C.8 · Тригонометрическая фаза и параметрические кривые

Подготовка к GRE для бакалавров. Локальные цели в рамках пересмотренного диапазона ETS; это оригинальное обучение, а не официальный тест или предиктор баллов.

Предварительные требования: Тригонометрия в радианах, производные и параметризация кривых.

• Различайте амплитуду, угловую частоту, фазовый угол и горизонтальный сдвиг
• Исключайте параметр, сохраняя его область определения и направление обхода
• Используйте параметрические производные, не предполагая, что вертикальная касательная является стационарной

фаза: Сдвиг угла внутри аргумента периодической функции, определяемый по модулю полного периода.

параметрическая кривая: Кривая, координаты которой задаются как функции общего параметра.

Для y=A cos(ωx−φ) при A>0 и ω>0: амплитуда равна A, период составляет 2π/ω, горизонтальный сдвиг равен φ/ω. Фаза φ измеряется внутри аргумента косинуса; она не совпадает с горизонтальным сдвигом, если только ω=1. Начните с расстояния между пиками для определения периода и расстояния от средней линии до пика для амплитуды. Чтобы найти фазу, подставьте известную точку и проверьте направление движения в ней. Эквивалентные фазы отличаются на 2π.

Для y=−2 cos(3x) перепишите модель с положительной амплитудой как 2 cos(3x−π). Её амплитуда равна 2, период — 2π/3, фаза — π; эквивалентный сдвиг вправо составляет π/3. Пики возникают там, где ⟨3x−π⟩ является кратным 2π. Точки графика при x=0 и y=0 одной недостаточно для однозначного определения фазы: производные или другая точка различают возможные углы. Единицы измерения и конвенции для углов имеют значение; обычные тригонометрические производные в исчислении используют радианы.

Параметрическая кривая задает x=x(t), y=y(t). Исключение t описывает множество точек, но может потерять ограничения и направление. Для x=cos³t, y=sin³t действительные кубические корни дают |x|^(2/3)+|y|^(2/3)=1 — это астроид с выемками на осях. При изменении t от 0 до 2π траектория начинается в точке (1,0), проходит через (0,1) при π/2 и движется против часовой стрелки. Ограничение t интервалом [0, π/2] дает только дугу первой четверти, а не всю неявную локацию.

Если dx/dt≠0, то dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt). Горизонтальная касательная обычно требует dy/dt=0 и dx/dt≠0; вертикальная касательная обычно предполагает обратные условия. Если обе производные обращаются в ноль, исследуйте предел или локальное разложение, а не принимайте 0/0 за наклон. Для x=t², y=t³ при t=0 частное для t≠0 равно 3t/2 и стремится к нулю: у выемки горизонтальная касательная. Нулевая скорость параметра сама по себе не является локальным максимумом или минимумом y как функции x.

Для y=−2 cos(3x), минимумы включают x=0, максимумы включают x=π/3. Фазовое представление 2 cos(3x−π) даёт те же значения. Для x=2 cos t,y=sin t, исключение параметра даёт x²/4+y²=1; при t=π/4, dx/dt=−√2 и dy/dt=√2/2, следовательно, наклон −1/2. Полный параметрический интервал [0,2π] обходит эллипс один раз против часовой стрелки.

Фазовый угол и горизонтальный сдвиг различаются множителем частоты. Невыраженное уравнение может добавить неотслеживаемые части кривой. Если обе параметрические производные обращаются в ноль, используйте локальный анализ вместо того, чтобы помечать каждую такую точку как экстремум.

Для $y=-3\cos(2x)$ укажите амплитуду, период, представление с положительной амплитудой и соответствующий горизонтальный сдвиг. Параметризуйте эллипс $x^2/9+y^2/4=1$ против часовой стрелки.

Разобранное решение

Амплитуда равна трём, период — $2\pi/2=\pi$. Запишите $y=3\cos(2x-\pi)$, с фазой $\pi$ и сдвигом вправо $\pi/2$. Фаза и сдвиг — не одно и то же. Одна параметризация имеет вид $x=3\cos t,y=2\sin t$, $0\le t\le2\pi$, начинается в точке $(3,0)$ и изначально движется вверх. Исключение параметра t проверяет уравнение эллипса.

Для $x=t^2,y=t^3$ при $-1\le t\le1$ определите отслеживаемую траекторию и касательную в t=0. Исчезновение параметрической скорости доказывает отсутствие касательной? Сохраняет ли только неявное уравнение все ограничения параметра?

Проверка после выполнения

Исключение дает $y^2=x^3$, где $0\le x\le1$ и оба знака y. Для ненулевого t: $dy/dx=3t/2\to0$. Наклон секущей из начала координат также равен $y/x=t\to0$, поэтому у выемки горизонтальная касательная. Обе параметрические производные обращаются в ноль в точке нуля, делая сырое частное $0/0$ неоднозначным, не доказывая отсутствие касательной. Неограниченное неявное уравнение также имеет точки с x>1; ограничение интервала должно передаваться отдельно.