T.9 · Подобие, масштабирование и конические расстояния

Подготовка к GRE для бакалавров. Локальные цели в рамках пересмотренного диапазона ETS; это оригинальное обучение, а не официальный тест или предиктор баллов.

Предварительные требования: Подобие треугольников, формула расстояния и квадратные уравнения.

• Сопоставляйте вершины треугольников по равным углам перед составлением отношения сторон
• Применяйте коэффициенты масштабирования длин, площадей и объёмов к геометрическим преобразованиям
• Определяйте условия расстояний для конических сечений и сохраняйте ветвь гиперболы со знаком

подобие: Равенство соответственных углов и общий коэффициент пропорциональности соответственных длин.

фокус: Фиксированная точка, используемая в определении расстояния для конического сечения.

Треугольники подобны, когда их соответственные углы совпадают; тогда их соответственные отношения сторон также равны. Явно запишите соответствие вершин. Если у треугольника APQ угол A равен углу A треугольника ABC, а угол P равен углу C, то упорядоченное соответствие имеет вид A↔A, P↔C, Q↔B. Следовательно, AP/AC=AQ/AB=PQ/CB. Сторона AP лежит на AB, но соответствует стороне AC; сопоставление по положению стороны или по букве P может привести к неверному отношению.

При общем линейном коэффициенте масштабирования k>0 длины умножаются на k, площади на k², объёмы на k³. Увеличение длины на 30% означает k=1.30, следовательно, увеличение площади на 1.30²−1=0.69, или 69%; это не 60%. Для подобных тел с отношением объёмов 27 отношение длин составляет 3, а отношение площадей поверхности — 9. Процентные изменения и абсолютные разности — различные величины; записывайте отношение нового к старому перед переводом в проценты.

Окружность фиксирует расстояние до одной точки. Эллипс фиксирует сумму расстояний до двух фокусов. Гипербола фиксирует абсолютную разность этих расстояний; парабола фиксирует равенство расстояния до фокуса и до директрисы. Это определения множеств точек, а не эскизы для заучивания. Для фокусов (−c,0) и (c,0) эллипс использует сумму 2a, где a>c. Невырожденная гипербола использует абсолютную разность 2a, где 0<a<c; знак разности различает две её ветви.

Для гиперболы с горизонтальной действительной осью c²=a²+b², а уравнение имеет вид x²/a²−y²/b²=1. Пусть r_A — расстояние до (−c,0), а r_B — расстояние до (c,0). Условие r_A−r_B=2a>0 выбирает правую ветвь x≥a; отрицательное условие — левую. Возведение в квадрат может потерять этот знак, поэтому после получения уравнения проверьте исходное условие расстояния. Разность, равная нулю, даёт серединный перпендикуляр, а не гиперболу; разность, превышающая фокусное расстояние, невозможна по неравенству треугольника.

Пусть AB=10, AC=15 и BC=20. Точка P на AB имеет AP=6, а Q на AC образует угол APQ, равный углу ACB. Тогда AP/AC=6/15=2/5, откуда PQ=8 и AQ=4. Отдельно, фокусы в (−5,0),(5,0) и разность «расстояние до левого минус расстояние до правого», равная 6, дают a=3, b²=25−9=16: x²/9−y²/16=1 при x≥3. Точка (−3,0) удовлетворяет квадрату уравнения, но не условию со знаком.

Сопоставляйте углы перед сторонами. Проценты площадей используют квадрат коэффициента длин. Квадратное уравнение расстояния может описывать обе ветви, даже если в исходной задаче требуется только одна.

У подобных тел отношение площадей поверхности равно 9:25. Найдите их соответственные отношения длин и объёмов. Объясните, почему важно сопоставлять вершины перед составлением отношения треугольников.

Разобранное решение

Извлечение положительного квадратного корня даёт отношение длин 3:5. Возведение в куб даёт отношение объёмов 27:125. Отношение площадей само по себе не является коэффициентом масштабирования длин. Соответственные вершины должны совпадать по равным углам; иначе отношения могут сравнивать несвязанные стороны. Подобие здесь предполагается; одни лишь отношения площадей не доказывают подобие произвольных тел.

Для фокусов $A=(-5,0)$ и $B=(5,0)$ найдите множество точек $|PA|-|PB|=6$. Выведите его каноническое уравнение, выберите ветвь и проверьте вершину в не возведённом в квадрат соотношении. Что происходит, если запрашиваемая разность равна 12?

Проверка после выполнения

Запишите $r_A=\sqrt{(x+5)^2+y^2}$ и $r_B=\sqrt{(x-5)^2+y^2}$. Исходное условие имеет вид $r_A-r_B=6$. Поскольку $r_A^2-r_B^2=20x$, умножение разности расстояний на их сумму даёт $r_A+r_B=10x/3$. Отсюда $r_B=5x/3-3$, которое должно быть неотрицательным. Возведение этого равенства в квадрат даёт $(x-5)^2+y^2=(5x/3-3)^2$. Раскрытие скобок и группировка дают $16x^2/9-y^2=16$. Таким образом, половина фокусного расстояния c=5, половина разности a=3, а уравнение гиперболы — $x^2/9-y^2/16=1$, используя $b^2=c^2-a^2=16$. Исходная положительная разность выбирает правую ветвь $x\ge3$. В точке $(3,0)$ расстояния составляют 8 и 2, разность равна шести; в точке $(-3,0)$ разность равна отрицательному шести. Одно лишь возведение в квадрат сохраняет эту недопустимую ветвь. Разность, равная 12, превышает $|AB|=10$ и невозможна по обратному неравенству треугольника.