания
- Если пробная частная часть дублирует однородное решение, она не может воспроизвести вынуждающее воздействие: умножьте на x один раз для простой корня, дважды для кратного корня. Для y″−3y′+2y=e^x наивное Ke^x аннигилируется. Попытка Kxe^x дает −Ke^x, поэтому y_p=−xe^x. Начальные условия определяют константы однородного решения только после добавления y_p. Подставьте итоговую функцию в исходное уравнение для проверки знаков и вынуждающего воздействия; проверка только начальных значений не может верифицировать дифференциальное уравнение.
- Учет резонанса и проверка результата в исходном уравнении.
Сохраните частное решение. Резонансная пробная часть требует множителя x. Вывод с использованием интегрирующего множителя применяется на допустимом интервале коэффициентов и не должен включать деление на y или молчаливое отбрасывание нулевых решений.
Какой ответ подходит к данному случаю?
Решать линейные уравнения первого порядка с использованием интегрирующего множителя
Ke^x can be a particular solution of y″−3y′+2y=e^x for a suitable constant K.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
e^x is homogeneous, so the differential operator sends every Ke^x to zero. A resonant trial requires an extra x factor.
Сохраняйте различия
- интегрирующий множитель — Множитель, преобразующий линейное дифференциальное уравнение первого порядка в производную произведения.
- частное решение — Одно решение, обеспечивающее указанное неоднородное вынуждающее воздействие.
- Решать линейные дифференциальные уравнения первого порядка с помощью интегрирующего множителя.
- Постройте однородную и частную части решения с постоянными коэффициентами.
- Учет резонанса и проверка результата в исходном уравнении.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.