T.10 · Векторная геометрия, проекции и ориентированная площадь

Подготовка к GRE для бакалавров. Локальные цели в рамках пересмотренного диапазона ETS; это оригинальное обучение, а не официальный тест или предиктор баллов.

Предварительные требования: Координатные векторы, скалярное/векторное произведение и нормы.

• Используйте скалярное произведение для классификации углов и вычисления проекций
• Вычисляйте площадь треугольника и ориентацию с помощью векторного произведения
• Стройте или исключайте конфигурации знаков скалярного произведения в плоскости

ортогональный: Имеющий нулевое скалярное произведение в вещественном пространстве со скалярным произведением.

векторное произведение: Ориентированный перпендикулярный вектор в трех измерениях, величина которого равна площади параллелограмма, натянутого на эти векторы.

Для ненулевых вещественных векторов u, v: u·v=|u||v| cos θ. Положительное, нулевое или отрицательное скалярное произведение соответствует острому, прямому или тупому меньшему углу. Скалярная проекция v вдоль u равна (v·u)/|u|; векторная проекция — ((v·u)/(u·u))u. Разница между этим вектором и его проекцией ортогональна u. Не путайте спроецированный вектор с его знаковым скалярным компонентом. Нулевой вектор ортогонален любому вектору, но не имеет определенного направления угла.

Для трехмерных векторов u×v перпендикулярен обоим, а его длина равна |u||v| sin θ. Координатный расчет использует (u₂v₃−u₃v₂, u₃v₁−u₁v₃, u₁v₂−u₂v₁). Эта длина равна площади параллелограмма, поэтому треугольник, образованный двумя векторами ребер, имеет половину этой площади. Перестановка их порядка меняет знак векторного произведения, но сохраняет площадь. Строите оба вектора ребер из одной вершины; перестановка двух независимых векторов положения обычно измеряет неправильный треугольник.

Плоскость, проходящая через точку p с ненулевым нормальным вектором n, имеет уравнение n·(x−p)=0. Расстояние от q до плоскости равно |n·(q−p)|/|n|; знаменатель нормализует масштаб уравнения. Смешанное произведение u·(v×w) дает объем со знаком для параллелепипеда; его модуль — геометрический объем. Равенство нулю смешанного произведения означает линейную зависимость трех реберных векторов, но не обязательно то, что каждая пара перпендикулярна или параллельна.

Для четырех планарных векторов существует шесть попарных скалярных произведений. Конфигурация e₁, −e₁, e₂, −e₂ имеет два отрицательных и четыре нулевых произведения; e₁, e₁, e₂, e₂ имеет два положительных и четыре нулевых произведения. Четыре ненулевых вектора не могут иметь все попарные скалярные произведения отрицательными. Упорядочим их направления по окружности: каждый последовательный угловой разрыв должен превышать 90°, что вынудит сумму четырех разрывов превысить 360°. Нулевой вектор не может обеспечить строгую отрицательность, так как его скалярные произведения равны нулю.

При p=(0,0,0), q=(2,0,0), r=(0,3,0), рёбрами являются u=(2,0,0), v=(0,3,0). Их векторное произведение равно (0,0,6), давая площадь треугольника 3. Для w=(3,4) и u=(1,0), проекция вектора равна (3,0), а ортогональная составляющая равна (0,4). Плоскость 2x−y+2z=6 имеет длину нормали 3, поэтому расстояние от начала координат равно 6/3=2.

Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, поэтому для треугольника разделите его пополам. Сcalarное произведение, равное нулю, — это алгебраическое утверждение об ортогональности, даже для нулевого вектора. Расстояние от точки до плоскости вычисляется делением на длину нормального вектора.

Спроецируйте $v=(2,3,6)$ на $u=(1,0,2)$. Найдите площадь треугольника с вершинами O, u и v. Проверьте, что остаток проекции ортогонален u.

Разобранное решение

$v\cdot u=14$ и $u\cdot u=5$, поэтому векторная проекция равна $(14/5)u=(14/5,0,28/5)$. Остаток равен $(-4/5,3,2/5)$, скалярное произведение которого с u равно нулю. Векторное произведение равно $u\times v=(-6,-2,3)$ с нормой семь. Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, или $7/2$. Оба реберных вектора исходят из O; пересечение произвольных векторов положения обычно не вычисляет требуемый треугольник.

Могут ли четыре ненулевых вектора в $\mathbb R^2$ иметь все шесть попарных скалярных произведений строго отрицательными? Приведите доказательство. Как изменение условия (разрешение нулевых произведений) влияет на возможность такой конфигурации?

Проверка после выполнения

Упорядочим их направления по окружности. Каждый последовательный разрыв должен превышать $\pi/2$: если бы разрыв был не более $\pi/2$, эта пара имела бы неотрицательное скалярное произведение. Сумма четырех таких разрывов была бы больше $2\pi$, что невозможно. Следовательно, не все шесть произведений могут быть строго отрицательными. При неотрицательных произведениях подходит конфигурация $e_1,e_2,-e_1,-e_2$: последовательные пары перпендикулярны, а противоположные имеют отрицательные произведения. Нулевой вектор не может удовлетворять условию строгой отрицательности.